Сколько нулей в самом большом числе. Самые большие числа в математике

John Sommer

Ставьте после любой цифры нули или перемножайте с десятками, возведенными в сколь угодно большую степень. Мало не покажется. Покажется очень много. Но голые записи, все-таки, не слишком впечатляют. Громоздящиеся нули у гуманитария вызывают не столько удивление, сколько легкую зевоту. В любом случае, к любому самому большому числу в мире, которое вы можете вообразить, всегда можно прибавить еще единицу... И число выйдет еще больше.

И все-таки, есть в русском или любом другом языке слова для обозначения очень больших чисел? Тех, которые больше миллиона, миллиарда, триллиона, биллиона? И вообще, биллион - это сколько?

Оказывается, существуют две системы наименования чисел. Но не арабская, египетская, или любых других древних цивилизаций, а - американская и английская.

В американской системе числа называются так: берется латинское числительное + - иллион (суффикс). Таким образом, получаются числа:

Триллион - 1 000 000 000 000 (12 нулей)

Квадриллион - 1 000 000 000 000 000 (15 нулей)

Квинтиллион - 1 и 18 нулей

Секстиллион - 1 и 21 нуль

Септиллион - 1 и 24 нуля

октиллион - 1 и 27 нулей

Нониллион - 1 и 30 нулей

Дециллион - 1 и 33 нуля

Формула проста: 3·x+3 (х - латинское числительное)

По идее должны быть еще числа анилион (unus в латинском языке - один) и дуолион (duo - два), но, по-моему, такие названия вообще не используются.

Английская система наименования чисел распространена в большей степени.

Здесь тоже берется латинское числительное и к нему добавляется суффикс -иллион. Однако название следующего числа, которое больше предыдущего в 1 000 раз, образуется с помощью того же латинского числа и суффикса - иллиард. То бишь:

Триллион - 1 и 21 нуль (в американской системе - секстиллион!)

Триллиард - 1 и 24 нуля (в американской системе - септиллион)

Квадриллион - 1 и 27 нулей

Квадриллиард - 1 и 30 нулей

Квинтиллион - 1 и 33 нуля

Квиниллиард - 1 и 36 нулей

Секстиллион - 1 и 39 нулей

Секстиллиард - 1 и 42 нуля

Формулы для подсчета количества нулей, таковы:

Для чисел, оканчивающихся на - иллион - 6·x+3

Для чисел, оканчивающихся на - иллиард - 6·x+6

Как видите, путаница возможна. Но не устрашимся!

В России принята американская система наименования чисел. Из английской системы мы позаимствовали название числа "миллиард" - 1 000 000 000 = 10 9

А где же "заветный" биллион? - Да ведь биллион - это и есть миллиард! По-американски. А мы, хоть и пользуемся американской системой, а "миллиард" взяли из английской.

Пользуясь латинскими наименованиями чисел и американской системой назовем числа:

- вигинтиллион - 1 и 63 нуля

- центиллион - 1 и 303 нуля

- миллеиллион - единица и 3003 нуля! О-го-го...

Но и это, оказывается, не все. Есть еще числа внесистемные.

И первое из них, наверное, мириада - сотня сотен = 10 000

Гугол (именно в честь него названа известная поисковая система) - единица и сто нулей

В одном из буддийских трактатов названо число асанкхейя - единица и сто сорок нулей!

Название числа гуголплекс (как и гугол) придумал английский математик Эдвард Каснер и его девятилетний племянник - единица с - мама дорогая! - гуголом нулей!!!

Но и это еще не все...

Математик Скьюз назвал в честь себя число Скьюза. Оно означает e в степени e в степени e в степени 79, то есть e e e 79

А потом возникла большая трудность. Названия числам придумать можно. А вот как их записывать? Количество степеней степеней степеней уже таково, что просто не убирается на страницу! :)

И тогда некоторые математики стали записывать числа в геометрических фигурах. А первым, говорят, такой способ записи придумал выдающийся писатель и мыслитель Даниил Иванович Хармс.

