Принципи теорії пружності. Основи теорії пружності. Завдання теорії пружності

Створенню теорії пружності та пластичності як самостійного розділу механіки передували роботи вчених XVII та XVIII ст., ще на початку XVII ст. Г. Галілей (1564-1642) зробив спробу вирішити завдання про розтяг і згин бруса. Він був одним із перших, хто спробував застосувати розрахунки до інженерно-будівельних завдань.

Теорією вигину тонких пружних стрижнів займалися такі визначні вчені, як Е. Маріотт, Я. Бернуллі-старший, Ш.О. Кулон, Л. Ейлер, причому становлення теорії пружності як науки можна пов'язати з роботами Р. Гуна, Т. Юнга, Ж.Л. Лагранжа, С. Жермен.

Роберт Гук (1635-1703) започаткував механіку пружних тіл, опублікувавши в 1678 r. роботу, в якій описав встановлений ним закон пропорційності між навантаженням і деформацією при розтягуванні. Томас Юнг (1773-1829) на початку XIX ст. ввів поняття модуля пружності при розтягуванні та стисканні. Він встановив також різницю між деформацією розтягування чи стискування і деформацією зсуву. До цього часу належать роботи Жозефа Луї Лагранжа (1736-1813) і Софі Жермен (1776-1831). Вони знайшли рішення задачі про згинання і коливання пружних пластинок. Надалі теорію платівок удосконалили С. Пуассон та 781-1840) та Л. Навье (1785-1836).

Так, до кінця XVIII та початку XIX ст. були закладені основи опору матеріалів та створено ґрунт для виникнення теорії пружності. Швидкий розвиток техніки ставило перед математикою величезну кількість практичних завдань, що призвело до швидкого розвитку теорії. Однією з багатьох важливих проблем була проблема дослідження властивостей пружних матеріалів. Вирішення цієї проблеми давало можливість більш глибоко та повно вивчити внутрішні сили та деформації, що виникають у пружному тілі під дією зовнішніх сил.

Датою виникнення математичної теорії пружності треба вважати 1821, коли вийшла у світ робота Л. Навье, в якій були сформульовані основні рівняння.

Великі математичні труднощі розв'язання задач теорії пружності привернули до неї увагу багатьох видатних вчених-математиків XIX ст.: Ламе, Клапейрона, Пуассона та ін. і напруги, спростивши цим висновок загальних рівнянь.

У 1828 р. основний апарат математичної теорії пружності знайшов своє завершення у працях французьких учених та інженерів Г. Ламе (1795-1870) та Б. Клапейрона (1799-1864), які викладали на той час в Інституті інженерів шляхів сполучення в Петербурзі. У їхній спільній роботі дано додаток загальних рівнянь до вирішення практичних проблем.

Вирішення багатьох завдань теорії пружності стало можливим після того, як французький механік Б. Сен-Венан (1797-1886) висунув принцип, що носить його ім'я, і ​​запропонував ефективний метод вирішення задач теорії пружності. Заслуга його, за словами відомого англійського вченого А. Лява (1863-1940), полягає ще й у тому, що він ув'язав проблеми кручення та вигину балок із загальною теорією.

Якщо французькі математики займалися переважно загальними проблемами теорії, то російські вчені зробили великий внесок у розвиток науки про міцність вирішенням багатьох актуальних практичних завдань. З 1828 та 1860 р. у петербурзьких технічних вузах викладав математику та механіку видатний учений М. В. Остроградський (1801-1861). Його дослідження з питань коливань, що виникають у пружному середовищі, мали важливе значення для розвитку теорії пружності. Остроградський виховав плеяду вчених та інженерів. Серед них слід назвати Д. І. Журавського (1821-1891), який, працюючи на будівництві Петербурго-Московської залізниці, створив не тільки нові схеми мостів, а й теорію розрахунку мостових ферм, а також вивів формулу дотичних напруг у балці, що згинається.

А. В. Гадолін (1828-1892) застосував завдання Лами про осесиметричну деформацію товстостінної труби до дослідження напруги, що виникають у стовбурах артилерійських знарядь, одним з перших приклавши теорію пружності до конкретної інженерної задачі.

З інших завдань, вирішених наприкінці ХІХ ст., слід зазначити роботи X. С. Головіна (1844-1904), який зробив методами теорії пружності точний розрахунок кривого бруса, що дало можливість визначити ступінь точності наближених рішень.

p align="justify"> Велика заслуга в розвитку науки про міцність належить В. Л. Кирпичеву (1845-1913). Йому вдалося спростити різні методи розрахунку статично невизначених конструкцій. Він перший застосував оптичний метод до експериментального визначення напруги, створив метод подоби.

Тісний зв'язок із практикою будівництва, принциповість та глибина аналізу характеризують радянську науку. І. Г. Бубнов (1872-1919) розробив новий наближений метод інтегрування диференціальних рівнянь, блискуче розвинений Б. Г. Галеркіним (1871-1945). Варіаційний метод Бубнова-Галеркіна нині набув широкого поширення. Велике значення мають праці цих вчених теоретично згинання пластинок. Нові важливі результати, продовжуючи дослідження Галеркіна, отримав П.Ф. Папковіч (1887-1946).

Метод вирішення плоскої задачі теорії пружності, заснований на застосуванні теорії функцій комплексного змінного, було запропоновано Г.В. Колосовим (1867-1936). Згодом цей метод був розвинений та узагальнений Н.І. Мусхелішвілі (1891-1976). Ряд завдань зі стійкості стрижнів і платівок, вібрацій стрижнів і дисків, теорії удару і стиснення пружних тіл вирішив А.Н. Динник (1876-1950). Велике практичне значення мають Л.С. Лейбензона (1879-1951) за стійкістю пружної рівноваги довгих закручених стрижнів, за стійкістю сферичних та циліндричних оболонок. Важливе практичне значення мають капітальні роботи В. 3. Власова (1906-1958) за загальною теорією тонкостінних просторових стрижнів, складчастих систем та оболонок.

