Vai kotangenss var būt lielāks par 1. Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss - viss, kas jums jāzina par vienoto valsts eksāmenu matemātikā (2020). Pieskares un kotangences formulas no summas un starpības

Šajā rakstā mēs to aplūkosim vispusīgi. Pamata trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas izveido saikni starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu un ļauj atrast jebkuru no šīm trigonometriskajām funkcijām, izmantojot zināmu citu.

Nekavējoties uzskaitīsim galvenās trigonometriskās identitātes, kuras mēs analizēsim šajā rakstā. Pierakstīsim tos tabulā, un tālāk mēs sniegsim šo formulu rezultātus un sniegsim nepieciešamos paskaidrojumus.

Lapas navigācija.

Attiecība starp viena leņķa sinusu un kosinusu

Dažreiz viņi nerunā par galvenajām trigonometriskajām identitātēm, kas uzskaitītas iepriekš tabulā, bet gan par vienu pamata trigonometriskā identitāte laipns . Izskaidrojums šim faktam ir pavisam vienkāršs: vienādības tiek iegūtas no galvenās trigonometriskās identitātes, sadalot abas tās daļas attiecīgi ar un, un vienādības Un izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Par to sīkāk runāsim turpmākajos punktos.

Tas nozīmē, ka īpašu interesi rada vienlīdzība, kurai tika piešķirts galvenās trigonometriskās identitātes nosaukums.

Pirms galvenās trigonometriskās identitātes pierādīšanas mēs sniedzam tās formulējumu: viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir identiski vienāda ar vienu. Tagad pierādīsim to.

Pamata trigonometriskā identitāte ļoti bieži tiek izmantota, kad trigonometrisko izteiksmju konvertēšana. Tas ļauj viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu. Ne retāk trigonometriskā pamatidentitāte tiek izmantota apgrieztā secībā: vienību aizstāj ar jebkura leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu.

Pieskares un kotangenss caur sinusu un kosinusu

Identitātes, kas savieno tangensu un kotangensu ar viena skata leņķa sinusu un kosinusu un nekavējoties izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Patiešām, pēc definīcijas sinuss ir y ordināta, kosinuss ir x abscisa, tangenss ir ordinātu attiecība pret abscisu, tas ir, , un kotangenss ir abscisu attiecība pret ordinātām, tas ir, .

Pateicoties šādai identitāšu acīmredzamībai un Tangensu un kotangensu bieži definē nevis ar abscisu un ordinātu attiecību, bet gan ar sinusa un kosinusa attiecību. Tātad leņķa pieskare ir sinusa attiecība pret šī leņķa kosinusu, bet kotangensa ir kosinusa attiecība pret sinusu.

Noslēdzot šo punktu, jāatzīmē, ka identitātes un notiek visiem leņķiem, kuros tajos ietvertajām trigonometriskajām funkcijām ir jēga. Tātad formula ir derīga jebkuram , izņemot (pretējā gadījumā saucējam būs nulle, un mēs nedefinējām dalījumu ar nulli), un formula - visiem , atšķiras no , kur z ir jebkurš .

Attiecības starp tangensu un kotangensu

Vēl acīmredzamāka trigonometriskā identitāte nekā iepriekšējās divas ir identitāte, kas savieno formas viena leņķa tangensu un kotangensu . Ir skaidrs, ka tas attiecas uz visiem leņķiem, izņemot , pretējā gadījumā nav definēta ne pieskare, ne kotangenss.

Formulas pierādījums ļoti vienkārši. Pēc definīcijas un no kurienes . Pierādīšanu varēja veikt nedaudz savādāk. Kopš , Tas .

Tātad tā paša leņķa tangenss un kotangenss, kurā tiem ir jēga, ir .

