Золотое сечение. Божественная пропорция. Луки Пачоли «О божественной пропорции

Фра Лука Бартоломео де Пачоли или Пачоло - итальянский математик, один из основоположников современных принципов бухгалтерии.

Пачоли родился около 1445 в небольшом городке Борго Сан-Сеполькро на границе Тосканы и Умбрии. Подростком он был отдан на обучение в мастерскую знаменитого художника Пьеро делла Франческа. Здесь его заметил великий итальянский зодчий Леон Батиста Альберти. В Венеции Пачоли посещает лекции знаменитого математика Доменико Брагадино в школе Риальто. В 1470 году он закончил свою первую книг у - учебник коммерческой арифметики. В этом же году он оставил Венецию и перебрался в Рим . Однако через два года Пачоли покинул Рим и принял монашеский постриг, став францисканцем.

С 14 октября 1477 года по 11 декабря 1480 года - профессор в Перуджинском университете, где читает лекции по алгебре, геометрии.
В 1494 году Пачоли опубликовал математический труд под названием «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций», посвящённый герцогу Урбинскому Гвидобальдо да Монтефельтро. Пожалуй, самое существенное нововведение Пачоли состоит в систематическом использовании синкопированной алгебраической записи - своеобразной предшественницы последующего символического исчисления. Книга содержит таблицу монет, весов и мер, принятых в разных частях Италии, а также руководство по венецианской двойной бухгалтерии.

В 1496 по приглашению герцога Лодовико Сфорца приезжает в Милан и возглавляет только что созданную при Миланском университете кафедру математики. В Милане знакомится с Леонардо да Винчи, с которым в дальнейшем очень сдружился.

В 1509 году в Венеции была издана ещё одна книга Пачоли: «Божественная пропорция. Сочинение, весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или другие математические предметы извлечёт приятнейшее, остроумное и удивительное учение и развлечёт себя различными вопросами сокровеннейшей науки».

Джакопо де Барбари. Портрет Луки Пачоли. 1510

Лука Пачоли (1445-1514) был крупнейщим европейским алгебраистом 15 в. По настоянию Леонардо да Винчи написал книгу "О Божественой пропорции". Сам Леонардо выполнил иллюстрации для этой книги, в том числе 59 изображений многогранников.

Справа предположительно Гвидобальдо да Монтефельтро, будущий герцог Урбинский (возможно автопортет художника). На столе перед Пачоли лежат Начала Евклида. Он читает лекцию по геометрии и, судя по изображению на доске, рассказывает о pons asinorum - «мосте ослов». Так раньше называлась теорема из «Начал», согласно которой углы, противоположные равным сторонам равнобедренного треугольника, равны. В левом верхнем углу ромбокубооктаэдр - одно из тел Архимеда.

Книга справа - "Сумма арифметики". На ней находится додекаэдр, а вверху изображен многогранник со стеклянными гранями, наполовину наполненный водой, подвешенный к потолку на золотой цепочке. В нем отражается окно, сквозь которое слева направо падает луч света. Этот многогранник - ромбокубоктаэдр, Многогранник Пачоли.

Текущая страница: 11 (всего у книги 21 страниц) [доступный отрывок для чтения: 14 страниц]

Божественная пропорция

Поиски нашего происхождения – вот сок того сладкого плода, который приносит столько удовлетворения разуму философов.

Лука Пачоли (1445–1517)

Лишь немногие великие живописцы в истории человечества были и одаренными математиками. Однако выражение «Человек Возрождения» означает в нашем лексиконе человека, воплощавшего возрожденческий идеал широчайшего кругозора и образованности. Вот и три самых знаменитых художника эпохи Возрождения – итальянцы Пьеро делла Франческа (ок. 1412–1492) и Леонардо да Винчи и немец Альбрехт Дюрер, также сделали весьма значительный вклад в математику. Пожалуй, нет ничего удивительного, что математические изыскания всех троих были связаны с золотым сечением. Самым деятельным математиком из этого блистательного трио виртуозов был Пьеро делла Франческа. Сочинения Антонио Марии Грациани, который приходился родственником правнукам Пьеро и приобрел дом художника, свидетельствуют о том, что Пьеро родился в 1412 году в Борго Сансеполькро в Центральной Италии. Его отец Бенедетто был преуспевающим кожевенником и сапожником. О детстве Пьеро почти ничего больше не известно, однако недавно были обнаружены документы, из которых очевидно, что до 1431 года он провел некоторое время в учениках у художника Антонио Д’Ангиари, работы которого до нас не дошли. К концу 1430 годов Пьеро перебрался во Флоренцию, где начал сотрудничать с художником Доменико Венециано. Во Флоренции молодой художник познакомился с работами художников раннего Возрождения – в том числе фра Анджелико и Мазаччо – и со скульптурами Донателло. Особенно сильное впечатление произвела на него величественная безмятежность работ фра Анджелико на религиозные темы, и его собственный стиль отражает это влияние во всем, что касается светотени и колорита. В последующие годы Пьеро трудился не покладая рук в самых разных городах – в том числе в Римини, Ареццо и Риме. Фигуры кисти Пьеро либо отличались архитектурной строгостью и монументальностью, как в «Бичевании Христа» (сейчас картина хранится в Национальной галерее Марке в Урбино; рис. 45), либо были словно бы естественным продолжением фона, как в «Крещении» (в настоящее время находится в Национальной галерее в Лондоне; рис. 46). Первый историк искусств Джорджо Вазари (1511–1574) в своих «Жизнеописаниях наиболее знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих» пишет, что Пьеро с ранней юности выказывал недюжинные математические способности, и приписывает ему написание «многочисленных» математических трактатов. Некоторые из них были созданы в старости, когда художник по немощи уже не мог писать картины. В посвятительном письме герцогу Гвидобальдо Урбинскому Пьеро упоминает одну из своих книг, сочиненную, «дабы разум его не закоснел от неупотребления». До нас дошли три труда Пьеро по математике: «De Prospectiva pingendi » («О перспективе в живописи»), «Libellus de Quinque Corporibus Regularibus » («Книжица о пяти правильных многогранниках») и «Trattato d ’Abaco » («Трактат о счетах»).

Рис. 45

Рис. 46

В трактате «О перспективе» (середина 1470 годов – 1480 годы) содержится много отсылок к «Началам» и «Оптике» Евклида, поскольку Пьеро делла Франческа решил доказать, что техника передачи перспективы в живописи полностью основана на математических и физических свойствах визуальной перспективы. На картинах самого художника перспектива представляет собой просторное вместилище, находящееся в полном соответствии с геометрическими свойствами заключенных в нем фигур. По сути дела, для Пьеро сама живопись в первую очередь сводилась к «показу на плоскости тел уменьшенного или увеличенного размера». Такой подход прекрасно виден на примере «Бичевания» (рис. 45 и 47): это одна из немногих картин эпохи Возрождения, где перспектива выстроена и проработана весьма тщательно. Как пишет современный художник Дэвид Хокни в своей книге «Тайное знание» (David Hockney . Secret Knowledge, 2001), Пьеро пишет фигуры «такими, какими, по его убеждению, они должны быть, а не такими, какими он их видит».

По случаю пятисотой годовщины со дня смерти Пьеро, ученые Лаура Джеатти из Римского университета и Лучано Фортунати из Национального совета по исследованиям в Пизе проделали подробнейший анализ «Бичевания» c помощью компьютера. Они оцифровали всю картину, определили координаты всех точек, перемерили все расстояния и составили полный анализ перспективы на основе алгебраических вычислений. Это позволило им точно определить местоположение «точки схода», где пересекаются все линии, уходящие к горизонту от зрителя (рис. 47), благодаря чему Пьеро и сумел добиться «глубины», которая производит такое сильное впечатление.

Рис. 47

Книга Пьеро о перспективе, отличающаяся ясностью изложения, стала стандартным руководством для художников, пытавшихся рисовать плоские фигуры и геометрические тела, а те ее разделы, которые не перегружены математикой (и более понятны), вошли в большинство последующих работ по перспективе. Вазари утверждает, что Пьеро получил солидное математическое образование и поэтому «лучше любого другого геометра понимал, как лучше всего проводить круги в правильных телах, и именно он пролил свет на эти вопросы» (здесь и далее пер. А. Габричевского и А. Бенедиктова ). Примером того, как тщательно Пьеро разработал метод рисования правильного пятиугольника в перспективе, может служить рис. 48.

И в «Трактате о счетах», и в «Книжице о пяти правильных многогранниках» Пьеро ставит (и решает) множество задач с участием пятиугольника и пяти платоновых тел. Он вычисляет длины сторон и диагоналей, площади и объемы. Многие решения опираются и на золотое сечение, а некоторые приемы Пьеро свидетельствуют о его изобретательности и оригинальности мышления.

Рис. 48

Пьеро, как и его предшественник Фибоначчи, написал «Трактат о счетах» в основном ради того, чтобы снабдить своих современников-дельцов арифметическими «рецептами» и геометрическими правилами. В тогдашнем мире коммерции не было ни унифицированной системы мер и весов, ни даже соглашений о размерах и формах емкостей, так что без умения вычислять объем фигур было никак не обойтись. Однако математическая любознательность выводила Пьеро далеко за рамки тем, сводившихся к повседневным нуждам. Поэтому в его книгах мы находим и «бесполезные» задачи – например, вычисление длины ребра октаэдра, вписанного в куб, или диаметра пяти маленьких кругов, вписанных в круг большего диаметра (рис. 49). Для решения последней задачи используется правильный пятиугольник, а следовательно, и золотое сечение.