Теорія пластичності має коротшу історію. Перша математична теорія пластичності була створена Сен-Венаном у 70-ті роки ХІХ ст. на підставі дослідів французького інженера Г. Тріска. На початку XX ст. над проблемами пластичності працювали Р. Мізес. Г. Генкі, Л. Прандтль, Т. Карман. З 30-х років XX ст, теорія пластичності привернула до себе увагу великого кола відомих зарубіжних вчених (А. Надаї, Р. Хілла, В. Прагера, Ф. Ходжа, Д. Друккера та ін.). Широко відомі роботи з теорії пластичності радянських учених В.В. Соколовського, А.Ю. Ішлінського, Г.А. Смирнова-Аляєва, Л. М. Качанова. Фундаментальний внесок у створення деформаційної теорії пластичності зробив А.А. Іллюшин. А.А. Гвоздєв розробив теорію розрахунку платівок і оболонок по руйнівним навантаженням Ця теорія успішно розвинена А.Р. Ржаніцин.

Теорія повзучості як розділ механіки тіла, що деформується, сформувалася порівняно недавно. Перші дослідження у цій галузі відносяться до 20-х років XX ст. Їх загальний характер визначається тим, що проблема повзучості представляла велику важливість для енергомашинобудування та інженери були змушені шукати прості та швидко провідні до мети методи вирішення практичних завдань. У створенні теорії повзучості велика роль належить тим авторам, які зробили значний внесок у створення сучасної теорії пластичності. звідси спільність багатьох ідей та підходів. У нашій країні перші роботи з механічної теорії повзучості належать Н.М. Бєляєву (1943), К.Д. Міртову (1946), до кінця 40-х років відносяться перші дослідження Н. Н. Малініна, Ю.М. Работнова.

Дослідження у сфері упруговязких тіл виконані роботах А.Ю. Ішлінського, О.М. Герасимова, А.Р. Ржаніцина, Ю.М. Работнова. Застосування цієї теорії до старіючих матеріалів, насамперед до бетону, дано на роботах Н.X. Арутюняна, А.А. Гвоздєва, Г.Н Маслова. Великий обсяг досліджень повзу честі полімерних матеріалів виконано науковими колективами під керівництвом О.О. Іллюшина, А.К. Малмейстера, М.І. Розовського, Г.М. Савина.

Радянська держава приділяє велику увагу науці. Організація науково-дослідних інститутів, участь у розробці актуальних проблем великих колективів вчених дозволили підняти радянську науку на вищий щабель.

У короткому огляді немає можливості докладніше зупинитися на роботах всіх учених, які зробили свій внесок у розвиток теорії пружності та пластичності. Охочі докладно ознайомитися з історією розвитку цієї науки можуть звернутися до підручника Н.І. Безухова, де дано детальний розбір основних етапів розвитку теорії пружності та пластичності, а також наведена велика бібліографія.

1.1.Основні гіпотези, принципи та визначення

Теорія напруг як розділ механіки суцільних середовищ базується на низці гіпотез, основними з яких слід назвати гіпотези суцільності та природного (фонового) напруженого стану.

Згідно з гіпотезою про суцільність всі тіла приймаються за суцільні як до застосування навантаження (до деформування), так і після її дії. При цьому суцільним (безперервним) залишається будь-який об'єм тіла, у тому числі й елементарний, тобто нескінченно малий. У зв'язку з цим деформації тіла вважаються безперервними функціями координат, коли матеріал тіла деформується без утворення у ньому тріщин чи переривчастих складок.

Гіпотеза про природний напружений стан передбачає наявність початкового (фонового) рівня напруженості тіла, що зазвичай приймається за нульовою, а фактичні напруження, що викликаються зовнішнім навантаженням, вважаються збільшення напруги над природним рівнем.

Поряд із названими основними гіпотезами, в теорії напруг прийнято й низку основних принципів, серед яких насамперед необхідно назвати наділення тіл ідеальною пружністю, кульовою ізотропією, досконалою однорідністю, лінійною залежністю між напруженнями та деформаціями.

Ідеальна пружність є здатність матеріалів, що піддаються деформуванню, відновлювати свою первісну форму (розміри та обсяг) після зняття зовнішнього навантаження (зовнішнього впливу). Практично всі гірські породи і більшість будівельних матеріалів мають певною мірою пружністю, до цих матеріалів можна віднести і рідини, і гази.

Кульова ізотропія передбачає однаковість властивостей матеріалів у всіх напрямках дії навантаження, антиподом їй є анізотропія, тобто неоднаковість властивостей у різних напрямках (деякі кристали, деревина та ін.). При цьому не можна змішувати поняття кульової ізотропії та однорідності: наприклад, для однорідної структури деревини властива анізотропія – відмінність у міцності дерева вздовж та поперек волокон. Пружним, ізотропним і однорідним матеріалам властива лінійна залежність між напругами та деформаціями, що описується законом Гука, розгляд якого присвячений відповідний розділ навчального посібника.

Основним принципом теорії напруг (і деформацій, зокрема) є і принцип локальності дії самоврівноважених зовнішніх навантажень – принцип Сен-Венана. Відповідно до цього принципу, прикладені до тіла в будь-якій точці (лінії) врівноважена система сил викликає в матеріалі напруги, що швидко убувають у міру віддалення від місця застосування навантаження, наприклад, за експоненційним законом. Прикладом такої дії може бути розрізання паперу ножицями, які деформують (ріжуть) нескінченно малу частину аркуша (лінію), тоді як інші частини аркуша паперу нічого очікувати порушені, тобто матиме місце локальна деформація. Застосування принципу Сен-Венана сприяє спрощенню математичних викладок при вирішенні завдань з оцінки ПДВ за рахунок заміни заданого складного для математичного опису навантаження більш просте, але еквівалентне їй.

Говорячи про предмет вивчення в теорії напруг, слід дати і визначення самої напруги, під яким розуміється міра внутрішніх зусиль у тілі, в межах деякого його перерізу, розподілених по перерізу, що розглядається і протидіють зовнішньому навантаженню. При цьому напруги, що діють на поперечному майданчику та перпендикулярній їй, називаються нормальними; відповідно напруги, паралельні цьому майданчику або торкаються її, будуть дотичні.