Sākotnējais avots atrodas. Alfa apzīmē reālo skaitli. Vienādības zīme iepriekš minētajās izteiksmēs norāda, ka, ja bezgalībai pievienosi skaitli vai bezgalību, nekas nemainīsies, rezultāts būs tā pati bezgalība. Ja par piemēru ņemam bezgalīgo naturālo skaitļu kopu, tad aplūkotos piemērus var attēlot šādā formā:

Lai skaidri pierādītu, ka viņiem ir taisnība, matemātiķi nāca klajā ar daudzām dažādām metodēm. Personīgi es uz visām šīm metodēm skatos kā uz šamaņiem, kas dejo ar tamburīnām. Būtībā tie visi ir saistīti ar faktu, ka vai nu dažas telpas ir neapdzīvotas un ievācas jauni viesi, vai arī daži apmeklētāji tiek izmesti gaitenī, lai atbrīvotu vietu viesiem (ļoti cilvēciski). Es izklāstīju savu skatījumu uz šādiem lēmumiem kā fantāzijas stāstu par Blondīni. Uz ko balstās mans arguments? Bezgalīgi liela apmeklētāju skaita pārvietošana prasa bezgalīgi daudz laika. Kad esam atbrīvojuši pirmo istabu kādam viesim, kāds no apmeklētājiem vienmēr staigās pa gaiteni no savas istabas uz nākamo līdz pat laika beigām. Protams, laika faktoru var muļķīgi ignorēt, bet tas būs kategorijā "neviens likums nav rakstīts muļķiem". Tas viss ir atkarīgs no tā, ko mēs darām: pielāgojam realitāti matemātiskām teorijām vai otrādi.

Kas ir "bezgalīga viesnīca"? Bezgalīga viesnīca ir viesnīca, kurā vienmēr ir neierobežots skaits tukšu gultu neatkarīgi no aizņemto numuru skaita. Ja visas telpas bezgalīgajā "apmeklētāju" koridorā ir aizņemtas, ir vēl viens bezgalīgs koridors ar "viesu" istabām. Tādu koridoru būs bezgalīgi daudz. Turklāt “bezgalīgajai viesnīcai” ir bezgalīgs stāvu skaits bezgalīgā daudzumā ēku uz bezgalīgi daudzām planētām bezgalīgā skaitā visumu, ko radījis bezgalīgs skaits dievu. Matemātiķi nespēj distancēties no banālām ikdienas problēmām: vienmēr ir tikai viens Dievs-Allāhs-Buda, ir tikai viena viesnīca, ir tikai viens koridors. Tāpēc matemātiķi mēģina žonglēt ar viesnīcu numuru sērijas numuriem, pārliecinot mūs, ka ir iespējams "iegrūst neiespējamo".

Es jums parādīšu sava argumentācijas loģiku, izmantojot bezgalīgas naturālu skaitļu kopas piemēru. Vispirms jums jāatbild uz ļoti vienkāršu jautājumu: cik naturālo skaitļu kopu ir - viens vai vairāki? Uz šo jautājumu nav pareizas atbildes, jo mēs paši izgudrojām skaitļus; skaitļi dabā neeksistē. Jā, Daba lieliski prot skaitīt, taču šim nolūkam viņa izmanto citus matemātiskos rīkus, kas mums nav pazīstami. Es jums pastāstīšu, ko Daba domā citreiz. Tā kā mēs izdomājām skaitļus, mēs paši izlemsim, cik naturālo skaitļu kopu ir. Apsvērsim abus variantus, kā jau īstiem zinātniekiem pienākas.

Pirmais variants. “Lai mums tiek dota” viena naturālo skaitļu kopa, kas mierīgi atrodas plauktā. Mēs ņemam šo komplektu no plaukta. Tas tā, citu naturālu skaitļu plauktā nav palicis un nav kur ņemt. Mēs nevaram to pievienot šim komplektam, jo ​​mums tas jau ir. Ko darīt, ja jūs patiešām vēlaties? Nekādu problēmu. Varam paņemt vienu no jau paņemtā komplekta un atdot plauktā. Pēc tam varam paņemt vienu no plaukta un pievienot tam, kas mums ir palicis. Rezultātā mēs atkal iegūsim bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Visas mūsu veiktās manipulācijas varat pierakstīt šādi:

Darbības pierakstīju algebriskajā un kopu teorijas pierakstā, detalizēti uzskaitot kopas elementus. Apakšraksts norāda, ka mums ir viena un vienīgā naturālo skaitļu kopa. Izrādās, ka naturālo skaitļu kopa paliks nemainīga tikai tad, ja no tās atņem vienu un saskaita to pašu vienību.