Рис. 49

Алгебраические изыскания Пьеро в основном вошли в книгу, которую выпустил в свет Лука Пачоли (1445–1517) под названием «Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita » («Свод познаний в арифметике, геометрии, пропорциях и пропорциональности»). Труды Пьеро по многогранникам, написанные на латыни, перевел на итальянский тот же Лука Пачоли – и опять же включил (ну, или, выражаясь не столь деликатно, попросту украл) в свою знаменитую книгу о золотом сечении под названием «О божественной пропорции» («Divina Proportione »).

Кто же он был, этот полный противоречий математик Лука Пачоли? Величайший плагиатор в истории математики – или все же великий популяризатор математической науки?

Невоспетый герой Возрождения?

Лука Пачоли родился в 1445 году в том же тосканском городке Борго Сансеполькро, где родился и держал мастерскую Пьеро делла Франческа. Более того, начальное образование Лука получил именно в мастерской Пьеро. Однако, в отличие от других учеников, выказывавшим способности к живописи – некоторым из них, например, Пьетро Перуджино, суждено было стать великими живописцами, – Лука оказался более склонным к математике. Пьеро и Пачоли сохраняли дружеские отношения и в дальнейшем: доказательством тому служит то, что Пьеро изобразил Пачоли в виде Св. Петра Веронского (Петра Мученика) на «Алтаре Монтефельтро». Еще сравнительно молодым человеком Пачоли перебрался в Венецию и стал там наставником трех сыновей состоятельного торговца. В Венеции он продолжил математическое образование под руководством математика Доменико Брагадино и написал первую книгу по арифметике.

В 1470 годах Пачоли изучал теологию и постригся в монахи-францисканцы. С тех пор его стало принято называть фра Лука Пачоли. В последующие годы он много путешествовал, преподавал математику в университетах в Перудже, Задаре, Неаполе и Риме. В то время Пачоли, вероятно, некоторое время учил и Гвидобальдо Монтефельтро, которому в 1482 году предстояло стать герцогом Урбинским. Лучший, пожалуй, портрет математика – это картина кисти Якопо де Барбари (1440–1515), изображающая, как Лука Пачоли дает урок геометрии (рис. 50, картина находится в музее Каподимонте в Неаполе). Справа на книге Пачоли «Summa » покоится одно из платоновых тел – додекаэдр. Сам Пачоли во францисканской рясе (тоже похожий на правильный многогранник, если приглядеться) копирует чертеж из XIII книги «Начал» Евклида. Прозрачный многогранник под названием ромбокубоктаэдр (одно из архимедовых тел, многогранник с 26 гранями, 18 из которых – квадраты, а 8 – равносторонние треугольники), висящий в воздухе и наполовину наполненный водой, символизирует чистоту и вечность математики. Художнику удалось с поразительным искусством передать преломление и отражение света в стеклянном многограннике. Личность ученика Пачоли, изображенного на этой картине, стала предметом споров. В частности, предполагают, что этот юноша – сам герцог Гвидобальдо. Английский математик Ник Маккиннон в 1993 году выдвинул интересную гипотезу. В своей статье «Портрет фра Лука Пачоли», опубликованной в «Mathematical Gazette » и основанной на весьма солидных исследованиях, Маккиннон делает вывод, что это портрет великого немецкого живописца Альбрехта Дюрера, которого очень интересовали и геометрия, и перспектива (а к его отношениям с Пачоли мы еще вернемся чуть ниже). И в самом деле, лицо ученика поразительно похоже на автопортрет Дюрера.

Рис. 50

В 1489 году Пачоли вернулся в Борго Сансеполькро, получив некоторые привилегии от самого Папы, однако местный религиозный истеблишмент встретил его с ревнивой недоброжелательностью. Около двух лет ему даже запрещали преподавать. В 1494 году Пачоли отправился в Венецию печатать свою книгу «Summa », которую посвятил герцогу Гвидобальдо. «Summa » по природе и по размаху (около 600 страниц) – подлинно энциклопедический труд, где Пачоли свел воедино все, что было на то время известно в области арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. В своей книге Пачоли не стесняется заимствовать задачи об икосаэдре и додекаэдре из «Трактата» Пьеро делла Франческа и другие задачи по геометрии, а также по алгебре, из трудов Фибоначчи и других ученых (правда, обычно выражает благодарность автору, как полагается). Пачоли признается, что его главный источник – это Фибоначчи, и говорит, что там, где нет ссылок на кого-то другого, труды принадлежат Леонардо Пизанскому. Интересный раздел «Summa » – бухгалтерская система двойной записи, метод, позволяющий прослеживать, откуда деньги пришли и куда ушли. Эту систему изобрел не сам Пачоли, он лишь свел воедино приемы венецианских купцов эпохи Возрождения, однако считается, что это первая книга по бухгалтерии в истории человечества. Так и получилось, что желание Пачоли «позволить дельцу незамедлительно получать сведения о своих активах и денежных обязательствах» стяжало ему прозвище «Отец бухгалтерии», и в 1994 году бухгалтеры всего мира отмечали пятисотлетие «Summa » в Сансеполькро, как теперь называется этот город.

В 1480 году место герцога Миланского фактически занял Людовико Сфорца. На самом деле он был всего лишь регентом при настоящем герцоге, которому тогда было только семь лет; это событие положило конец периоду политических интриг и убийств. Людовико решил украсить свой двор художниками и учеными и в 1482 году пригласил Леонардо да Винчи в «коллегию герцогских инженеров». Леонардо очень интересовался геометрией, в особенности – ее практическим приложением в механике. По его словам, «Механика – это рай среди математических наук, поскольку именно она порождает плоды математики». А впоследствии, в 1496 году, именно Леонардо, скорее всего, добился, чтобы герцог пригласил ко двору и Пачоли в качестве учителя математики. Леонардо, несомненно, учился геометрии и у Пачоли, а ему привил любовь к живописи.

Во время пребывания в Милане Пачоли завершил работу над трехтомным трактатом «О божественной пропорции», вышедшим в свет в Венеции в 1509 году. Первый том, «Compendio de Divina Proportione » («Компендиум о божественной пропорции»), содержит подробный свод всех качеств золотого сечения (его Пачоли называет «божественной пропорцией) и исследование платоновых тел и других многогранников. На первой странице «О божественной пропорции» Пачоли несколько выспренно заявляет, что это «труд, необходимый всем пытливым, ясным человеческим умам, в котором всякий, кто любит изучать философию, перспективу, живопись, ваяние, зодчество, музыку и иные математические дисциплины, найдет весьма тонкое, изящное и прелестное учение и получит наслаждение от разнообразных вопросов, затрагивающих все тайные науки».

Первый том трактата «О божественной пропорции» Пачоли посвятил Людовико Сфорца, а в пятой главе он перечисляет пять причин, почему, по его мнению, золотое сечение следует именовать не иначе как божественной пропорцией.

1. «Она одна, едина и всеобъемлюща». Пачоли сравнивает уникальность золотого сечения с тем обстоятельством, что «Единый» – «Высочайший эпитет самого Господа».

2. Пачоли видит сходство между тем, что определение золотого сечения включает в себя ровно три длины (АС, СВ и АВ на рис. 24), и существованием Святой Троицы – Отца, Сына и Святого Духа.

3. Для Пачоли непостижимость Бога и то обстоятельство, что золотое сечение – иррациональное число, эквивалентны. Вот как он пишет: «Подобно тому, как Господа нельзя определить должным образом и невозможно постичь его посредством слов, так и наша пропорция не может быть передана постижимыми цифрами и выражена через какое бы то ни было рациональное количество, она навеки останется тайной, сокрытой от всех, и математики именуют ее иррациональной».

4. Пачоли сравнивает вездесущесть и неизменность Бога с самоподобием, которое связывают с золотым сечением: его значение всегда неизменно и не зависит от длины отрезка, который делят в соответствующей пропорции, или с размером правильного пятиугольника, в котором вычисляют соотношения длин.

5. Пятая причина показывает, что Пачоли придерживался даже более платоновских взглядов на бытие, чем сам Платон. Пачоли утверждает, что подобно тому, как Господь дал жизнь мирозданию посредством квинтэссенции, нашедшей отражение в додекаэдре, так и золотое сечение дало жизнь додекаэдру, поскольку невозможно построить додекаэдр без золотого сечения. Пачоли добавляет, что невозможно сравнить остальные платоновы тела (символы воды, земли, огня и воздуха) друг с другом без опоры на золотое сечение.

В самой книге Пачоли постоянно разглагольствует о качествах золотого сечения. Он последовательно анализирует 13 так называемых «эффектов» «божественной пропорции» и каждому из этих «эффектов» приписывает эпитеты вроде «неотъемлемый», «неповторимый», «чудесный», «высочайший» и т. д. Например, тот «эффект», что золотые прямоугольники можно вписать в икосаэдр (рис. 22), он называет «непостижимым». Он останавливается на 13 «эффектах», сделав вывод, что «следует завершить этот перечень ради спасения души», поскольку именно 13 человек сидели за столом во время Тайной Вечери.