Розгляд теорії напруг спрощується при введенні наступних припущень, що практично не знижують точність одержуваних рішень:

Відносні подовження (укорочення), а також відносні зрушення (кути зсуву) набагато менше одиниці;

Переміщення точок тіла при його деформуванні малі порівняно з лінійними розмірами тіла;

Кути повороту перерізів при згинальному деформуванні тіла також дуже малі порівняно з одиницею, які квадрати зневажливо малі порівняно з величинами відносних лінійних і кутових деформацій.

ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПРУГОСТІ

ОСЕСИМЕТРИЧНІ ЗАВДАННЯ ТЕОРІЇ ПРУГОСТІ

ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПРУГОСТІ

Основні положення, припущення та позначення Рівняння рівноваги елементарного паралелепіпеда та елементарного тетраедра. Нормальні та дотичні напруги по похилому майданчику

Визначення головних напруг та найбільших дотичних напруг у точці. Поняття про переміщення. Залежності між деформаціями та переміщеннями. Відносна

лінійна деформація у довільному напрямі Рівняння спільності деформацій. Закон Гука для ізотропного тіла Плоска задача у прямокутних координатах Плоска задача у полярних координатах

Можливі розв'язання задач теорії пружності. Розв'язання задач у переміщеннях та напругах Наявність температурного поля. Короткі висновки по розділу Найпростіші осесимметричні завдання рівняння в циліндричних координатах рівняння в циліндричних координатах (продовження)

Деформація товстостінної сферичної судини Зосереджена сила, що діє на площину

Приватні випадки завантаження пружного напівпростору: рівномірне завантаження за площею кола, завантаження на площі кола по "півкулі", зворотне завдання Вдавлювання абсолютно жорсткої кулі в пружний напівпростір. Завдання про пружне зминання куль Толстостінні труби

Загальні відомості. Рівняння рівноваги елемента труби Дослідження напруги при тиску на одному з контурів. Умови міцності при пружній деформації напруги в складових трубах. Поняття про розрахунок багатошарових труб Приклади розрахунків

ПЛАСТИНИ, МЕМБРАНИ Основні визначення та гіпотези

Диференціальне рівняння вигнутої серединної поверхні пластини у прямокутних координатах Циліндричний та сферичний вигин пластини

Згинальні моменти при осесиметричному згинанні круглої пластини. Диференціальне рівняння вигнутої серединної поверхні круглої пластини Граничні умови у круглих пластинах. Найбільші напруження та прогини. Умови міцності. Температурна напруга в пластинах

Визначення зусиль у мембранах. Ланцюгові зусилля та напруги. Наближене визначення прогинів та напруг у круглих мембранах Приклади розрахунків Приклади розрахунків (продовження)

1.1 Основні положення, припущення та позначення

Теорія пружності має на меті аналітичне вивчення напружено деформованого стану пружного тіла. За допомогою теорії пружності можуть бути перевірені рішення, отримані з використанням припущень опору

матеріалів, та встановлені межі застосування цих рішень. Іноді розділи теорії пружності, у яких, як і опорі матеріалів, розглядається питання придатності деталі, але з використанням досить складного математичного апарату (розрахунок пластин, оболонок, масивів), відносять до прикладної теорії пружності.

У цьому розділі викладено основні поняття математичної лінійної теорії пружності. Застосування математики до опису фізичних явищ вимагає їхньої схематизації. У математичної теорії пружності завдання вирішуються з можливо меншим числом припущень, що ускладнює математичні прийоми, що застосовуються для розв'язання. У лінійній теорії пружності передбачається існування лінійної залежності між складовими напругами та деформаціями. Для ряду матеріалів (гума, деякі сорти чавуну) така залежність навіть при малих деформаціях не може бути прийнята: діаграма σ - ε у межах пружності має однакові контури як при навантаженні, так і при розвантаженні, але в обох випадках криволінійна. При дослідженні таких матеріалів необхідно скористатися залежностями нелінійної теорії пружності.

У математичної лінійної теорії пружності виходять із таких припущень:

1. Про безперервність (суцільність) середовища. При цьому атомістична структура речовини чи наявністьбудь-яких порожнин не враховується.

2. Про природний стан, на підставі якого початковий напружений (деформований) стан тіла, що виник до застосування силових впливів, не враховується, тобто передбачається, що в момент навантаження тіла деформації і напруги в будь-якій його точці дорівнюють нулю. За наявності початкових напруг це припущення буде справедливим, якщо тільки до результуючих напруг (сумі початкових і виникли від впливів) можуть бути застосовані залежності лінійної теорії пружності.

3. Про однорідність, на підставі якого передбачається, що склад тіла однаковий у всіх точках. Якщо стосовно металів це припущення не дає великих похибок, то щодо бетону при розгляді малих обсягів воно може призвести до значних похибок.

4. Про кульову ізотропність, на підставі якої вважається, щомеханічні властивості матеріалу однакові в усіх напрямках. Кристали металу не мають таку властивість, але для металу в цілому, що складається з великої кількості дрібних кристалів, можна вважати, що ця гіпотеза справедлива. Для матеріалів, що мають різні механічні властивості в різних напрямках, як, наприклад, для шаруватих пластиків, розроблена теорія пружності ортотропних і анізотропних матеріалів.

5. Про ідеальну пружність, на підставі якого передбачається повне зникнення деформації після зняття навантаження. Як відомо, у реальних тілах за будь-якого навантаженні виникає залишкова деформація. Тому припущення

6. Про лінійну залежність між складовими деформаціями танапругами.

7. Про деформації, на підставі якого передбачається, що відносні лінійні і кутові деформації малі в порівнянні з одиницею. Для таких матеріалів, як гума або таких елементів, як спіральні пружини, створена теорія великих пружних деформацій.

При вирішенні завдань теорії пружності користуються теоремою про єдиність розв'язання: якщо задані зовнішні поверхневі та об'ємні сили перебувають у рівновазі, їм відповідає одна єдина система напруг та переміщень.Положення про єдиність рішення справедливе, якщо тільки справедливі припущення про природний стан тіла (інакше можлива незліченна кількість рішень) та припущення про лінійну залежність між деформаціями та зовнішніми силами.