Otrais variants. Mūsu plauktā ir daudz dažādu bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Uzsveru - ATŠĶIRĪGI, neskatoties uz to, ka praktiski nav atšķirami. Ņemsim vienu no šiem komplektiem. Tad mēs ņemam vienu no citas naturālo skaitļu kopas un pievienojam jau ņemtajai kopai. Mēs pat varam pievienot divas naturālo skaitļu kopas. Tas ir tas, ko mēs iegūstam:

Apakšraksti "viens" un "divi" norāda, ka šie elementi piederēja dažādām kopām. Jā, ja bezgalīgai kopai pievienosit vienu, rezultāts būs arī bezgalīga kopa, taču tā nebūs tāda pati kā sākotnējā kopa. Ja vienai bezgalīgai kopai pievienojat vēl vienu bezgalīgu kopu, rezultāts ir jauna bezgalīga kopa, kas sastāv no pirmo divu kopu elementiem.

Naturālo skaitļu kopa tiek izmantota skaitīšanai tāpat kā lineāls mērīšanai. Tagad iedomājieties, ka lineālam pievienojāt vienu centimetru. Šī būs cita līnija, kas nav vienāda ar sākotnējo.

Jūs varat pieņemt vai nepieņemt manu argumentāciju - tā ir jūsu pašu darīšana. Bet, ja jūs kādreiz saskaraties ar matemātiskām problēmām, padomājiet par to, vai ejat nepareizas spriešanas takas, ko staigājušas matemātiķu paaudzes. Galu galā matemātikas studijas, pirmkārt, veido mūsos stabilu domāšanas stereotipu un tikai pēc tam papildina mūsu garīgās spējas (vai, gluži pretēji, atņem mums brīvdomību).

pozg.ru

Svētdien, 2019. gada 4. augustā

Es pabeidzu pēcskriptu rakstam par un ieraudzīju šo brīnišķīgo tekstu Vikipēdijā:

Mēs lasām: "... bagātajai Babilonas matemātikas teorētiskajai bāzei nebija holistiska rakstura, un tā tika samazināta līdz atšķirīgu paņēmienu kopumam, kam nebija kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes."

Oho! Cik mēs esam gudri un cik labi spējam saskatīt citu trūkumus. Vai mums ir grūti aplūkot mūsdienu matemātiku tādā pašā kontekstā? Nedaudz pārfrāzējot iepriekš minēto tekstu, es personīgi saņēmu sekojošo:

Mūsdienu matemātikas bagātīgā teorētiskā bāze pēc būtības nav holistiska, un tā ir reducēta uz atšķirīgu sadaļu kopumu, kam nav kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes.

Es neiešu tālu, lai apstiprinātu savus vārdus – tai ir valoda un noteikumi, kas atšķiras no daudzu citu matemātikas nozaru valodas un konvencijām. Vieniem un tiem pašiem nosaukumiem dažādās matemātikas nozarēs var būt dažādas nozīmes. Es vēlos veltīt veselu virkni publikāciju mūsdienu matemātikas acīmredzamākajām kļūdām. Uz drīzu redzēšanos.

Sestdien, 2019. gada 3. augustā

Kā kopu sadalīt apakškopās? Lai to izdarītu, jums jāievada jauna mērvienība, kas atrodas dažos atlasītās kopas elementos. Apskatīsim piemēru.

Lai mums ir daudz A kas sastāv no četriem cilvēkiem. Šī kopa veidota uz “cilvēku” bāzes. Apzīmēsim šīs kopas elementus ar burtu A, apakšindekss ar numuru norādīs katras personas sērijas numuru šajā komplektā. Ieviesīsim jaunu mērvienību "dzimums" un apzīmēsim to ar burtu b. Tā kā seksuālās īpašības ir raksturīgas visiem cilvēkiem, mēs reizinām katru komplekta elementu A pamatojoties uz dzimumu b. Ievērojiet, ka mūsu “cilvēku” kopums tagad ir kļuvis par “cilvēku ar dzimuma īpašībām” kopu. Pēc tam mēs varam sadalīt seksuālās īpašības vīriešiem bm un sieviešu bw seksuālās īpašības. Tagad mēs varam izmantot matemātisko filtru: mēs izvēlamies vienu no šīm seksuālajām pazīmēm neatkarīgi no tā, kura - vīrietis vai sieviete. Ja cilvēkam ir, tad reizinām ar vienu, ja tādas zīmes nav, tad ar nulli. Un tad mēs izmantojam parasto skolas matemātiku. Paskaties, kas notika.