И, все-таки, какое САМОЕ БОЛЬШОЕ ЧИСЛО В МИРЕ? - Оно называется СТАСПЛЕКС и равно G 100,

где G - число Грэма, самое большое число, когда-либо применявшееся в математических доказательствах.

Это число - стасплекс - придумал замечательный человек, наш соотечественник Стас Козловский, к ЖЖ которому я вас и адресую:) - ctac

10 в 3003 степени

Споры о том, какая самая большая цифра в мире, ведутся постоянно. Разные системы исчисление предлагают разные варианты и люди не знают чему верить, и какую именно цифру считать самой большой.

Данный вопрос интересовал ученых еще со времен Римской империи. Наибольшая загвоздка кроется в определении, что такое «число», и что такое «цифра». В свое время люди длительное время считали самым большим числом дециллион, то есть 10 в 33 степени. Но, после того, как ученые стали активно изучать американскую и английскую метрические системы, было обнаружено, что самое большое число в мире это 10 в 3003 степени – миллеиллион. Люди в повседневной жизни считают, что самой большой цифрой является триллион. Причем, это довольно формально, поскольку после триллиона, названия просто не даются, ведь счет начинается слишком сложный. Однако, чисто теоретически, количество нулей можно прибавлять до бесконечности. Поэтому представить даже чисто визуально триллион и то, что следует за ним, является практически невозможным.

В римских цифрах

С другой стороны, определение «цифры» в понимании математиков, это немного иное. Под цифрой подразумевается знак, который принят повсеместно и используется для того, чтобы обозначить количество, выраженное в числовом эквиваленте. Под вторым понятием «число» подразумевается выражение количественных характеристик в удобном виде через использование цифр. Из этого следует, что числа состоят из цифр. Также важно то, что цифра обладает знаковыми свойствами. Они обусловлены, узнаваемы, неизменяемы. Числа тоже имеют знаковые свойства, но они вытекают из того, что числа состоят из цифр. Отсюда можно сделать вывод, что триллион, это вовсе не цифра, а число. Тогда, какая же самая большая цифра в мире, если это не триллион, который является числом?

Важно то, что цифры используются, как составляющие числа, но и не только это. Цифра впрочем это то же число, если мы говорим о каких-то вещах, считая их от нуля и до девяти. Такая система признаков применяется не только к привычным нам арабским цифрам, но также и к римским I, V, X, L, C, D, M. Это римские цифры. С другой стороны V I I I – это римское число. В арабском исчислении ему соответствует цифра восемь.

В арабских цифрах

Таким образом, получается, что цифрами считаются единицы счета от нуля до девяти, а все остальное числа. Отсюда вывод, что самой большой цифрой в мире получается девять. 9 – знак, а число это простая количественная абстракция. Триллион это число, и никак не цифра, а потому не может быть самой большой цифрой в мире. Триллионом можно назвать самое большое число в мире и то чисто номинально, поскольку числа можно считать до бесконечности. Число цифр же строго ограничено – от 0 и до 9.

Также следует помнить, что цифры и числа разных систем исчисления не совпадают, как мы видели из примеры с арабскими и римскими числами и цифрами. Это происходит потому, что цифры и числа это простые понятия, которые выдумывает сам человек. Поэтому число одной системы исчисления с легкостью может быть цифрой другой и наоборот.

Таким образом, самое большое число является неисчислимым, ведь его можно продолжать складывать до бесконечности из цифр. Что касается, собственно цифр, то в общепринятой системе, самой большой цифрой считается 9.