Не приходится сомневаться, что Пачоли очень интересовался живописью, и целью создания трактата «О божественной пропорции» отчасти было отточить математическую основу изящных искусств. На первой же странице книги Пачоли выражает желание посредством золотого сечения открыть художникам «тайну» гармонических форм. Чтобы обеспечить привлекательность своего труда, Пачоли заручился услугами лучшего иллюстратора, о каком только мог мечтать любой писатель: сам Леонардо да Винчи снабдил книгу 60 рисунками многогранников как в виде «скелетов» (рис. 51), так и в виде сплошных тел (рис. 52). За благодарностью дело не встало – Пачоли написал о Леонардо и его вкладе в книгу так: «Лучший живописец и мастер перспективы, лучший зодчий, музыкант, человек, наделенный всеми возможными достоинствами – Леонардо да Винчи, который придумал и исполнил цикл схематических изображений правильных геометрических тел». Сам же текст, признаться, не достигает заявленных высоких целей. Хотя начинается книга с сенсационных тирад, далее следует довольно-таки обычный набор математических формул, небрежно разбавленных философскими определениями.

Рис. 51

Рис. 52

Вторая книга трактата «О божественной пропорции» посвящена влиянию золотого сечения на архитектуру и его проявлениям в структуре человеческого организма. В основном трактат Пачоли основан на работе римского архитектора Марка Витрувия Поллиона (ок. 70–25 гг. до н. э.). Витрувий писал:

Центральная точка человеческого тела – это, естественно, пупок. Ведь если человек ляжет ничком на спину и раскинет руки и ноги, а на пупок ему поставить циркуль, то пальцы рук и ног у него коснутся описанной окружности. И подобно тому, как тело человека вписывается в круг, так можно из него получить и квадрат. Ведь если мы измерим расстояние от подошв до макушки, а затем применим эту меру к раскинутым рукам, то окажется, что ширина фигуры в точности равна высоте, как и в случае плоских поверхностей, имеющих форму идеального квадрата.

Ученые Возрождения считали этот отрывок очередным доказательством связи между природной и геометрической основой красоты, и это привело к созданию концепции витрувианского человека, которого так прекрасно изобразил Леонардо (рис. 53, в настоящее время рисунок хранится в Галерее Академии в Венеции). Подобным же образом книга Пачоли начинается с обсуждения пропорций человеческого тела, «поскольку в теле человека можно найти пропорции любых видов, по воле Всевышнего явленные через сокровенные тайны природы».

Рис. 53

В литературе можно часто встретить утверждения, что Пачоли будто бы считал, что золотое сечение определяет пропорции всех произведений искусства, однако на самом деле все совсем не так. Говоря о пропорции и внешнем устройстве, Пачоли в основном ссылается на витрувианскую систему, основанную на простых (рациональных) дробях. Писатель Роджер Герц-Фишлер проследил, откуда взялось распространенное заблуждение, что золотое сечение будто бы служило для Пачоли каноном пропорций: оно восходит к ложному утверждению, сделанному в издании «Истории математики» французских математиков Жана Этьена Монтюкла и Жерома де Лаланда 1799 года (Jean Etienne Montucla, Jérôme de Lalande . Histoire de Mathématiques).

Третий том трактата «О божественной пропорции» (короткая книга в трех частях о пяти правильных геометрических телах), в сущности, представляет собой дословный перевод на итальянский «Пяти правильных многогранников» Пьеро делла Франческа, написанных на латыни. То, что Пачоли ни разу не упоминает, что он всего лишь переводчик книги, вызвало у историка искусств Джорджо Вазари горячее осуждение. Вазари пишет о Пьеро делла Франческа:

Почитаясь редкостным мастером в преодолении трудностей правильных тел, а также арифметики и геометрии, он, пораженный в старости телесной слепотой, а затем и смертью, не успел выпустить в свет доблестные труды свои и многочисленные книги, им написанные, кои и поныне хранятся в Борго, у него на родине. Тот, кто должен был всеми силами стараться приумножить его славу и известность, ибо у него научился всему, что знал, пытался как злодей и нечестивец изничтожить имя Пьеро, своего наставника, и завладеть для себя почестями, которые должны были принадлежать одному Пьеро, выпустив под своим собственным именем, а именно брата Луки из Борго [Пачоли], все труды этого почтенного старца, который помимо вышеназванных наук был превосходным живописцем. (Пер. М. Глобачева )

Так можно ли считать Пачоли плагиатором? Весьма вероятно, хотя в «Summa » он все же воздает Пьеро должное, называя его «монархом в живописи наших времен» и человеком, который «знаком читателю по многочисленным трудам по искусству живописи и силе линии в перспективе».

Р. Эмметт Тейлор (1889–1956) в 1942 году выпустил книгу под названием «Нет царского пути. Лука Пачоли и его время» (R. Emmett Taylor . No Royal Road: Luca Pacioli and His Times). В этой книге Тейлор относится к Пачоли с большой симпатией и отстаивает ту точку зрения, что, если исходить из стиля, Пачоли, вероятно, не имеет никакого отношения к третьему тому трактата «О божественной пропорции», и это сочинение ему лишь приписывают.

Так это или не так, неизвестно, однако несомненно, что если бы не печатные труды Пачоли, идеи и математические конструкции Пьеро, которые не были опубликованы в печатном виде, вероятно, не стяжали бы той известности, которая им в результате досталась. Более того, до времен Пачоли золотое сечение было известно под устрашающими названиями вроде «крайнее и среднее отношение» или «пропорция, имеющая среднее и два экстремума», и само это понятие было известно одним лишь математикам.

Публикация «О божественной пропорции» в 1509 году вызвала новую вспышку интереса к теме золотого сечения. Теперь концепцию рассматривали, что называется, свежим взглядом: раз о ней издали книгу, значит, она достойна уважения. Само название золотого сечения оказалось наделено теолого-философским смыслом (божественная пропорция), а это также делало золотое сечение не просто математическим вопросом, а темой, в которую могли углубиться интеллектуалы самого разного толка, причем это разнообразие со временем лишь ширилось. Наконец, с появлением труда Пачоли золотое сечение стали изучать и художники, поскольку теперь о нем говорилось не только в откровенно математических трактатах – Пачоли рассказал о нем так, что этим понятием можно было пользоваться.

Рисунки Леонардо к трактату «О божественной пропорции», начертанные (по выражению Пачоли) «его неописуемой левой рукой», также оказали определенное воздействие на читательскую аудиторию. Вероятно, это были первые изображения многогранников в схематическом, скелетоподобном виде, что позволяло легко представить их себе со всех сторон. Возможно, Леонардо рисовал многогранники с деревянных моделей, поскольку в документах Совета Флоренции сохранились записи о том, что город приобрел набор деревянных моделей Пачоли, дабы выставить их на всеобщее обозрение. Леонардо рисовал не только схемы для книги Пачоли, наброски всевозможных многогранников мы видим повсюду в его заметках. В одном месте Леонардо дает приблизительный метод построения правильного пятиугольника. Слияние математики с изобразительным искусством достигает пика в «Trattato della pittura » («Трактате о живописи»), который составил Франческо Мельци, унаследовавший рукописи Леонардо, по его записям. Начинается трактат с предупреждения: «Тот, кто не математик, да не прочтет мои труды!» – едва ли такое заявление найдешь в современных учебниках по изобразительному искусству!

Рисунки геометрических тел из трактата «О божественной пропорции» вдохновили и фра Джованни да Верона на создание работ в технике интарсии . Интарсия – это особый вид инкрустации деревом по дереву, создание сложных плоских мозаик. Около 1520 года фра Джованни создал инкрустированные панели с изображением икосаэдра, причем в качестве образца он почти наверняка пользовался схематическими рисунками Леонардо.

Пути Леонардо и Пачоли несколько раз пересекались и после завершения трактата «О божественной пропорции». В октябре 1499 года оба бежали из Милана, когда его захватила французская армия короля Людовика XII. Потом ненадолго останавливались в Мантуе и в Венеции и на некоторое время осели во Флоренции. За тот период, когда они дружили, Пачоли создал еще два труда по математике, прославивших его имя – перевод на латынь «Начал» Евклида и книгу о математических развлечениях, оставшуюся неопубликованной. Перевод «Начал», который выполнил Пачоли, был аннотированной версией, основанной на более раннем переводе Джованни Кампано (1220–1296), который был напечатан в Венеции в 1482 году (это было первое печатное издание). Добиться публикации сборника занимательных задач по математике и поговорок «De Viribus Quantitatis » («О способностях чисел») Пачоли при жизни так и не смог – он скончался в 1517 году. Эта работа была плодом сотрудничества между Пачоли и Леонардо, и в заметках самого Леонардо содержится довольно много задач из трактата «De Viribus Quantitatis ».

Конечно, прославила фра Луку Пачоли отнюдь не оригинальность научной мысли, а его влияние на развитие математики в целом и на историю золотого сечения в частности, и этих его заслуг отрицать никак нельзя.

Г. Я. Мартыненко

Математика Гармонии: Возрождение (XIV –XVI вв. )
(к 500–летию книги Луки Пачоли «О божественной пропорции»)

Божественная пропорция
Профессор Фра Лука Бартоломео де Пачоли
Великий фантазер скитальческого склада,
Постранствовав и натерев мозоли,
Добрался до Флоренции. Навстречу Леонардо

Да Винчи. Боже правый! Вот так встреча.
Друзья, обнявшись, едва не удавили
Друг друга, но не до увечья.
Затем не медля приступили к делу.

За чашею вина, когда слегка остыли,
Пачоли, захмелев, ваятелю поведал,
Что в многомудрии «Начал» Эвклида

Одна пропорция ему придала силы.
Да Винчи просиял улыбкой необычной:
«Взгляни, мой друг, она же гармонична».