Pēc reizināšanas, samazināšanas un pārkārtošanas mēs nonācām pie divām apakškopām: vīriešu apakškopas Bm un sieviešu apakškopa Bw. Matemātiķi spriež aptuveni tādā pašā veidā, kad viņi praksē pielieto kopu teoriju. Bet viņi mums nestāsta detaļas, bet sniedz mums gatavo rezultātu - "daudzi cilvēki sastāv no vīriešu apakškopas un sieviešu apakškopas." Protams, jums var rasties jautājums: cik pareizi matemātika ir izmantota iepriekš aprakstītajās transformācijās? Es uzdrošinos jums apliecināt, ka būtībā transformācijas tika veiktas pareizi, pietiek zināt aritmētikas, Būla algebras un citu matemātikas nozaru matemātisko bāzi. Kas tas ir? Citreiz par to pastāstīšu.

Kas attiecas uz superkopām, varat apvienot divas kopas vienā superkopā, atlasot šo divu kopu elementos esošo mērvienību.

Kā redzat, mērvienības un parastā matemātika padara kopu teoriju par pagātnes reliktu. Pazīme, ka ar kopu teoriju viss nav kārtībā, ir tas, ka matemātiķi ir nākuši klajā ar savu valodu un apzīmējumu kopu teorijai. Matemātiķi rīkojās kā kādreiz šamaņi. Tikai šamaņi zina, kā “pareizi” pielietot savas “zināšanas”. Viņi mums māca šīs "zināšanas".

Nobeigumā es vēlos jums parādīt, kā matemātiķi manipulē .

Pirmdiena, 2019. gada 7. janvāris

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Zenons no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir “Ahileja un bruņurupuča” aporija. Lūk, kā tas izklausās:

Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs noskrien simts soļus, bruņurupucis rāpo vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja Zenona aporiju. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās līdz šai dienai, zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas ; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, no kā sastāv maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no kvantitātes uz . Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis pastāvīgus. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, pateicoties domāšanas inercei, abpusējai vērtībai piemērojam nemainīgas laika vienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās pēc laika palēnināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.

Ja pagriežam savu ierasto loģiku otrādi, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu “bezgalība”, tad būtu pareizi teikt: “Ahillejs bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci”.

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nepārslēdzieties uz abpusējām vienībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma neatvairāmību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai “Ahillejs un bruņurupucis”. Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bulta, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu, vai automašīna pārvietojas, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču jūs nevarat noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienā brīdī uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, bet no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs ). Īpaši gribu pievērst uzmanību tam, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajag jaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.

Trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs

Es jums jau teicu, ar kuras palīdzību šamaņi mēģina sakārtot ““ realitāti. Kā viņi to dara? Kā patiesībā notiek kopas veidošanās?

Sīkāk aplūkosim kopas definīciju: "dažādu elementu kolekcija, kas iecerēta kā vienots veselums". Tagad jūtiet atšķirību starp divām frāzēm: "iedomājams kopumā" un "iedomājams kā veselums". Pirmā frāze ir gala rezultāts, komplekts. Otrā frāze ir iepriekšēja sagatavošanās pūļa veidošanai. Šajā posmā realitāte tiek sadalīta atsevišķos elementos (“veselumā”), no kuriem tad veidosies daudzums (“vienotais veselums”). Tajā pašā laikā tiek rūpīgi uzraudzīts faktors, kas ļauj apvienot “veselumu” “vienā veselumā”, pretējā gadījumā šamaņiem tas neizdosies. Galu galā šamaņi jau iepriekš precīzi zina, kādu komplektu viņi vēlas mums parādīt.

Es jums parādīšu procesu ar piemēru. Mēs izvēlamies “sarkano cietvielu pūtītē” - tas ir mūsu “viss”. Tajā pašā laikā mēs redzam, ka šīs lietas ir ar loku, un ir bez loka. Pēc tam mēs atlasām daļu no “veseluma” un veidojam komplektu “ar loku”. Šādi šamaņi iegūst ēdienu, saistot savu kopu teoriju ar realitāti.