При вирішенні завдань теорії пружності часто користуються принципом Сен-Венана: якщо зовнішні сили, прикладені на невеликій ділянці пружного тіла, замінити статично еквівалентною системою сил (що має той самий головний вектор і той же головний момент), що діє на тій самій ділянці, то ця заміна викличе лише зміну місцевих деформацій.

У точках, досить віддалених від місць застосування зовнішніх навантажень, напруження мало залежить від способу їх застосування. Навантаження, яке в курсі опору матеріалів схематично виражалося на підставі принципу Сен-Венана у вигляді сили або зосередженого моменту, насправді є нормальним і дотичним напруженням, розподіленим тим чи іншим способом на певній ділянці поверхні тіла. При цьому одній і тій самій силі або парі сил може відповідати різний розподіл напруги. На підставі принципу Сен-Венана можна вважати, що зміна зусиль на ділянці поверхні тіла майже не відбивається на напругах у точках, віддалених на досить велику відстань від місця застосування цих зусиль (порівняно з лінійними розмірами навантаженої ділянки).

Положення досліджуваного майданчика, виділеного в тілі (рис. 1), визначається напрямними косинусами нормалі N до майданчика у вибраній системі прямокутних осей координат х, у та z.

Якщо Р - рівнодіюча внутрішніх сил, що діють по елементарному майданчику, виділеної у точки А, то повна напруга р N у цій точці по майданчику з нормаллю N визначається як межа відношення

наступній формі:

.

Вектор р N можна розкласти у просторі на три взаємно перпендикулярні складові.

2. На складові ? Відповідно до рис.1, б

Якщо перетин тіла або майданчик паралельні одній з площин координат, наприклад у0z (рис. 2), то нормаллю до цього майданчика буде третя вісь координат х і складові напруги будуть мати позначення x, xy і xz.

Нормальна напруга позитивно, якщо вона розтягує, і негативно, якщо вона стискає. Знак дотичної напруги визначається за допомогою наступного правила: якщо позитивна (розтягуюча) нормальна напруга по майданчику дає позитивну проекцію, то дотична

напруга по тому самому майданчику вважається позитивним за умови, що воно також дає позитивну проекцію на відповідну вісь; якщо ж нормальна напруга, що розтягує, дає негативну проекцію, то позитивна дотична напруга теж повинна давати негативну проекцію на відповідну вісь.

На рис. 3, наприклад, всі складові напруги, що діють по грані елементарного паралелепіпеда, що збігаються з площинами координат, позитивні.

Щоб визначити напружений стан у точці пружного тіла, необхідно знати повну напругу р N за трьома взаємно перпендикулярними майданчиками, що проходять через цю точку. Так як кожну повну напругу можна розкласти на три складові, напружений стан буде визначено, якщо будуть відомі дев'ять напруг. Ці складові можна записати у вигляді матриці

,

званою матрицею компонентів тензора напруги в точці.

У кожному горизонтальному рядку матриці записані три складові напруги, що діють по одному майданчику, тому що перші значки (назва нормалі) у них однакові. У кожному вертикальному стовпці тензора записано три напруги, паралельні одній і тій же осі, тому що другі значки (назва осі, паралельно якій діє напруга) у них однакові.

1.2 Рівняння рівноваги елементарного паралелепіпеда

та елементарного тетраедра

Виділимо у досліджуваної точки А (з координатами х, у та z) напруженого пружного тіла трьома взаємно перпендикулярними парами площин елементарний паралелепіпед з розмірами ребер dx, dy та dz (рис. 2). По кожній із трьох взаємно перпендикулярних граней, що примикають до точки А (найближчих до площин координат), діятимуть три складові напруги – нормальна та дві дотичні. Вважаємо, що за межами, що примикають до точки А, вони позитивні.

При переході від грані, що проходить через точку А, до паралельної грані напруги змінюються та отримують збільшення. Наприклад, якщо за межею CAD, що проходить через точку А, діють складові напруги σ х = f 1 (x, y, z), x xy = f 2 (x, y, z,), x x = f 3 (x, y,z,) , то по паралельній грані, внаслідок збільшення тільки однієї координати х при переході від однієї грані до іншої, діятимуть

складові напруги Можна визначити напруги всіх гранях елементарного паралелепіпеда, як показано на рис. 3.

Крім напруг, прикладених до граней елементарного паралелепіпеда, на нього діють об'ємні сили: сили ваги, інерційні. Позначимо проекції цих сил, віднесених до одиниці об'єму, на осі координат через X, У і Z. Якщо прирівняти нулю суму проекцій на вісь всіх нормальних, дотичних і об'ємної сил,

що діють на елементарний паралелепіпед, то після скорочення на твір dxdydz отримаємо рівняння

.

Склавши аналогічні рівняння проекцій сил на осі у і z напишемо три диференціальних рівняння рівноваги елементарного паралелепіпеда, отриманих Коші,

При зменшенні розмірів паралелепіпеда до нуля він перетворюється на точку, а σ і τ є складовими напруги по трьох взаємно перпендикулярних майданчиках, що проходять через точку А .

Якщо прирівняти нулю суму моментів усіх сил, що діють на елементарний паралелепіпед, щодо осі x c паралельної осі х і проходить через його центр тяжкості, отримаємо рівняння

або, з урахуванням того, що другий і четвертий члени рівняння вищого порядку трошки порівняно з іншими, після скорочення на dxdydz

yz - zy = 0 або yz = zy.

Склавши аналогічні рівняння моментів щодо центральних осей у c і z c отримаємо три рівняння закону парності дотичних напруг

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy , τ zx = τ xz . (1.3)

Цей закон формулюється так:дотичні напруги, що діють по взаємно перпендикулярних майданчиках і спрямовані перпендикулярно лінії перетину майданчиків, рівні за величиною і однакові за знаком.

Таким чином, з дев'яти складових напруг матриці тензора Т σ шість попарно рівні один одному, і для визначення напруженого стану в точці достатньо знайти наступні шість складових напруг:

.