Отвечая на такой нелегкий вопрос, какое оно, самое большое число в мире, сначала следует отметить, что на сегодняшний день присутствуют 2 принятых способа наименования чисел – английская и американская. Согласно английской системе, к каждому большому числу по очередности добавляются суффиксы –иллиард или –иллион, в результате чего образуются числа миллион, миллиард, триллион, триллиард и так далее. Если исходить из американской системы, то согласно ей, к каждому большому числу необходимо добавлять суффикс –иллион, в результате чего образуются числа триллион, квадриллион и большие. Здесь же необходимо отметить, что английская система исчисления является более распространенной в современном мире, а имеющиеся в ней числа являются вполне достаточными для нормального функционирования всех систем нашего мира.

Конечно, ответ на вопрос о самом большом числе с логической точки зрения, не может быть однозначным, ведь стоит только прибавить к каждой последующей цифре единицу, то получается уже новое большее число, следовательно, этот процесс не имеет своего предела. Однако, как ни странно, самое большое число в мире все-таки имеется и оно занесено в Книгу рекордов Гиннеса.

Число Грэма – самое большое число в мире

Именно это число признано в мире самым большим в Книге рекордов, при этом весьма трудно объяснить, что же оно из себя представляет и насколько оно велико. В общем смысле, это тройки, умноженные между собой, в результате чего образуется число, которое на 64 порядка стоит выше точки понимания каждого человека. В результате мы можем привести лишь заключительные 50 цифр числа Грэма – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

Число Гугола

История возникновения этого числа является не столь сложной, как вышеназванного. Так математик из Америки Эдвард Казнер, разговаривая со своими племянниками о больших цифрах, не смог ответить на вопрос, как называть числа, у которых 100 нулей и более. Находчивый племянник предложил таким числам свое название – гугол. Следует отметить, что большого практического значения это число не имеет, однако, он иногда используется в математике для выражения бесконечности.

Гуглоплекс

Данное число также придумано математиком Эдвардом Казнером и его племянником Милтоном Сироттой. В общем смысле оно представляет собой число в десятой степени гугол. Отвечая на вопрос многих любознательных натур, сколько нулей в гуглоплексе, стоит отметить, что в классическом варианте это число представить не составляет никакой возможности, даже если исписать всю бумагу, имеющуюся на планете классическими нулями.

Число Скьюза

Еще одним претендентом на звание самого большого числа является число Скьюза, доказанное Джоном Литтвудом в 1914 году. Согласно приведенным доказательствам, это число приблизительно составляет 8,185·10370.

Число Мозера

Это метод названия очень больших чисел был придуман Гуго Штейнгаузом, который предложил обозначать их многоугольниками. В результате трех проведенных математических операций рождается число 2 в мегагоне (многоугольнике с мегой сторон).

Как можно уже заметить, огромное количество математиков прилагало усилия для того, чтобы найти его – наибольшее число в мире. Насколько эти попытки увенчались успехом, конечно, судить не нам, однако, нельзя не отметить, что реальная применимость таких чисел сомнительна, ведь они не поддаются даже человеческому пониманию. К тому же всегда найдется то число, которое будет больше, если совершить совсем легкую математическую операцию +1.

Есть числа, которые так неимоверно, невероятно велики, что даже для того чтобы записать их, потребуется вся вселенная целиком. Но вот что действительно сводит с ума… некоторые из этих непостижимо больших чисел крайне важны для понимания мира.

Когда я говорю “наибольшее число во Вселенной’’, в действительности я имею в виду самое большое значимое число, максимально возможное число, которое в некотором роде полезно. Есть много претендентов на этот титул, но я сразу же предупреждаю вас: в самом деле существует риск того, что попытка понять все это взорвет ваш мозг. И кроме того, с излишком математики, вы получите мало удовольствия.

Гугол и гуголплекс

Эдвард Каснер

Мы могли бы начать с двух, весьма вероятно, самых больших чисел, о которых вы когда-либо слышали, и это действительно два самых больших числа, которые имеют общепринятые определения в английском языке. (Имеется довольно точная номенклатура, применяемая для обозначения чисел столь больших, как вам хотелось бы, но эти два числа в настоящее время вы не найдете в словарях.) Гугол, с тех пор как он стал всемирно известным (хотя и с ошибками, примеч. в самом деле это googol) в виде Google, родился в 1920 году как способ заинтересовать детей большими числами.