Tagad izdarīsim nelielu triku. Ņemsim “cieto ar pūtīti ar banti” un apvienosim šos “veselumus” pēc krāsas, izvēloties sarkanos elementus. Mēs saņēmām daudz "sarkano". Tagad pēdējais jautājums: vai iegūtie komplekti “ar loku” un “sarkanais” ir viens un tas pats komplekts vai divi dažādi komplekti? Atbildi zina tikai šamaņi. Precīzāk, paši neko nezina, bet kā saka, tā būs.

Šis vienkāršais piemērs parāda, ka kopu teorija ir pilnīgi bezjēdzīga, kad runa ir par realitāti. Kāds ir noslēpums? Mēs izveidojām komplektu "sarkans ciets ar pūtīti un loku". Veidošana notika četrās dažādās mērvienībās: krāsa (sarkana), stiprība (ciets), raupjums (pūtīte), dekorēšana (ar banti). Tikai mērvienību kopums ļauj adekvāti aprakstīt reālus objektus matemātikas valodā. Tas izskatās šādi.

Burts "a" ar dažādiem indeksiem apzīmē dažādas mērvienības. Mērvienības, ar kurām sākotnējā posmā tiek atšķirts “veselais”, ir izceltas iekavās. Mērvienība, pēc kuras tiek veidota kopa, tiek izņemta no iekavām. Pēdējā rindā redzams gala rezultāts – komplekta elements. Kā redzat, ja kopas veidošanai izmantojam mērvienības, tad rezultāts nav atkarīgs no mūsu darbību secības. Un tā ir matemātika, nevis šamaņu dejas ar tamburīnām. Šamaņi var “intuitīvi” nonākt pie tāda paša rezultāta, apgalvojot, ka tas ir “acīmredzams”, jo mērvienības neietilpst viņu “zinātniskajā” arsenālā.

Izmantojot mērvienības, to ir ļoti viegli salauzt
Mūsdienās viss, ko mēs neņemam, pieder kādai kopai (kā mums apliecina matemātiķi). Starp citu, vai jūs spogulī uz pieres redzējāt sarakstu ar tiem komplektiem, kuriem piederat? Un es tādu sarakstu neesmu redzējis. Teikšu vēl - ne vienai lietai patiesībā ir birka ar komplektu sarakstu, pie kuriem šī lieta pieder. Visi komplekti ir šamaņu izgudrojumi. Kā viņi to dara? Ieskatīsimies nedaudz dziļāk vēsturē un redzēsim, kā izskatījās kopas elementi, pirms matemātiķu šamaņi tos ņēma savās kopās.

Sen, kad neviens nebija dzirdējis par matemātiku un tikai kokiem un Saturnam bija gredzeni, fiziskajos laukos klīda milzīgi savvaļas kopu elementu bari (galu galā šamaņi vēl nebija izgudrojuši matemātiskos laukus). Viņi izskatījās apmēram šādi.

Jā, nebrīnieties, no matemātikas viedokļa visi komplektu elementi visvairāk līdzinās jūras ežiem - no viena punkta, piemēram, adatas, mērvienības izceļas visos virzienos. Tiem, kas atgādinu, ka jebkuru mērvienību var ģeometriski attēlot kā patvaļīga garuma segmentu un skaitli kā punktu. Ģeometriski jebkuru daudzumu var attēlot kā segmentu kopumu, kas no viena punkta izceļas dažādos virzienos. Šis punkts ir nulles punkts. Es nezīmēšu šo ģeometriskās mākslas darbu (bez iedvesmas), bet jūs to varat viegli iedomāties.

Kādas mērvienības veido kopas elementu? Visādas lietas, kas raksturo doto elementu no dažādiem skatu punktiem. Tās ir senas mērvienības, kuras izmantoja mūsu senči un par kurām visi jau sen ir aizmirsuši. Šīs ir mūsdienu mērvienības, kuras mēs izmantojam tagad. Tās ir arī mums nezināmas mērvienības, kuras izdomās mūsu pēcteči un kuras izmantos, lai aprakstītu realitāti.

Mēs esam sakārtojuši ģeometriju – piedāvātajam komplekta elementu modelim ir skaidrs ģeometriskais attēlojums. Kā ar fiziku? Mērvienības ir tieša saikne starp matemātiku un fiziku. Ja šamaņi neatzīst mērvienības kā pilnvērtīgu matemātisko teoriju elementu, tā ir viņu problēma. Es personīgi nevaru iedomāties reālo matemātikas zinātni bez mērvienībām. Tāpēc jau stāsta par kopu teoriju sākumā es runāju par to, ka tā ir akmens laikmetā.