Але складені умови рівноваги дали нам лише три рівняння (1.2), з яких шість невідомих знайдено бути не можуть. Таким чином, пряме завдання визначення напруженого стану в точці у випадку статично невизначена. Для розкриття цієї статичної невизначеності необхідні додаткові геометричні та фізичні залежності.

Розсічемо елементарний паралелепіпед у точки А площиною, нахиленою до його граней; нехай нормаль N до цієї площини має напрямні косинуси l, т і п. Геометрична фігура (рис. 4), що вийшла, являє собою піраміду з трикутною основою - елементарний тетраедр. Вважатимемо, що точка А збігається з початком координат, а три взаємно перпендикулярні грані тетраедра – з площинами координат.

Складові напруги, що діють по цих гранях тетраедра, вважатимемо

позитивними. Вони показані на рис. 4. Позначимо через і проекції повної напруги p N , що діє по похилій грані BCD тетраедра, на осі х, у і z. Площу похилої грані BCD позначимо dF. Тоді площа грані АВС буде dFп, грані ACD – dFl та грані АDВ – dFт.

Складемо рівняння рівноваги тетраедра, спроектувавши всі сили, що діють на його гранях, на вісь х; проекція об'ємної сили до рівняння проекцій не входить, так

як є величину вищого порядку малості в порівнянні з проекціями поверхневих сил:

Склавши рівняння проекції сил, що діють на тетраедр, на осі у і z отримаємо ще два аналогічні рівняння. В результаті матимемо три рівняння рівноваги елементарного тетраедра

Розділимо просторове тіло довільної форми системою взаємно перпендикулярних площин хОу, yОz та хОz (рис. 5) на ряд елементарних паралелепіпедів. У поверхні тіла при цьому утворюються елементарні

тетраедри, (криволінійні ділянки поверхні через їх невелику кількість можна замінити площинами). У такому разі р N представлятиме навантаження на поверхні, а рівняння (1.4) пов'язуватимуть це навантаження з напругою σ і τ в тілі, тобто представлятимуть граничні умови завдання теорії пружності. Умови, що визначаються цими рівняннями, називають умовами на поверхні.

Слід зазначити, що в теорії пружності зовнішні навантаження видаються нормальними і дотичними напругами, прикладеними за яким-небудь законом до майданчиків, що збігаються з поверхнею тіла.

1.3 Нормальні та дотичні напруги по похилій

майданчику

Розглянемо елементарний тетраедр ABCD, три грані якого паралельні координатним площинам, а нормаль N до четвертої грані складає з координатними осями кути, косинус яких дорівнює l, т і п (рис. 6). Вважатимемо заданими складові нормальні та дотичні напруги, що діють по майданчиках, що лежать у координатних площинах, і визначимо напруги на майданчику BCD. Виберемо нову систему прямокутних осей координат х 1 , y 1 і z 1 так щоб вісь х 1 збігалася з нормаллю N ,

У розділах 4-6 були виведені основні рівняння теорії пружності, що встановлюють закони зміни напруг і деформацій на околиці довільної точки тіла, а також співвідношення, що зв'язують напруги з деформаціями та деформації з переміщеннями. Наведемо повну систему рівнянь теорії пружності декартових координатах.

Рівняння рівноваги Навье:

Співвідношення Коші:

Закон Гука (у прямій та зворотній формах):

Нагадаємо, що тут е = е х + е у + e z -відносна об'ємна деформація, а згідно із законом парності дотичних напруг Xj. = Tj;і відповідно у~ = ^ 7 . Постійні Лямі, що входять до (16.3, а), визначаються за формулами (6.13).

З наведеної системи видно, що вона включає 15 диференціальних і рівнянь алгебри, що містять 15 невідомих функцій (6 компонент тензора напруг, 6 компонент тензора деформацій і 3 компоненти вектора переміщення).

У силу складності повної системи рівнянь не можна знайти загальне рішення, яке було б справедливим для всіх завдань теорії пружності, що зустрічаються на практиці.

Існують різні способи зменшення кількості рівнянь, якщо як невідомі функції прийняти, наприклад, тільки напруги або переміщення.

Якщо, вирішуючи завдання теорії пружності, виключити з розгляду переміщення, замість співвідношення Коші (16.2) можна отримати рівняння, що пов'язують між собою компоненти тензора деформацій. Продиференціюємо деформацію г х,визначається першою рівністю (16.2), двічі по у,деформацію г у -двічі по х і складемо отримані вирази. В результаті отримаємо

Вираз, що стоїть у дужках, згідно з (16.2) визначає кутову деформацію у. Таким чином, останню рівність можна записати у вигляді

Аналогічно можна отримати ще дві рівності, які разом із останнім співвідношенням становлять першу групу рівнянь спільності деформацій Сен-Венана:

Кожна з рівностей (16.4) встановлює зв'язок між деформаціями в одній площині. Зі співвідношення Коші можуть бути також отримані умови спільності, що пов'язують деформації в різних площинах. Продиференціюємо вирази (16.2) для кутових деформацій наступним чином: у - по zу - по х;

По у; складемо дві перші рівності і віднімемо третю. В результаті отримаємо

Диференціюючи цю рівність по у і враховуючи, що,

приходимо до наступного співвідношення:

За допомогою кругової підстановки отримаємо ще дві рівності, які разом із останнім співвідношенням становлять другу групу рівнянь спільності деформацій Сен-Венана:

Рівняння спільності деформацій називають також умовами суцільностіабо нерозривності.Ці терміни характеризують те що, що з деформуванні тіло залишається суцільним. Якщо уявити тіло, що складається з окремих елементів і прийняти деформації ех, у вигляді довільних функцій, то в деформованому стані з цих елементів не вдасться скласти суцільне тіло. При виконанні умов (16.4), (16.5) переміщення меж окремих елементів будуть такими, що тіло й у деформованому стані залишиться суцільним.

Таким чином, одним із способів скорочення кількості невідомих при вирішенні завдань теорії пружності є виняток із розгляду переміщень. Тоді замість співвідношень Коші до повної системи рівнянь входитимуть рівняння спільності деформацій Сен-Венана.