Возрождение в истории культуры Европы - это эпоха перехода от Средних веков к
новому времени, эпоха поворота к живой человеческой мысли, подавленной аскетизмом
Средних веков. Этот период характеризуется глубокими и судьбоносными для Европы
процессами: аграрным переворотом и переходом от ремесла к мануфактуре; великими
географическими открытиями и началом мировой торговли. В это время феодальная
раздробленность
уступает
централизованной
власти
и
образуются
современные
национальные государства. Эта эпоха связана с началом книгопечатания, «открытием»
античности, расцветом свободомыслия, возникновением протестантства и утратой церковью
монополии в духовной жизни. В это время первые шаги делает естествознание, расцветают
искусства и литература, стремительно развивается математика.
Наиболее общая отличительная черта Возрождения - утверждение идеала
гармоничности человека и цельности мироздания. Причем в отличие от средневековья, эти
категории пусть не сразу, пусть уклончиво - стали рассматриваться как самодовлеющие
сущности, а не через призму божественного абсолюта. С этим связано присущее культуре
возрождения светский и гуманистический характер и склонность к космологическому и
натурфилософскому видению мира. Важную роль в таком видении мира играла и
математика, освобождавшая науку и искусство от оков средневековой схоластики и сурового
аскетизма.
В отличие от античности, учёные Возрождения не чурались сугубо практических
задач. Чистых математиков-теоретиков фактически не было. Но даже тех, кого можно
считать теоретиками, занимались астрономией, военным делом, анатомией, механикой,
медициной, картографией, оптикой и другими практическими делами.

1. Представления о гармонии в искусстве Возрождения

В эпоху Возрождения резко возрастает общественный авторитет искусства, но это не
вело к его противопоставлению науке и ремеслу, а осознавалась как равноправность
различных форм человеческой деятельности в их единстве. В сравнении со Средневековьем
в искусстве происходит резкое смещение акцентов. Для средневекового человека
окружающий мир - это зеркало, рисунки и статуи в храмах и рукописях - это тоже
зеркала; и даже энциклопедия знаний называлась тогда «Speculum» (зеркало). Так что же
отражалось в этих зеркалах? По средневековым представлениям, в них отражалось
совершенство, некий абсолют, некая беспредельная божественная сущность.

1.1. Искусство как зеркало
В эпоху Возрождения Священное писание уже не рассматривается как сокровищница
божественных тайн, это уже отражение действительной, реальной жизни и бытия природы.
Леонардо да Винчи пишет: «Если ты хочешь видеть, соответствует ли твоя картина в целом
предмету, срисованному с натуры, то возьми зеркало… На его поверхности вещи подобны
картине…» (Леонардо да Винчи, 1935, с. 114–115). Иными словами, живописец должен быть
подобен зеркалу, чтобы отражать окружающий мир, т. е., как говорит Леонардо да Винчи
«ты не можешь быть хорошим живописцем, если ты не являешься универсальным мастером
в подражании своим искусством всем качествам форм, производимых природой» (там же,
с. 88). Подобных взглядов придерживался и Альбрехт Дюрер: «Наше зрение подобно
зеркалу» (Дюрер, 1957, с. 26). Но речь здесь идет о зримых искусствах. Как же быть другим
видам искусства? Что в них есть зеркало. И здесь уже начинаются метафоры. Так, Джорж
Путтенхэм в своей книге «Искусство английской поэзии» (1859) пишет: «Ум, обладающий
воображением, подобен зеркалу» (Гилберт, Кун, с. 182).
Однако мистицизм и непререкаемый авторитет церкви не сразу были вытеснены
природой и разумом. Церковь еще долгое время сохраняла свою власть над духовной
жизнью мыслящих людей. При этом многие «возрожденцы» видели компромисс в том, что
теология это тоже поэзия. Так Петрарка писал своему брату Герардо: «Поэзия отнюдь не
противоречит теологии… Можно с известным правом сказать, что теология та же поэзия, но
относящаяся к богу» (Гилберт, Кун, с. 186). По мнению Альберти и Леонардо да Винчи,
художник должен быть неким подобием священника, ибо благочестие и добродетель
считались тогда неотъемлемыми атрибутами художника. Само искусство считалось
божественным, и роль его заключалась прежде всего в том, чтоб внушать людям любовь и
поклонение богу.

1.2. Перемены в классификации искусств
Но в одной области произошли радикальные перемены. Речь идет о теологии, в
которую стали все больше проникать представления и идеи, характерные для искусства.
Происходила постепенная эрозия теологии на фоне возрастания роли и престижа искусства.
Это нашло отражение в том, что поэзия, скульптура и живопись стали относиться к
категории свободных искусств. Однако светское направление в искусстве пробивало себе
дорогу крайне деликатно, осторожно, без «кавалерийских атак». Оно завоевывало позиции
благодаря постепенному вторжению в сферу религиозного духа интереса к науке и
античному наследию. Поэты и художники понимали, что им надо неустанно доказывать свое
место под солнцем в стане свободных профессий. И делали они это через трудолюбие,
упорство, интеллект и «методическое мастерство», характерное для традиционного
искусства, пришедшего из Средних веков. Чтобы поднять свой авторитет, художники и
поэты неустанно трудились, ибо в сознании человека середины второго тысячелетия прочно
была укоренена убежденность, что чем больше труда вложено в создание произведения, тем
оно совершеннее, тем самобытней и прекрасней. Причем в спорах о том, какое искусство -
живопись или скульптура, живопись или поэзия важнее другого, аргумент в пользу
искусства, требующего большей затраты труда, причем труда зримого, осязаемого, играл
весьма важную роль.

1.3. Роль науки и ремесел

По мере того как возрастало их художественное мастерство, некоторые деятели
искусства Возрождения начали отходить от строгого копирования природы и старались
совместить свой художественный замысел со стремлением к идеальной форме и гармонии
своего произведения. Природа перестала быть просто «натурщицей»,моделью для
копирования, а превратилась в источник скрытой божественной сущности, которую надо
разгадать.
Но некоторые художники и ваятели шли другим путем. Они не только разгадывали,
но и отбирали. Основой красоты становится не столько дар бога, сколько выбор человека,
который выбирает в природе ярчайшие варианты из самых лучших и прекрасных форм.
«Надо брать лучшие черты от многих прекрасных лиц - таков был распространенный
лозунг» эпохи (Гилберт, Кун, с. 205).
Популярен был и другой путь. Основываясь на совокупности специальных знаний в
области перспективы, анатомии, математики, психологии, усиливающих органы чувств,
художники Возрождения создавали вторую «рукотворную» природу, но такую, которая
соответствовала плану божественного творения. При этом решающую роль играла
математика. О ее значении в эпоху Возрождения мы подробнее остановимся ниже.



1.4. Отношение к гармонии
Если для человека Средневековья гармония означала максимальную степень
следования божественному единству, то для человека Возрождения гармония означала
полное соответствие отдельных элементов художественного произведения друг другу и
всему целому. Для того, чтобы выразить смысл этого соответствия, применялись различные
слова и словосочетания: соотношение, координация, пропорциональность, согласие,
сочетание, согласованность, соразмерность, композиция, скомпанованность и др.
Понятие гармонии в конечном итоге для художника эпохи Возрождения находит
воплощение в искусстве проекта . Это искусство основано на изучении множества реальных
предметов с целью создания совершенного образца. Вот как определяет возрожденческий
проект английский искусствовед Дж. Вазари: «Проект - это как бы форма или идея всех
вещей в природе; это самое замечательное по своей широте понятие, ибо не только на телах
людей и животных, но и на растениях, зданиях, скульптуре и живописи проект показывает
отношение целого к отдельным частям и каждой части к другой и к целому… Из этих
отношений возникает определенная концепция и суждение» (Vasari, 1907, с. 205; цит. по:
Гилберт, Кун, с. 207). И только после этого первоначальный набросок или проект
воплощается в художественную реальность.
Идея и практика проектирования восходит к идеям Ветрувия, который в своих
проектах основывался на пропорциях человеческого тела. Возрожденцы смотрят на
проблему шире. Они учитывают не только пропорции человеческого тела, но и любые
пропорции, встречающиеся в природе. Но великая сила искусства часто уводила художников
от гармонических канонов. Об этом пишет, например, американский исследователь Дж.
Саймон, обсуждая творчество Микеланджело, который часто отклонялся в своем творчестве
от пропорций человеческого тела. Так же думает и Дюрер. В третьей из своих «Четырех книг
о пропорциях человеческого тела» он говорит, что художник властен отклоняться от золотой
середины в сторону большого и маленького, толстого и тонкого, молодого и старого,
жирного и худого, красивого и безобразного, твердого и мягкого, но все это должно быть
подчинено сознательно выбранному методу и искусству, которое прочно опирается на
природу и никогда не повторяет себя. Для Дюрера канон, образец, модель, проект - это не
догма, а руководство к действию свободного человека, обладающего «естественной
склонностью» к творчеству.
Итак, в искусстве Возрождения наметилась четкая тенденция к поиску формальных
регуляторов процесса творчества. Критерием истины с одной стороны становится
божественный источник, а с другой, огромную роль начинает играть математика. Причем эта
«комбинация» распространялась не только на искусство, но и на другие области
деятельности, прежде всего на ремесла и торговлю. Так, моряк, владеющий
математическими навыками, получал преимущество перед своими конкурентами благодаря
умению вычислять координаты судна на море, а купец, владеющий техникой бухгалтерского
учета, имел значительно больше шансов на успех в торговле, чем его беспомощные в
математике соперники. При этом традиционные представления утверждали, что вселенная
построена богом по единому плану, в котором математика играла важную роль.
Примечательно также и то, что в эпоху Возрождения гармонические представления
распространяются не только на природу и продукты творческой деятельности, но и на всю
гамму взаимодействий человека и природы и человеческих отношений. Ярким примером
такого расширительного понимания гармонии является творчество Леона Баттиста
Альберти (1404 – 1472) -ученого, гуманиста, писателя, одного из зачинателей новой
европейской архитектуры и ведущего теоретика искусства эпохи Возрождения.
Разносторонне одарённый и образованный, он внёс крупный вклад в теорию
искусства и зодчества, в литературу и архитектуру, увлекался проблемами этики и
педагогики, занимался теорией перспективы, картографией и криптографией.
Гармония по Альберти - важнейшая закономерность природы, основа миропорядка.
Человек, включённый в мировой порядок, оказывается во власти ее законов - гармонии и
совершенства. Гармонию человека и природы определяет его способность к познаванию
мира, к разумному, устремлённому к добру существованию.
Альберти создал оригинальную гуманистическую, восходящую к Платону и
Аристотелю концепцию человека, основанную на идее гармонии. Этика Альберти -
светская по характеру - отличалась вниманием к проблеме земного бытия человека, его
нравственного совершенствования.
Идеальный человек, по Альберти, гармонически сочетает силы разума и воли,
творческую активность и душевный покой. Он мудр, руководствуется в своих действиях
принципами меры, обладает сознанием своего достоинства. Всё это придаёт образу,
созданному Альберти, черты величия.
Ответственность за моральное совершенствование, имеющее как личное, так и
общественное значение, Альберти возлагает на самих людей. Выбор между добром и злом
зависит от свободной воли человека. Основное предназначение личности гуманист видел в
творчестве, которое понимал широко - от труда скромного ремесленника до высот научной
и художественной деятельности.
Общество Альберти мыслит как гармоническое единство всех его слоёв, которому
должна способствовать деятельность правителей. Обдумывая условия достижения
социальной гармонии, Альберти в трактате «О зодчестве» рисует идеальный город,
прекрасный по рациональной планировке и внешнему облику зданий, улиц, площадей. Вся
жизненная среда человека устроена здесь так, чтобы она отвечала потребностям личности,
семьи, общества в целом.
Воплощение представлений об идеальном городе в слове или изображении было
одной из типичных особенностей ренессансной культуры Италии. Проектам таких городов
отдали дань многие яркие личности этой эпохи. Это и архитектор Филарет, учёный и
художник Леонардо да Винчи, авторы социальных утопий XVI в. В последних отразилась
мечта
гуманистов
о
гармонии
человеческого
общества,
о
внешних
условиях,
способствующих его стабильности и счастью каждого человека.