С этой целью Эдвард Каснер (на фото), взял двух своих племянников, Мильтона и Эдвина Сиротт, на прогулку по Нью-Джерси Palisades. Он предложил им выдвигать любые идеи, и тогда девятилетний Мильтон предложил “гугол’’. Откуда он взял это слово, неизвестно, но Каснер решил, что или число, в котором за единицей стоят сто нулей отныне будет называться гугол.

Но молодой Мильтон на этом не остановился, он предложил еще большее число, гуголплекс. Это число, по мнению Мильтона, в котором на первом месте стоит 1, а затем столько нулей, сколько вы могли бы написать до того как устанете. Хотя эта идея очаровательна, Каснер решил, что необходимо более формальное определение. Как он объяснил в своей книге 1940 года издания “Математика и воображение’’, определение Мильтона оставляет открытой рискованную возможность того, что случайный шут может стать математиком, превосходящим Альберта Эйнштейна просто потому, что он обладает большей выносливостью.

Таким образом, Каснер решил, что гуголплекс будет равен , или 1, а затем гугол нулей. Иначе, и в обозначениях, аналогичных тем, с которыми мы будем иметь дело для других чисел, мы будем говорить, что гуголплекс — это . Чтобы показать, насколько это завораживает, Карл Саган однажды заметил, что физически невозможно записать все нули гуголплекса, потому что просто не хватит места во Вселенной. Если заполнить весь объем наблюдаемой Вселенной мелкими частицами пыли размером приблизительно в 1,5 микрона, то число различных способов расположения этих частиц будет примерно равно одному гуголплексу.

Лингвистически говоря, гугол и гуголплекс, вероятно, два самых больших значащих числа (по крайней мере, в английском языке), но, как мы сейчас установим, способов определения “значимости’’ бесконечно много.

Реальный мир

Если мы будем говорить о самом большом значащем числе, существует разумный аргумент, что это в самом деле означает, что нужно найти наибольшее число с реально существующим в мире значением. Мы можем начать с текущей человеческой популяции, которая в настоящее время составляет около 6920 миллионов. Мировой ВВП в 2010 году, по оценкам, составил около 61960 миллиардов долларов, но оба эти числа незначительны по сравнению с примерно 100 триллионами клеток, составляющих организм человека. Конечно, ни одно из этих чисел не может сравниться с полным числом частиц во Вселенной, которое, как правило, считается равным примерно , и это число настолько велико, что наш язык не имеет соответствующего ему слова.

Мы можем поиграть немного с системами мер, делая числа больше и больше. Так, масса Солнца в тоннах будет меньше, чем в фунтах. Прекрасный способ сделать это состоит в использовании системы единиц Планка, которые являются наименьшими возможными мерами, для которых остаются в силе законы физики. Например, возраст Вселенной во времени Планка составляет около . Если мы вернемся в первую единицу времени Планка после Большого Взрыва, то увидим, что плотность Вселенной была тогда . Мы получаем все больше, но мы еще не достигли даже гугола.

Наибольшее число с каким-либо реальным приложением мире — или, в данном случае реальным применением в мирах — вероятно, , — одна из последних оценок числа вселенных в мультивселенной. Это число настолько велико, что человеческий мозг будет буквально не в состоянии воспринять все эти разные вселенные, поскольку мозг способен только примерно на конфигураций. На самом деле, это число, вероятно, самое большое число с каким-либо практическим смыслом, если вы не принимаете во внимание идею мультивселенной в целом. Однако существуют еще намного большие числа, которые там скрываются. Но для того, чтобы найти их, мы должны отправиться в область чистой математики, и нет лучшего начала, чем простые числа.