Розглядаючи повну систему рівнянь теорії пружності, слід звернути увагу, що вона мало містить чинників, визначальних напружено-деформований стан тіла. До таких факторів відносяться форма та розміри тіла, способи його закріплення, що діють на тіло навантаження, за винятком об'ємних сил X, Y, Z.

Таким чином, повна система рівнянь теорії пружності встановлює лише загальні закономірності зміни напружень, деформацій та переміщень у пружних тілах. Розв'язання конкретної задачі може бути отримане, якщо задані умови навантаження тіла. Це дається в граничних умовах, які й відрізняють одне завдання теорії пружності від іншого.

З математичної точки зору також зрозуміло, що загальне рішення системи диференціальних рівнянь включає довільні функції і постійні, які і повинні бути визначені з граничних умов.

У тілах, які перебувають у спокої чи рухаються під впливом навантажень.

1. Завдання теорії пружності

Завданням цієї теорії є запис математичних рівнянь, вирішення яких дозволяє відповісти на такі питання:

• якими будуть деформації конкретного тіла, якщо до нього прикласти у відомих місцях завантаження заданої величини?
• Якою буде при цьому напруга в тілі?

Питання, тіло зруйнується, витримає ці навантаження, що тісно пов'язані з теорією пружності, але, строго кажучи, не входить до його компетенції.

Прикладів можна навести безліч - від визначення деформацій і напруг в навантаженій балці на опорах, до цих же параметрів в корпусі літака, ракети, підводного човна, в колесі вагона в броні танка при ударі снаряда, в гірському масиві при прокладанні штольні, в каркасі висотного будинку і таке інше.

Для випадку інженерних завдань, напруги та деформації в конструкціях розраховують за спрощеними теоріями, що логічно базуються на теорії пружності. До таких теорій належать: опір матеріалів, Завданням якого є розрахунок стрижнів і балок, а також оцінка напруг, що виникають в зонах контактної взаємодії твердих тіл; будівельна механіка- розрахунок стрижневих систем (наприклад, мостів), та теорія оболонок- самостійна і добре розвинена галузь науки про деформацію та напруження, предметом дослідження якої є тонкостінні оболонки - циліндричні, конічні, сферичні та складні форми.

2. Основні поняття теорії пружності

Основними поняттями теорії пружності є напруга, що діють на малих площинках, які можна подумки провести в тілі через задану точку P, деформації малої околиці точки P та переміщення самої точки P. Точніше кажучи, вводяться тензор механічних напруг, Тензор малих деформацій та вектор переміщення u i.Коротке позначення , Де індекси i, jприймають значення 1, 2, 3 (або x, y, z)слід розуміти як матрицю у видах:

Аналогічно слід розуміти і коротке позначення тензора.

Якщо фізична точка тіла M внаслідок деформації зайняла нове положення у просторі P", то вектор переміщення є вектором з компонентами (u x, u y, u z),або, скорочено, u i.У теорії малих деформацій компоненти u iі вважаються малими величинами (строго кажучи, дуже малими). Компоненти тензора , який також називається . тензор деформації Кошіабо лінійний тензор деформаціїта вектора u iпов'язані залежностями:

З останнього запису видно, що , Тому тензор деформації є симетричним за визначенням.

Якщо пружне тіло під впливом зовнішніх сил перебуває у рівновазі (тобто. швидкості всіх його точок дорівнюють нулю), то рівновазі перебуває і кожна частина тіла, яку подумки можна з нього виділити. З тіла виділяється нескінченно малий прямокутний паралелепіпед, грані якого паралельні координатним площинам декартової системи. З умови рівноваги паралелепіпеда з розмірами ребер dx, dy, dz,розглянувши умови рівноваги сил у проекціях, можна отримати:

Аналогічно виходять рівняння рівноваги, що виражають рівність нулю головного моменту всіх сил, що діють на паралелепіпед, що приводяться до вигляду:

Ця рівність означає, що тензор напруг є симетричним тензором і число невідомих компонентів тензора напруг зводиться до 6. Є лише три рівняння рівноваги, тобто. рівнянь статики замало вирішення завдання. Вихід із положення полягає в тому, щоб висловити напруги через деформації за допомогою рівнянь закону Гука , а потім деформації висловити через переміщення u iза допомогою формул Коші і результат підставити в рівняння рівноваги. При цьому виходить три диференціальні рівняння рівноваги щодо трьох невідомих функцій u x u y u z,тобто. число невідомих буде відповідати числу рівнянь. Ці рівняння називаються рівняннями Нав'є-Коші.

.

3. Граничні умови

Розв'язання задач теорії пружності зводиться до інтегрування системи диференціальних рівнянь у похідних, що визначають поведінку пружного тіла у внутрішніх точках. До цих рівнянь додаються умови на поверхні, що обмежує тіло. Ці умови визначають завдання або зовнішніх поверхневих сил або переміщень точок поверхні тіла. Залежно від цього зазвичай формулюють один із трьох типів крайових завдань.

Перше крайове завдання- Кінематична. В обсязі тіла знаходяться складові переміщень, набувають на поверхні певних значень. В умовах на поверхні тіла таким чином задаються рівняння поверхні та значення складових переміщень на ній.

Друге крайове завдання- Статична. У цьому випадку на поверхні тіла не накладено жодних обмежень на переміщення і задаються рівняння поверхні, що направляють косинуси нормалі до поверхні та значення складових поверхневих навантажень.

У разі коли поверхня тіла збігається з координатними площинами, граничні умови можуть бути сформульовані безпосередньо в напругах. Тоді достатньо вказати рівняння поверхні та задати значення складових напруг на ній.

Третє крайове завдання- Змішана. У цьому випадку на одній частині поверхні тіла задаються кінематичні умови, а на іншій статичні.

Цими трьома завданнями не вичерпується вся різноманітність граничних умов. Наприклад, на деякій ділянці поверхні можуть бути задані не всі три складові переміщення або складові поверхневого навантаження.