2. Математические штудии
2.1. «Божественная пропорция» Луки Пачоли

В 1509 г., т. е. 500 лет назад, по совету Леонардо да Винчи Лукa Пачоли опубликовал
книгу «О божественной пропорции» («La Divina Proportione») с подзаголовком «Сочинение,
весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый
изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или
другие математические предметы, извлечёт приятнейшее, остроумное и удивительное учение
и развлечёт себя различными вопросами сокровеннейшей науки». В книге в явном виде был
сформулирован закон золотого сечения. Книга была изысканно и со знанием дела
иллюстрирована изображениями многогранников, выполненных великим Леонардо. В 2007
году появился русский перевод «Божественной пропорции» (Пачоли, 2007).
Монах-францисканец Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески,
написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Эту книгу
считают предтечей начертательной геометрии. От художника Пачоли получил глубокие
знания в области искусства и математики.
«La Divina Proportione» была восторженным гимном золотой пропорции. Среди
многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее
«божественную суть» как выражение божественного триединства бога сына, бога отца и бога
духа святого. Подразумевалось, что малый отрезок при делении отрезка в крайнем и среднем
отношении есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок -
бога духа святого.
Первая часть «Божественной пропорции» посвящена золотому сечению, вторая -
правильным многогранникам, третья - архитектуре. Золотое сечение и правильные
многогранники Пачоли рассматривает в соответствии с XIV книгой «Начал» Эвклида.
Незадолго до опубликования «Божественной пропорции» Пачоли издал отредактированный
латинский перевод «Начал» со своими многочисленными комментариями.
Изображения многогранников на 59 таблицах сделал для своего друга Леонардо да
Винчи, для которого Пачоли, со своей стороны, подсчитал количество металла,
необходимого для конной статуи (Юшкевич, с. 288–289). В книге присутствуют не только
пять правильных многогранников (в полном соответствии с платоновыми телами), но и
многогранники, получаемые из них путем «отсечения» и «насадки» друг на друга. Что
касается раздела, посвященного зодчеству, то здесь рассматриваются пропорции
человеческого тела на основе целых чисел в полном соответствии с измерениями Ветрувия.
«Божественная пропорция» для математики гармонии имеет основополагающее
значение. Интересно, однако, что Пачоли рассматривает божественную пропорцию» с
космологических позиций в пифагорейско-платоновском духе, не привязывая ее к
архитектуре, живописи или к какому-либо другому искусству. Об этом говорит тот факт, что
Пачоли в «Трактате об архитектуре», образующем последнюю часть книги, о золотой
пропорции не упоминает. Иначе говоря, для Пачоли золотая пропорция - это прежде всего
христианизированный математико-космический феномен.
Пачоли
славен
не
только
математико-гармоническими
изысканиями.
Его
математические достижения в целом также имеют непреходящее значение.
В 1494 г. Пачоли публикует на итальянском языке математический труд под
названием «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности»
(Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita). В этом сочинении излагаются
правила и приемы арифметических действий над целыми и дробными числами, задачи на
сложные проценты, решение линейных, квадратных и отдельных видов биквадратных
уравнений. Пожалуй, самое существенное нововведение Пачоли состоит в систематическом
использовании синкопированной алгебраической записи - своеобразной предшественницы
последующего символического исчисления. Из задач, привлёкших внимание математиков
последующих поколений, следует отметить задачу о разделе ставки при незавершённой игре.
Эту задачу Лука решил неправильно, но позднее она стала оселком, на котором оттачивалось
математическое искусство. В конечном итоге эта задача способствовала возникновению и
становлению теории вероятностей.

2.2. Теория симметрии и Леонардо да Винчи
Существует тиражируемое мнение, что термин золотая пропорция (aurea sectio )
впервые употребил Леонардо да Винчи. Так ли это на самом деле, нам установить не
удалось. Возможно, Леонардо, исследуя структуру многоугольников и многогранников,
сталкивался с золотой пропорцией, известной ему по книге Пачоли. Но для Леонардо, скорее
всего, золотая пропорция была лишь проявлением одного из видов симметрии. А последней
он уделял очень много внимание, проектируя свои знаменитые ансамбли. Так, Герман Вейль
(Вейль, 2007, с. 91–92, 100–101), отмечает, что простейшими фигурами, обладающими
возможными вариантами поворотной симметрии, являются правильные многоугольники,
которые строятся в двухмерном пространстве. Это хорошо понимал Леонардо да Винчи
(Вейль, 2007, с. 91, 100). Число таких многоугольников определяется числом граней,
стремящегося к бесконечности. При повышении размерности пространство до 3 число
многогранников не бесконечно. Их только пять. Обычно их называют платоновыми телами.
Это правильный тетраэдр, куб, октаэдр, а также додекаэдр, гранями которого являются
двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр, ограниченный двадцатью правильными
треугольниками. Вейль отмечает, что «существование первых трех многогранников является
весьма тривиальным геометрическим фактом. Но открытие факта существования последних
двух, несомненно, было одним из наиболее выдающихся и прекрасных открытий, сделанных
на протяжении всей истории математики» (Вейль, 2007, с. 100). Различие двух групп
многогранников заключается в том, что куб и октаэдр имеют одну и ту же группу
симметрии, потому что, если взять центры граней куба и «натянуть» на них многогранник,
получится октаэдр, и, наоборот, центры граней октаэдра являются вершинами куба. По той
же причине додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые группы симметрии (Винберг, 2001,
с. 19–20).
Вейль также отмечает, что Леонардо да Винчи всегда волновала проблема выбора
формы центрального здания в архитектурных ансамблях, а также, каким образом нужно
производить пристройку к ним часовен и ниш, не разрушая симметрии ядра ансамбля.