Bet pāriesim uz interesantāko - kopu elementu algebru. Algebriski jebkurš kopas elements ir dažādu lielumu reizinājums (reizināšanas rezultāts) Tas izskatās šādi.

Es apzināti neizmantoju kopu teorijas konvencijas, jo mēs aplūkojam kopas elementu tās dabiskajā vidē pirms kopu teorijas rašanās. Katrs burtu pāris iekavās apzīmē atsevišķu daudzumu, kas sastāv no cipara, kas apzīmēts ar burtu " n" un mērvienība, kas apzīmēta ar burtu " a". Indeksi blakus burtiem norāda, ka skaitļi un mērvienības ir atšķirīgi. Viens komplekta elements var sastāvēt no bezgala daudzu daudzumu (cik mums un mūsu pēcnācējiem pietiek iztēles). Katra iekava ir ģeometriski attēlota kā atsevišķs segments.Piemērā ar jūras ežu viens kronšteins ir viena adata.

Kā šamaņi veido komplektus no dažādiem elementiem? Faktiski pēc mērvienībām vai skaitļiem. Neko nesaprotot no matemātikas, viņi ņem dažādus jūras ežus un rūpīgi tos apskata, meklējot to vienīgo adatu, pa kuru tie veido kopumu. Ja šāda adata ir, tad šis elements pieder komplektam, ja tādas nav, tad šis elements nav no šī komplekta. Šamaņi mums stāsta fabulas par domāšanas procesiem un kopumu.

Kā jūs, iespējams, uzminējāt, viens un tas pats elements var piederēt ļoti dažādām kopām. Tālāk es jums parādīšu, kā veidojas kopas, apakškopas un citas šamaniskas nejēdzības.

Šis raksts satur sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabulas. Pirmkārt, mēs nodrošināsim trigonometrisko funkciju pamatvērtību tabulu, tas ir, 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grādu leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabulu ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiāns). Pēc tam mēs sniegsim sinusu un kosinusu tabulu, kā arī V. M. Bradisa pieskares un kotangenšu tabulu un parādīsim, kā šīs tabulas izmantot, meklējot trigonometrisko funkciju vērtības.

Lapas navigācija.

Sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabula 0, 30, 45, 60, 90, ... grādu leņķiem

Bibliogrāfija.

• Algebra: Mācību grāmata 9. klasei. vid. skola/Jū. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis. - M.: Izglītība, 1990. - 272 lpp.: il. - ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakovs M. I. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata. 10-11 klasēm. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izdevums - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
• Bredis V. M.Četru ciparu matemātikas tabulas: Vispārējai izglītībai. mācību grāmata iestādes. - 2. izd. - M.: Bustards, 1999.- 96 lpp.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Lekcija: Patvaļīga leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss

Sinuss, patvaļīga leņķa kosinuss

Lai saprastu, kas ir trigonometriskās funkcijas, apskatīsim apli ar vienības rādiusu. Šim aplim ir centrs koordinātu plaknes sākumā. Doto funkciju noteikšanai izmantosim rādiusa vektoru VAI, kas sākas no apļa centra un punkta R ir punkts uz apļa. Šis rādiusa vektors veido leņķi alfa ar asi Ak!. Tā kā apļa rādiuss ir vienāds ar vienu, tad VAI = R = 1.

Ja no punkta R nolaidiet perpendikulāru pret asi Ak!, tad iegūstam taisnleņķa trīsstūri ar hipotenūzu, kas vienāda ar vienu.

Ja rādiusa vektors pārvietojas pulksteņrādītāja virzienā, tad šo virzienu sauc negatīvs, ja tas virzās pretēji pulksteņrādītāja virzienam - pozitīvs.

Leņķa sinuss VAI, ir punkta ordināta R vektors uz apļa.

Tas ir, lai iegūtu dotā leņķa alfa sinusa vērtību, ir jānosaka koordināte U uz virsmas.

Kā šī vērtība tika iegūta? Tā kā mēs zinām, ka patvaļīga leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu, mēs iegūstam, ka

Un kopš tā laika R=1, Tas sin(α) = y 0 .