4. Дивись також

Джерела

• Тимошенко С. П., Гуд'єр Дж.Теорія пружності. М: Наука, 1979. 560 с.

Зміст 4
Від редактора перекладу 10
Передмова до третього видання 13
Передмова до другого видання 15
Передмова до першого видання 16
Позначення 20
Глава 1. Вступ 22
§ 1. Пружність 22
§ 2. Напруги 23
§ 3. Позначення для сил та напруг 24
§ 4. Компоненти напруги 25
§ 5. Компоненти деформацій 26
§ 6. Закон Гука 28
§ 7. Індексні позначення 32
Завдання 34
Глава 2. Плоский напружений стан та плоска деформація 35
§ 8. Плоське напружене складалося 35
§ 9. Плоска деформація 35
§ 10. Напруги у точці 37
§ 11. Деформації у точці 42
§ 12. Вимірювання поверхневих деформацій 44
§ 13. Побудова кола деформацій Мора для розетки 46
§ 14. Диференціальні рівняння рівноваги 46
§ 15. Граничні умови 47
§ 16. Рівняння спільності 48
§ 17. Функція напруг 50
Завдання 52
Розділ 3. Двовимірні завдання у прямокутних координатах 54
§ 18. Рішення у поліномах 54
§ 19. Кінцеві ефекти. Принцип Сен-Венана 58
§ 20. Визначення переміщень 59
§ 21. Вигин консолі, навантаженої на кінці 60
§ 22. Вигин балки рівномірним навантаженням 64
§ 23. Інші випадки балок з безперервним розподілом навантаження 69
§ 24. Розв'язання двовимірної задачі за допомогою рядів Фур'є 71
§ 25. Інші додатки рядів Фур'є. Навантаження від власної ваги 77
§ 26. Вплив кондів. Власні функції 78
Завдання 80
Розділ 4. Двовимірні завдання у полярних координатах 83
§ 27. Загальні рівняння у полярних координатах 83
§ 28. Полярно-симетричний розподіл напруг 86
§ 29. Чистий вигин кривих брусів 89
§ 30. Компоненти деформацій у полярних координатах 93
§ 31. Переміщення при симетричних нулях напруг 94
§ 32. Диски, що обертаються 97
§ 33. Вигин кривого бруса силою, прикладеною на кінці 100
§ 34. Крайові дислокації 105
§ 35. Вплив круглого отвору на розподіл напруг у платівці 106
§ 36. Зосереджена сила, прикладена в деякій точці прямолінійного кордону 113
§ 37. Довільне вертикальне навантаження на прямолінійному кордоні 119
§ 38. Сила, що діє на вістря клину 125
§ 39. Згинальний момент, що діє на вістря клину 127
§ 40. Дія на балку зосередженої сили 128
§ 41. Напруги у круглому диску 137
§ 42. Сила, що діє в точці нескінченної платівки 141
§ 43. Узагальнене вирішення двовимірного завдання у полярних координатах 146
§ 44. Додатки узагальненого рішення у полярних координатах 150
§ 45. Клин, навантажений уздовж граней 153
§ 46. Власні рішення для клинів та вирізів 155
Завдання 158
Розділ 5. Експериментальні методи. Метод фотопружності та метод «муару» 163
§ 47. Експериментальні методи та перевірка теоретичних рішень 163
§ 48. Вимірювання напруг фотопружним методом 163
§ 49. Круговий полярископ 169
§ 50. Приклади визначення напруг фотопружним методом 171
§ 51. Визначення головної напруги 174
§ 52. Методи фотопружності у тривимірному випадку 175
§ 53. Метод муару 177
Глава 6. Двовимірні завдання у криволінійних координатах 180
§ 54. Функції комплексного змінного 180
§ 55. Аналітичні функції та рівняння Лапласа 182
§ 56. Функції напруг, виражені через гармонійні та комплексні функції 184
§ 57. Переміщення, що відповідають заданій функції напруг 186
§ 58. Вираз напруг і переміщень через комплексні потенціали 188
§ 59. Результуюча напруга, що діє по деякій кривій. Граничні умови 190
§ 60. Криволінійні координати 193
§ 61. Компоненти напруг у криволінійних координатах 196
Завдання 198
§ 62. Рішення в еліптичних координатах. Еліптичний отвір у пластинці з однорідним напруженим станом 198
§ 63. Еліптичний отвір у платівці, підданої одновісному розтягуванню 202
§ 64. Гіперболічні межі. Вирізи 206
§ 65. Біполярні координати 208
§ 66. Рішення в біполярних координатах 209
§ 67. Визначення комплексних потенціалів за заданими граничними умовами. Методи Н. І. Мусхелішвілі 214
§ 68 Формули для комплексних потенціалів 217
§ 69. Властивості напруг і деформацій, що відповідають комплексним потенціалам, аналітичним в галузі матеріалу, розташованої навколо отвору.
§ 70. Теореми для граничних інтегралів 221
§ 71. Відображає функція ω(ξ)для еліптичного отвору. Другий граничний інтеграл 224
§ 72. Еліптичний отвір. Формула для ψ(ζ) 225
§ 73. Еліптичний отвір. Приватні завдання 226
Завдання 229
Глава 7. Аналіз напруг та деформацій у просторовому випадку 230
§ 74. Вступ 230
§ 75. Головні напруження 232
§ 76. Еліпсоїд напруг і напрямна поверхня напруг 233
§ 77. Визначення головної напруги 234
§ 78. Інваріанти напруг 235
§ 79. Визначення максимальної дотичної напруги 236
§ 80. Однорідна деформація 238
§ 81. Деформації у точці тіла 239
§ 82. Головні осі деформацій 242
§ 83. Обертання 243
Завдання 245
Розділ 8. Загальні теореми 246
§ 84. Диференціальні рівняння рівноваги 246
§ 85. Умови сумісності 247
§ 86. Визначення переміщень 250
§ 87. Рівняння рівноваги у переміщеннях 251
§ 88. Загальне рішення для переміщень 252
§ 89. Принцип суперпозиції 253
§ 90. Енергія деформації 254
§ 91. Енергія деформації для крайової дислокації 259
§ 92. Принцип віртуальної роботи 261