2.3. Решение уравнений четвертой и третьей степеней
Лука Пачоли закончил раздел об алгебраических уравнениях книги «Суммы»
замечанием о том, что для решения кубических уравнений x 3 + b = ax и x 3 + ax = b
искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ разрешения квадратуры
круга. Эти слова Пачоли послужили отправным пунктом для итальянских алгебраистов в
решении кубических уравнений. Открытие этого решения было крупным математическим
достижением эпохи Возрождения, сохранившим свое значение до настоящего времени. Если
же говорить о математике гармонии, то решение такого уравнения имеет отношение к
теории уравнений, обобщающих идею золотого сечения. Речь идет прежде всего о
кубических уравнениях Падована-Газале и Алексея Стахова (Газале, 2002, с. 147; Стахов,
2003, с. 10).
Первым удалось решить один из видов кубического уравнения x 3 + ax = b (a,b >0)
профессору Болонского университета Сципионе дель Ферро (1456–1526), а вслед за ним и
независимо от него уроженцем Брешии Никола Тарталье (1500–1557), который решил и
другие виды кубических уравнений. Формулу Тарталья опубликовал Джираломо Кардано
(1501–1576) в своем знаменитом трактате «Великое искусство» (1545 г.). И хотя она
фигурирует в истории математики под именем Кардано, но подлинным автором является
Тарталья. Кстати, с именем Кардано связаны и другие достижения изобретательного ума –
карданный вал и решетка Кардано: может быть, потому, что кто-то изобретал, а он
публиковал?
Любопытно, что формулу Кардано использовал М. Газале (Газале, 2002, с. 158) при
вычислении серебряного сечения, предложенного архитектором Падованом. Для уравнения
x 3 + ax = b формула Кардано имеет вид:
3
2
3
2
 a 
 b 
b
 a 
 b 
b
3
3
x =
  +   +
−
  +   − .
 3 
 2 
2
 3 
 2 
2
Подставив в это выражение a = −1 и b = 1, можно найти решение уравнения
3
p − p −1 = 0:
3
2
3
2
 −1
 1 
1
 −1
 1 
1
3
3
p =

 +   +
−

 +   −
=
 3 
 2 
2
 3 
 2 
2

23
1
23
1

3
3
=
+ −
− ≈
108
2
108
2
3
≈
,
0 461479103 + 5
,
0
3
−
,
0 461479103 − 5
,
0
≈
≈ 9
,
0 86991206 + 3
,
0 377226751 ≈ 3
,
1 24717957,
что с точностью до десяти значащих цифр, совпадает со значениями, вычисленными путем
последовательных итераций выражения
3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ ... → p
Как отмечает Карл Б. Байер (Boyer,1989, p. 282), а вслед за ним и Мидхад Газале
(Газале, 2002, с. 160), год опубликования Кардано (1545) способа решения кубического
уравнения ознаменовал начало современной эпохи в математике. От себя добавим, что эта
дата является также предвестником становления теории уравнений высоких порядков,
связанных с золотым сечением и числами Фибоначчи.
Кардано включил в свою книгу ещё одно открытие, сделанное его учеником Лодовико
(Луиджи) Феррари: общее решение уравнения четвёртой степени.
Итальянские математики Дель Ферро, Тарталья и Феррари решили проблему, с
которой несколько веков не могли справиться лучшие математики мира. При этом они
обнаружили, что в решении иногда появлялись «странные» корни из отрицательных чисел.
После анализа ситуации европейские математики назвали эти корни «мнимыми числами» и
выработали правила обращения с ними, приводящие к правильному результату. Так в
математику впервые вошли комплексные числа.
Важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет (1540–1603). Он
окончательно сформулировал символический метаязык арифметики - буквенную алгебру.
Еще одно великое великое открытие XVI века - изобретение Джоном Непером
логарифмов, которое во много раз упростили сложные расчёты
И наконец, уже в самом конце XVI столетия фламандец Симон Стевин (1548–1620)
издаёт книгу «Десятая» о правилах действий с десятичными дробями, после чего десятичная
система одерживает окончательную победу и в области дробных чисел. Стевин также
провозгласил полное равноправие рациональных и иррациональных чисел, решив тем самым
одну из самых острых проблем, которая в глубокой древности озадачила мудрых греческих
математиков и повернула вектор их исследований в сторону геометрии.

2.4. Теория перспективы
Эвклид в разделе «Оптика» своих «Начал» сформулировал впервые правила
наблюдательной перспективы, а также вывел законы отражения лучей от плоских, вогнутых
и выпуклых зеркал. Учение о перспективе позднее были изложены в трактате «Десять книг
об архитектуре» древнегреческого ученого и архитектора Витрувия, который изложил
правила построения перспективы, а также составления архитектурно-строительных
чертежей, содержащих план и фасад зданий.
В эпоху Возрождения начинается новый этап в развитии теории перспективы. Леон
Баттиста Альберти в трактатах «О живописи» и «О зодчестве» изложил математическую
теорию пропорций, основываясь на пропорциях человеческого тела. В перспективных
построениях Альберти применил метод построения изображения расположенных друг за
другом равных и параллельных отрезков, заключенных между двумя линиями,
пересекающимися на линии горизонта.
Большой вклад в теорию перспективы внес и Леонардо да Винчи. В «Трактате о
живописи» он писал, что перспектива относится к «механическим наукам», которыми не
должен пренебрегать ни один живописец.
Леонардо
да
Винчи
делит
перспективу
на
три
основные
части:
1. Линейную перспективу, которая учитывает закон уменьшения фигур по мере их
удаления от наблюдателя.
2. Воздушную и цветовую перспективу, которая проявляется в цветности предметов,
зависящей от их расстояния до наблюдателя.
3. Перспектива четкости очертания предметов в зависимости от структуры
пространства и степени освещенности его частей.
Первый раздел теории перспективы впоследствии развился в точную науку -
линейную перспективу, которая позднее вошла как составная часть в начертательную
геометрию.
Выдающийся немецкий ученый, математик, гравер и художник Альбрехт Дюрер
(1471–1528) в своем сочинении «Руководство для измерений циркулем и правилом»,
изданном в 1523 г., описал графический способ построения перспективы предметов с
использованием ортогональных проекций, получивший в учебной литературе название
«способ Дюрера». Юшкевич отмечает, что в этом сочинении приводится огромный
статистический материал, содержащий измерения различных частей тела мужчин и женщин
разных комплекций (Юшкевич, 1977, с. 324). Представляется, что эти результаты явились
первым серьезным шагом на пути становления антропометрии и рационалистической
эстетики. Заметим также, что достижения Дюрера в этой области еще ждут достойной
оценки.

3. Значение математико-гармонических изысканий в эпоху Возрождения
В этот период математика впервые вышла за пределы наследства, оставленного
греками и математиками Востока.
1. Мощное развитие получила алгебра и арифметика, вырвавшиеся наконец за
пределы геометрии. Впервые практически сложилось понятие действительного числа. Все
«плохие» числа стали естественными или, как писал Стивен, «нет никаких абсурдных,
иррациональных, неправильных, невыразимых или глухих чисел» (Юшкевич, 1977, с. 325).
2. Существенно расширился круг представлений, связанных с гармонией. Концепция
гармонии приобретала все более светский характер, становилась все более гуманистической,
распространяясь не только на природу, но и на отдельного человека и человеческое
общество в целом.
3. Понятие гармонии для творческого человека эпохи Возрождения находит
воплощение в искусстве проекта, основанном на изучении множества реальных предметов с
целью создания совершенного образца.
3. Впервые со времен Эвклида был возобновлен разговор о золотом сечении,
платоновых телах и правильных многогранниках.
4. В трудах Леонардо да Винчи, по-видимому, впервые ставится вопрос о различных
видах симметрии архитектурных сооружений.
5. Серьезным математическим достижением эпохи было открытие методов решения
уравнений третьей и четвертой степеней. С одной стороны это стало движущей силой для
развития алгебры, а с другой, заложило основы алгебраической теории гармонии, в которой
важное место занимает решения уравнения высоких степеней.

Литература
Вейль Г. Симметрия. Перевод с англ. М.: Издательство ЛКИ., 2007.
Винберг Э. Б. Симметрия многочленов. Серия: Библиотека «Математическое просвещение».
М.: МЦМНО, 2001.
Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов. Перевод с англ. Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2002.
Гилберт К., Кун Г. История эстетики. Перевод с англ. М.: Изд-во иностранной литературы,
1960.
Дюрер А. Дневники, письма, трактаты. Искусство: М.-Л.: 1957, т. 2.
Юшкевич А. П. История математики (под ред. А. П. Юшкевича) в трёх томах. Том 1. С
древнейших времен до начала Нового времени. М., Наука, 1977.
Леонардо да Винчи. Избранные произведения. М.-Л..: Academia. 1935. Т. 2.
Лука Пачоли. О божественной пропорции. Репринт изд. 1508 г. с приложением перевода
А. И. Щетникова. М.: Фонд «Русский авангард», 2007.
Лука Пачоли. Трактат о счетах и записях. М.: Финансы и статистика, 1994.
Соколов Я. Лука Пачоли. Человек и мыслитель. В кн.: Пачоли Лука. Трактат о счетах и
записях. М.: Финансы и статистика, 1994.
Щетников А. И . Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции». Математическое
образование, №1 (41), 2007, с.33–44.
Boyer C., Merzbach U. A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, 1989.
Vasari G. On Technique. Ed. G. B. Brown. London, 1907.

Неотъемлемым элементом современной экономической системы выступает бухгалтерский учет. Как показывает историческая практика, представления о деньгах и их обороте имеют неразрывную связь с существующим хозяйственным укладом. С развитием государственности появилась необходимость систематизации и упорядочения финансовых операций. Огромный вклад в решение этой задачи внес Лука Пачоли - "отец" бухгалтерского учета. Далее узнаем, в чем заслуга этого математика.

Лука Пачоли: биография

Родился он в 1445 году в Апеннинах, в небольшом городе Борго-Сансеполькро. Еще мальчиком его отдали в местный монастырь на учебу к художнику. В 1464 году Лука Пачоли переехал в Венецию. Там он занимался воспитанием купеческих сыновей. Именно в тот момент произошло первое его знакомство с финансовой деятельностью. В 1470-м Лука Пачоли (фото математика представлено в статье) переехал в Рим. Там он заканчивает составление своего учебника по коммерческой арифметике. После Рима математик отправляется на три года в Неаполь. Там он занимался торговлей, но, судя по всему, безуспешно. В 1475-76 годах он постригся в монахи и присоединился к С 1477-го Лука Пачоли преподавал 10 лет в университете Перуджи. За время его деятельности его способности к преподаванию неоднократно отмечались повышениями зарплаты. Работая в университете, он создал основной труд, одна из глав которого была "Трактатом о записях и счетах".