Vienības aplī ordinātu vērtība nevar būt mazāka par -1 un lielāka par 1, kas nozīmē

Sinuss iegūst pozitīvu vērtību vienības apļa pirmajā un otrajā ceturksnī un negatīvu trešajā un ceturtajā.

Leņķa kosinuss dots aplis, ko veido rādiusa vektors VAI, ir punkta abscisa R vektors uz apļa.

Tas ir, lai iegūtu dotā leņķa alfa kosinusu vērtību, ir jānosaka koordināte X uz virsmas.

Patvaļīga leņķa kosinuss taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu, mēs iegūstam, ka

Un kopš tā laika R=1, Tas cos(α) = x 0 .

Vienības aplī abscisu vērtība nevar būt mazāka par -1 un lielāka par 1, kas nozīmē

Vienības apļa pirmajā un ceturtajā ceturksnī kosinuss iegūst pozitīvu vērtību, bet otrajā un trešajā ceturksnī - negatīvu.

Pieskarespatvaļīgs leņķis Tiek aprēķināta sinusa un kosinusa attiecība.

Ja mēs uzskatām taisnleņķa trīsstūri, tad tā ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu. Ja mēs runājam par vienības apli, tad šī ir ordinātu attiecība pret abscisu.

Spriežot pēc šīm sakarībām, var saprast, ka tangenss nevar pastāvēt, ja abscisu vērtība ir nulle, tas ir, 90 grādu leņķī. Pieskarei var būt visas pārējās vērtības.

Vienības apļa pirmajā un trešajā ceturksnī tangensa ir pozitīva, bet otrajā un ceturtajā - negatīva.

|BD| - apļa loka garums, kura centrs atrodas punktā A.
α ir radiānos izteikts leņķis.

Pieskares ( iedegums α) ir trigonometriska funkcija atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar pretējās kājas garuma attiecību |BC| līdz blakus esošās kājas garumam |AB| .
Kotangenss ( ctg α) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| uz pretējās kājas garumu |BC| .

Pieskares

Kur n- vesels.

Rietumu literatūrā tangenss tiek apzīmēts šādi:
.
;
;
.

Pieskares funkcijas grafiks, y = tan x

Kotangenss

Kur n- vesels.

Rietumu literatūrā kotangenss tiek apzīmēts šādi:
.
Tiek pieņemti arī šādi apzīmējumi:
;
;
.

Kotangences funkcijas grafiks, y = ctg x

Pieskares un kotangences īpašības

Periodiskums

Funkcijas y = tg x un y = ctg x ir periodiski ar periodu π.

Paritāte

Pieskares un kotangences funkcijas ir nepāra.

Definīcijas un vērtību jomas, pieaug, samazinās

Pieskares un kotangentes funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( n- vesels).

Formulas

Izteiksmes, izmantojot sinusu un kosinusu

; ;
; ;
;

Pieskares un kotangences formulas no summas un starpības

Piemēram, pārējās formulas ir viegli iegūt

Pieskares reizinājums

Pieskares summas un starpības formula

Šajā tabulā ir parādītas pieskares un kotangenšu vērtības noteiktām argumenta vērtībām.

Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus

Izteiksmes, izmantojot hiperboliskās funkcijas

;
;

Atvasinājumi

; .

.
N-tās kārtas atvasinājums attiecībā uz funkcijas mainīgo x:
.
Pieskares atvasināšanas formulas > > > ; kotangensam >>>

Integrāļi

Sērijas paplašinājumi

Lai iegūtu pieskares paplašinājumu x pakāpēs, funkciju pakāpju virknē jāņem vairāki izplešanās termini. grēks x Un cos x un sadaliet šos polinomus savā starpā, . Tādējādi tiek iegūtas šādas formulas.

plkst.

plkst.
Kur Bn- Bernulli skaitļi. Tos nosaka vai nu no atkārtošanās attiecības:
;
;
Kur.
Vai saskaņā ar Laplasa formulu:

Apgrieztās funkcijas

Tangensa un kotangenta apgrieztās funkcijas ir attiecīgi arktangenss un arkotangenss.

Arktangents, arktg

, Kur n- vesels.

Arccotangent, arcctg

, Kur n- vesels.

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.
G. Korns, Matemātikas rokasgrāmata zinātniekiem un inženieriem, 2012. gads.