§ 93. Теорема Кастільяно 266
§ 94. Додатки принципу мінімальної роботи. Прямокутні платівки 270
§ 95. Ефективна ширина широких полиць балок 273
Завдання 279
§ 96. Єдиність рішення 280
§ 97. Теорема взаємності 282
§ 98. Наближений характер рішень для плоского напруженого стану 285
Завдання 287
Розділ 9. Елементарні тривимірні завдання теорії пружності 289
§ 99. Однорідний напружений стан 289
§ 100. Розтягнення призматичного стрижня під дією власної ваги 290
§ 101. Кручення круглих валів постійного поперечного перерізу 293
§ 102. Чистий вигин призматичних стрижнів 294
§ 103. Чистий вигин платівок 298
Глава 10. Кручення 300
§ 104. Кручення прямолінійних стрижнів 300
§ 105. Еліптичний поперечний переріз 305
§ 106. Інші елементарні рішення 307
§ 107. Мембранна аналогія 310
§ 108. Кручення стрижня вузького прямокутного поперечного перерізу 314
§ 109. Кручення прямокутних стрижнів 317
§ 110. Додаткові результати 320
§ 111. Розв'язання задач про кручення енергетичним методом 323
§ 112. Кручення стрижнів прокатних профілів 329
§ 113. Експериментальні аналогії 331
§ 114. Гідродинамічні аналогії 332
§ 115. Кручення порожніх валів 335
§ 116. Кручення тонкостінних труб 339
§ 117. Гвинтові дислокації 343
§ 118. Кручення стрижня, один із поперечних перерізів якого залишається плоским 345
§ 119. Кручення круглих валів змінного діаметра 347
Завдання 355
Глава 11. Вигин брусів 359
§ 120. Вигин консолі 359
§ 121. Функція напруг 361
§ 122. Круглий поперечний переріз 363
§ 123. Еліптичний поперечний переріз 364
§ 124. Прямокутний поперечний переріз 365
§ 125. Додаткові результати 371
§ 126. Несиметричні поперечні перерізи 373
§ 127. Центр вигину 375
§ 128. Розв'язання задач вигину за допомогою методу мильної плівки 378
§ 129. Переміщення 381
§ 130. Подальші дослідження вигину брусів 382
Глава 12. Осесиметричні напруження та деформації в тілах обертання 384
§ 131. Загальні рівняння 384
§ 132. Рішення у поліномах 387
§ 133. Вигин круглої пластинки 388
§ 134. Тривимірне завдання про диск, що обертається 391
§ 135. Сила, прикладена в деякій точці нескінченного тіла 393
§ 136. Сферичний посуд під дією внутрішнього або зовнішнього рівномірного тиску 396
§ 137. Місцева напруга навколо сферичної порожнини 399
§ 138. Сила, прикладена на межі напівнескінченного тіла 401
§ 139. Навантаження, розподілене в частині кордону напівнескінченного тіла 405
§ 140. Тиск між двома стикаються сферичними тілами 412
§ 141. Тиск між двома дотичними тілами. Більш загальний випадок 417
§ 142. Зіткнення куль 422
§ 143. Симетрична деформація круглого циліндра 424
§ 144. Круглий циліндр під дією оперізувального тиску 428
§ 145. Рішення Буссінеска у вигляді двох гармонійних функцій 430
§ 146. Розтягнення гвинтової пружини (гвинтові дислокації в кільці) 431
§ 147. Чистий вигин частини круглого кільця 434
Глава 13. Температурна напруга 436
§ 148. Найпростіші випадки розподілу температурних напруг. Метод усунення деформацій 436
Завдання 442
§ 149. Поздовжня зміна температури в смузі 442
§ 150. Тонкий круглий диск: розподіл температури, симетричний щодо центру 445
§ 151. Довгий круглий циліндр 447
Завдання 455
§ 152. Сфера 455
§ 153. Загальні рівняння 459
§ 154. Теорема взаємності у термопружності 463
§ 155. Повні термопружні деформації. Довільний розподіл температури 464
§ 156. Термопружні переміщення. Інтегральне рішення В. М. Май-зеля 466
Завдання 469
§ 157. Початкова напруга 469
§ 158. Загальна зміна обсягу, пов'язана з початковою напругою 472
§ 159. Плоска деформація та плоский напружений стан. Метод усунення деформацій 472
§ 160. Двовимірні завдання зі стаціонарним потоком тепла 474
§ 161. Плоский термонапружений стан, викликаний обуренням однорідного потоку тепла ізольованим отвором 480
§ 162. Розв'язки загальних рівнянь. Термопружний потенціал переміщення 481
§ 163. Загальне двовимірне завдання для кругових областей 485
§ 164. Загальне двовимірне завдання. Рішення у комплексних потенціалах 487
Розділ 14. Розповсюдження хвиль у пружному суцільному середовищі 490
§ 165. Вступ 490
§ 166. Хвилі розширення та хвилі спотворення в ізотропному пружному середовищі 491
§ 167. Плоскі хвилі 492
§ 168. Поздовжні хвилі у стрижнях постійного перерізу. Елементарна теорія 497
§ 169. Поздовжнє зіткнення стрижнів 502
§ 170. Поверхневі хвилі Релея 510
§ 171. Хвилі зі сферичною симетрією в нескінченному середовищі 513
§ 172. Вибуховий тиск у сферичній порожнині 514
Програма. Застосування кінцево-різницевих рівнянь у теорії пружності 518
§ 1. Висновок кінцево-різницевих рівнянь 518
§ 2. Методи послідовних наближень 522
§ 3. Метод релаксації 525
§ 4. Трикутні та шестикутні сітки 530
§ 5. Блокова та групова релаксації 535
§ 6. Кручення стрижнів з багатозв'язковими поперечними перерізами 536
§ 7. Точки, розташовані поблизу кордону 538
§ 8. Бігармонічне рівняння 540
§ 9. Кручення кругових валів змінного діаметра 548
§ 10. Розв'язання задач за допомогою ЕОМ 551
Іменний покажчик 553
Предметний покажчик 558