В 1488-м математик оставил кафедру и уехал в Рим. В течение последующих пяти лет он состоял в штате Пьетро Валлетари (епископа). В 1493-м Пачоли переехал в Венецию. Здесь он готовил свою книгу к печати. Отдохнув год, Пачоли принял кафедру миланского университета, где стал преподавать математику. Здесь он знакомится с Леонардо да Винчи и становится его другом. В 1499-м они переезжают во Флоренцию. Там Пачоли преподавал два года математику. После этого он отправляется в Болонью. В этом городе почти половина направлялась на содержание университета. Принятие математика на такую выгодную и престижную должность говорит о его признании.

Спустя несколько лет в Венеции выходит часть книги, которую написал Лука Пачоли, "Трактат о счетах и записях". Дата издания этой работы - 1504 год. К 1505-му математик практически отошел от преподавания и переехал во Флоренцию. Но в 1508-м он снова отправился в Венецию. Там он читал публичные лекции. Однако основным его занятием была в то время подготовка к изданию своего перевода Евклида. В 1509 году вышла еще одна книга, которую написал Лука Пачоли, - "О божественной пропорции". В 1510-м математик возвращается в родной город и становится приором в местном монастыре. Однако его жизнь была отягощена многочисленными интригами завистников. Это послужило причиной того, что спустя четыре года он снова уехал в Рим. Там он преподавал в математической академии. В родной город Лука Пачоли вернулся уже незадолго до смерти - в 1517 году.

Вклад математика в развитие методологии

Чтобы в полной мере понять значение, которое имеет книга, которую написал Лука Пачоли ("Трактат о счетах и записях"), необходимо оценить принципы, заложенные им в систему. Почти все эксперты говорят о том, что предложенные математиком критерии, существовали и до него. Например, нельзя считать, что Лука Пачоли - автор двойной записи. Она существовала и до него. В этом случае возникает вопрос о том, каков вклад математика в таком случае? В отличие от современников, Пачоли считал, что все самое важное уже было изобретено ранее. Основной же задачей ученых он видел в наиболее эффективном построении учебного курса. Пачоли не представлял себе научное творчество за рамками педагогического процесса. Поэтому преподавательская деятельность стала неотъемлемым элементом его жизни.

Представления, которые имел Лука Пачоли, полностью определяли его научный подход как к решению математических задач, так и смежных дисциплин. Эта позиция достаточно точно впоследствии была определена Галилеем. Познание Лукой Пачоли математики было тесно связано с изучением гармонии мира. При этом правильность геометрических фигур, как и сходимость баланса, стали для него проявлениями этой гармонии. Ученый не просто фиксировал те практики, которые существовали ранее, а давал им научное описание. В этом основное значение деятельности, которую осуществлял Лука Пачоли. "Трактат о счетах и записях", таким образом, стал фундаментом для совершенствования системы составления баланса.

Суть научного подхода

Отражение фактов на момент их существования является наиболее точным. Но вместе с этим такой прием не способствует дальнейшему развитию практик, поскольку метод познания ориентирован на прошлое, точное воспроизведение уже совершившегося и имеющего место. Подход, который применялся Лукой Пачоли, давал возможность провести оценку ситуации не только на отрезке ее развития, но и в перспективе, а также со стороны системности и целостности. В своей работе математик многого не учел, допустил ряд ошибок, описал более устаревшую венецианскую систему, а не прогрессивную флорентийскую. Тем не менее, "Трактат" Луки Пачоли показал, что и при составлении финансовой отчетности можно применить научный подход. Он смог превратить формирование баланса в одну из направлений Это, в свою очередь, послужило тому, что многие люди (Лейбниц, Кардано и другие) стали интересоваться теорией бухучета.

Внедрение математической системы

В своем "Трактате" Пачоли дополнил существовавшие методы представлениями о комбинаторике. В составлении баланса в то время применялись дроби из-за одновременного использования нескольких валют. Но при проведении операций их просто округляли. Однако основным вкладом математика в методологию считают внедрение им представления о целостности системы бухучета и о том, что сходимость баланса выступает как признак ее гармонии. Последнее определение рассматривалось в то время не только в качестве эстетической, но и инженерной категории. Оценка торгового баланса с этой позиции позволяла представить предприятие в виде целостной системы. Метод, который совершенствовал Лука Пачоли, - двойная запись - по его мнению, должен был применяться не только для определенного торгового предприятия, но для любой организации и для всей экономики в целом. Это позволяет сделать вывод, что подход, который внедрял математик, предопределил не только развитие финансовой отчетности, он стал фундаментом для формирования и последующего воплощения экономической мысли.

Лука Пачоли: "Трактат о счетах и записях" (краткое содержание)

В первую очередь следует сказать, что финансовый баланс у математика представлен в виде строго упорядоченной последовательности операций. Наиболее полное отражение "процедурности" просматривается в принципе ведения трех книг учета. Первая - "Мемориал" - отражает хронологическую последовательность всех дел. В шестой главе "Трактата" описан порядок ее ведения. С течением времени Мемориал был заменен первичными документами. Вследствие этого возникла несогласованность между датами выписки, совершения операции и регистрации факта.

Следующая книга - "Журнал". Он предназначался исключительно для внутреннего пользования. В нем фиксировались все операции, которые были описаны в "Мемориале", но при этом учитывался их экономический смысл (убыток, прибыль и так далее). Он был предназначен для проводок и также составлялся в хронологическом порядке. Третьей книгой стала "Главная". О ней рассказано в 14 главе "Трактата". В ней операции фиксировались в систематическом, а не хронологическом порядке.

Ясность

Это следующий принцип, который был описан Пачоли. Ясность означала предоставление пользователям понятных и полных сведений о хозяйственной активности предприятия. Все записи в книгах, в соответствии с этим принципом, должны составляться так, чтобы в них была предусмотрена концептуальная реконструкция. Другими словами, операции должны фиксироваться так, чтобы впоследствии можно было восстановить участников акта, объекты, время и место совершения факта. Для достижения наибольшей ясности необходимо владение языком бухучета. Математик применял при написании книги венецианский диалект, повсеместно употреблял математические понятия. Именно Пачоли сформировал предпосылки для создания языка бухучета, являвшегося наиболее понятным для большинства итальянских финансистов.

Нераздельность имущества собственника и предприятия

Данный принцип был для того времени вполне естественным. Дело в том, что многие купцы тогда выступали как единственные собственники предприятия, руководители и получатели убытков и прибылей от торговой деятельности. В соответствии с этим, ведение бухучета осуществляется в интересах владельца фирмы. Однако в 1840 году Ипполитом Ванье был сформулирован и другой подход. В соответствии с ним, бухучет ведется не в интересах собственника, а фирмы. Данный подход отражал распространение в широких массах акционерного капитала.

Кредит и дебет

Одним из важнейших принципов у Пачоли выступала двойственная запись. Математик придерживался позиции, что каждая должна быть отражена как в дебете, так и в кредите. Такой подход преследует следующие цели:

В своей работе Пачоли уделил много внимания первой задаче. При этом вторая и третья остались неразвитыми. Это приводит к формированию метода, который искажает правильность оборота. Дело в том, что Пачоли был в первую очередь ученым, а потом - финансистом, поэтому рассматривал систему двойной записи в пределах причинно-следственной связи. В дебете, предположительно, математик видел причину, а в кредите - следствие. Такой способ рассмотрения финансовой системы в первую очередь нашел применение в экономике. Наиболее емкую формулировку этого принципа дал Езерский: без расхода не может быть дохода. В качестве основных аспектов двойственной записи Пачоли принимал следующее:

1. Сумма дебетового оборота будет всегда тождественна сумме кредитового.
2. Величина дебетовых сальдо будет всегда тождественна величине кредитовых.

Эти принципы впоследствии получили широкое распространение в системах бухучета.

Предмет отчетности

В качестве него у Пачоли выступало исполнение договора о купле-продаже. Сведение всех соглашений к документу такого вида было вполне характерно для того времени. Несомненно, сегодняшнее многообразие форм хозяйственной жизни не может уместиться в рамки понятия купля-продажа (например, взаимозачет, бартер, и так далее). Однако во времена Пачоли такое представление было весьма прогрессивным. Кроме этого, такой подход позволил сформировать адекватное для того периода определение стоимости как не только справедливой цены, но и следствия себестоимости и ситуации на рынке.

Принцип адекватности

Его суть состоит в том, что все расходы, которые несет предприятие, соотносятся с течением времени с полученными им доходами. Принцип адекватности Пачоли скорее предусматривает, чем вводит прямо и явно. В качестве доходов рассматриваются только полученные деньги. В то время понятия о рентабельности и амортизации только начали свое формирование. В комплексе все это способствовало созданию представлений как о денежной, так и других формах прибыли. В соответствии с новым пониманием о доходе, можно сказать, что он образуется не только вследствие осуществления хозяйственных операций, но и в результате применения бухгалтерской методологии.

Ведение баланса

Пачоли считал бухгалтерский учет чем-то самоценным, в связи с этим ценность результатов отчетности выступала как понятие относительное. Итоги, зафиксированные в той или другой книге, зависят во многом от метода ведения отчетности. Данное положение согласуется с идеей о наиболее точном фиксировании хозяйственных операций в балансе, поскольку все способы предполагают достаточно точное отражение фактов при том, что выводы могут быть зачастую прямо противоположными. Пачоли это все прекрасно понимал. В этой связи в качестве главного результата финансовой отчетности он видел его воздействие на принятие решений в сфере хозяйственного управления.

Честность

Это последний принцип, который провозглашал Пачоли в своем "Трактате". Человек, который занимается сведением баланса, должен быть абсолютно честным. Это должно проявляться не только в отношении непосредственно самого нанимателя. Бухгалтер должен быть главным образом честен перед Богом. В связи с этим упование на него почти в каждой главе для математика не является ни данью традиции, ни исполнением монашеского долга, а главным Сознательное искажение бухгалтерских сведений Пачоли считал не только финансовым нарушением. Для математика это в первую очередь было расстройством божественной гармонии, постичь которую он стремился посредством вычислений.

Недостатки работы

Следует сказать, что труд Пачоли выступал в первую очередь в качестве теоретической книги. В этой связи в нем не отражены многие элементы финансовой отчетности, существовавшие в то время. К ним, в частности, следует отнести:

1. Ведение дополнительных и параллельных книг.
2. Учет промышленных затрат.
3. Ведение баланса с аналитической целью. В то время формирование отчетности уже осуществлялось не только для выверки сведений и закрытия книг, но и выступало в качестве инструмента управления и контроля.
4. Ведение счетов ностро и лоро.
5. Основы ревизии и порядок проверки баланса.
6. Методики расчетов, касающиеся распределения прибыли.
7. Порядок резервирования средств и распределения итогов по смежным периодам.
8. Подтверждение отчетной информации методами инвентаризации.

Отсутствие этих компонентов указывает в первую очередь на недостаточный коммерческий опыт Пачоли. Вероятно, что он не включил приведенные детали вследствие того, что они просто не вписывались в целостную систему, созданную им.

В заключение

Труд Пачоли стал одним из первых, в котором используется итальянский язык как средство выражения научной идеи. Принципы и категории, сформированные математиком, находят применение и в настоящее время. Основной заслугой Пачоли является не то, что он зафиксировал их, - ведь это было бы и так сделано. Его вклад состоит в том, что именно благодаря его книге бухгалтерский учет был возведен в статус науки.

А.П. Стахов

Под знаком «Золотого Сечения»:
Исповедь сына студбатовца.
Глава 4. Золотое сечение в истории культуры.
4.8. «Божественная пропорция» Луки Пачоли

Культура Древней Греции и культура Рима и Византии – вот два мощных потока духовных ценностей, слияние которых дало ростки нового, титанов Ренессанса. Титан – это самое точное слово по отношению к таким людям, как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Николай Коперник, Альберт Дюрер, Христофор Колумб, Америго Веспуччи. В эту плеяду по праву входит и математик Лука Пачоли.

Он родился в 1445 г. в провинциальном городке Борго Сан-Сеполькро, что в переводе с итальянского звучит не слишком радостно: «Город Святого Гроба».

Мы не знаем, сколько лет было будущему математику, когда его отдали учиться в мастерскую художника Пьеро делла Франческо, слава которого гремела по всей Италии. Это была первая встреча юного дарования с великим человеком. Пьеро делла Франческо был художником и математиком, но только вторая ипостась учителя нашла отзвук в сердце ученика. Юный Лука, математик от Бога, был влюблен в мир чисел, число представлялось ему некоторым универсальным ключом, одновременно открывающим доступ к истине и красоте.

Второй великий человек, встретившийся на жизненном пути Луки Пачоли, был Леон Баттиста Альберти – архитектор, ученый, писатель, музыкант. Глубоко западут в сознание Л.Пачиоли слова Альберта:

«Красота есть некое согласие и созвучие частей в том, частями чего они являются, — отвечающие строгому числу, ограничению и размещению, которых требует гармония, то есть абсолютное и первичное начало природы».

Влюбленный в мир чисел, Л. Пачоли повторит за Пифагором мысль о том, что число лежит в основе вселенной.

В 1472 г. Лука Пачоли осуществляет пострижение в монахи францисканского ордена, что дает ему возможность заниматься наукой. События показали, что он сделал правильный выбор. В 1477 г. он получает профессорское кресло в университете Перуджи.

Лука Пачиоли

Сохранилось следующее портретное описание Луки Пачоли того времени:

«Красивый, энергичный молодой мужчина: поднятые и довольно широкие плечи обличают врожденную физическую силу, мощная шея и развитая челюсть, экспрессивное лицо и глаза, излучающие благородство и интеллект, подчеркивают силу характера. Такой профессор мог заставить слушать себя и уважать свой предмет».

Педагогический труд Пачоли сочетает с научной работой: он начинает писать энциклопедический труд по математике. В 1494 г. этот труд выходит в свет под названием «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях». Весь материал книги делится на две части, первая часть посвящена арифметике и алгебре, вторая – геометрии. Один из разделов книги посвящен вопросам применения математики в коммерческом деле и в этой части его книга является продолжением знаменитой книги Фибоначчи «Liber abaci» (1202 г.). По существу это математическое сочинение Л. Пачоли, написанное на закате 15-го века, подытоживает математические знания эпохи итальянского Возрождения.

Монументальная печатная работа Л. Пачоли, несомненно, способствовала его славе. Когда в 1496 году в Милане – крупнейшем городе и государстве Италии — в университете открыли кафедру математики, занять ее был приглашен Лука Пачоли.

В это время Милан был центром науки и искусства, в нем жили и творили выдающиеся ученые и художники – и одним из них был Леонардо да Винчи, который стал третьим великим человеком, встретившимся на жизненном пути Луки Пачоли. Под непосредственным влиянием Леонардо да Винчи он начинает писать свою вторую великую книгу «De Divine Proportione» («О божественной пропорции»).

Книга Л. Пачоли, изданная в 1509 г., оказала заметное влияние на современников. Изданный ин-кварто фолиант Пачоли был одним из первых прекрасных образцов книгопечатного искусства Италии. Историческое значение книги состояло в том, что это было первое математическое сочинение, целиком посвященное «золотому сечению». Книга проиллюстрирована 60 (!) великолепными рисунками, выполненными самим Леонардо да Винчи. Книга состоит из трех частей: в первой части излагаются свойства золотого сечения, вторая часть посвящена правильным многогранникам, третья – приложениям золотого сечения в архитектуре.

Л. Пачоли, апеллируя к «Государстиву», «Законам», «Тимею» Платона, последовательно выводит 12 (!) различных свойств золотого сечения. Характеризуя эти свойства, Пачоли пользуется весьма сильными эпитетами: «исключительное», «превосходнейшее», «замечательное», «почти сверхъестественное» и т.п. Раскрывая данную пропорцию в качестве универсального отношения, выражающего и в природе и в искусстве совершенство красоты, он называет ее «божественной» и склонен рассматривать ее как «орудие мышления», «эстетический канон», «как принцип мира и природы».

Титульная страница книги Луки Пачиоли «Божественная пропорция»

Эта книга является одним из первых математических сочинений, в котором христианская доктрина о Боге как творце Вселенной получает научное обоснование. Пачоли называет золотое сечение «божественным» и выделяет ряд свойств золотой пропорции, которые, по его мнению, присущи самому Богу:

«Первое заключается в том, что существует только она одна, и невозможно привести примеры пропорций другого рода или хоть сколько-нибудь отличающихся от нее. Эта единственность, согласно с политическим и философским учениями. Есть высочайшее свойство самого Бога. Второе свойство есть свойство святой триединости, а именно, как в божестве одна и та же сущность заключается в трех лицах – отце, сыне и святом духе, так же и одна и та же пропорция этого рода может иметь место только для трех выражений, а для большего и меньшего выражений не существует. Третье свойство заключается в том, что, подробно тому, как Бог не может быть ни определен, ни словом разъяснен, наша пропорция не может быть выражена ни доступным нам числом, ни какой бы то ни было рациональной величиной и остается скрытой и тайной и поэтому математиками названа иррациональной. Четвертое свойство заключается в том, что, подобно тому, как Бог никогда не изменяется и представляет все во всем и все в каждой своей части, и наша пропорция для всякой непрерывной и определенной величины одна и та же, велики или малы эти части, никаким образом не может быть ни изменена, ни по иному воспринята рассудком. К названным свойствам вполне справедливо можно присоединить пятое свойство, заключающееся в том, что, подобно тому, как Бог вызвал к бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, а с ее помощью – четыре других простых тела, именно, четыре элемента – землю, воду, воздух и огонь, а с их помощью вызвал к бытию всякую вещь в природе, так и наша священная пропорция, согласно Платону в его «Тимее», дает формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается вид тела, называемый додекаэдром, которое невозможно построить без нашей пропорции».

Додекаэдр, нарисованный Леонардо да Винчи для книги Л. Пачоли«Божественная пропорция»

В 1510 г. Луке Пачоли исполнилось 65 лет. Он устал, постарел. В библиотеке Болонского университета хранится рукопись неизданной работы Л. Пачоли «О силах и количествах». В предисловии мы находим печальную фразу: «приближаются последние дни моей жизни». Он умер в 1515 г. и похоронен на кладбище своего родного города Сан-Сеполькоро.

После смерти труды великого математика оказываются преданными забвению почти на четыре столетия. И когда в конце 19-го века его труды стают всемирно известными, благодарные потомки после 370-летнего забвения на его могиле поставили памятник, на котором написали:.

«Луке Пачиоли, который был другом и советником Леонардо да Винчи и Леона Баттиста Альберти, который первый дал алгебре язык и структуру науки, который применил свое великое открытие к геометрии, изобрел двойную бухгалтерию и дал в математических трудах основы и неизменные нормы для последующих поколений».

А.П. Стахов, Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Глава 4. Золотое сечение в истории культуры. 4.8. «Божественная пропорция» Луки Пачоли // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13547, 12.07.2006