Простые числа Мерсенна

Часть трудностей состоит в том, чтобы придумать хорошее определение того, что такое “значащее’’ число. Один из способов состоит в том, чтобы рассуждать в терминах простых и составных чисел. Простое число, как вы, наверное, помните из школьной математики, — это любое натуральное число (примеч. не равное единице), которое делится только на и самого себя. Итак, и — простые числа, а и — составные числа. Это означает, что любое составное число может в конечном счете быть представлено своими простыми делителями. В некотором смысле число является более важным, чем, скажем, , потому что нет никакого способа выразить его через произведение меньших чисел.

Очевидно, мы можем пойти немного дальше. , например, на самом деле просто , что означает, что в гипотетическом мире, где наши знания чисел ограничены числом , математик еще может выразить число . Но уже следующее число простое, и это значит, что единственным способом его выразить — непосредственно знать о его существовании. Это означает, что самые большие известные простые числа играют важную роль, а, скажем, гугол – который, в конечном счете просто набор из чисел и , перемноженных между собой — вообще-то и нет. И поскольку простые числа в основном случайные, не известно никаких способов предсказать, что невероятно большое число на самом деле будет простым. По сей день открытие новых простых чисел — это трудное дело.

Математики Древней Греции имели понятие о простых числах, по крайней мере, уже в 500 году до нашей эры, а 2000 лет спустя люди все еще знали, какие числа простые только примерно до 750. Мыслители времен Евклида увидели возможность упрощения, но вплоть до эпохи Возрождения математики не могли действительно использовать это на практике. Эти числа известны как числа Мерсенна, они названы в честь французского ученого XVII века Марина Мерсенна. Идея достаточно проста: число Мерсенна — это любое число вида . Так, например, , и это число простое, то же самое верно и для .

Гораздо быстрее и легче определить простые числа Мерсенна, чем любой другой вид простых чисел, и компьютеры напряженно работают в их поисках на протяжении последних шести десятилетий. До 1952 года крупнейшим известным простым числом было число — число с цифрами. В том же году на компьютере вычислили, что число простое, и это число состоит из цифр, что делает его уже намного больше, чем гугол.

Компьютеры с тех пор были на охоте, и в настоящее время -е число Мерсенна является самым большим простым числом, известным человечеству. Обнаруженное в 2008 году, оно составляет — число с почти миллионами цифр. Это самое большое известное число, которое не может быть выражено через какие-либо меньшие числа, и если вы хотите помочь найти еще большее число Мерсенна, вы (и ваш компьютер) всегда можете присоединиться к поиску на сайте http://www.mersenne.org/.

Число Скьюза

Стэнли Скьюз

Снова обратимся к простым числам. Как я уже говорил, они ведут себя в корне неправильно, это означает, что нет никакого способа предсказать, каким будет следующее простое число. Математики были вынуждены обратиться к некоторым довольно фантастическим измерениям, чтобы придумать какой-нибудь способ предсказать будущие простые числа даже каким-нибудь туманным способом. Наиболее успешной из этих попыток, вероятно, является функция, считающая простые числа, которую придумал в конце XVIII века легендарный математик Карл Фридрих Гаусс.

Я избавлю вас от более сложной математики — так или иначе, у нас много еще впереди — но суть функции заключается в следующем: для любого целого можно оценить, сколько существует простых чисел, меньших . Например, если , функция предсказывает, что должно быть простых чисел, если — простых числа, меньших , и если , то существует меньших чисел, которые являются простыми.

Расположение простых чисел действительно имеет нерегулярный характер, и это всего лишь приближение фактического числа простых чисел. На самом деле мы знаем, что есть простых чисел, меньших , простых чисел меньших , и простых чисел меньших . Это отличная оценка, что и говорить, но это всегда только оценка… и, более конкретно, оценка сверху.

Во всех известных случаях до , функция, находящая количество простых чисел, слегка преувеличивает фактическое количество простых чисел меньших . Математики когда-то думали, что так будет всегда, до бесконечности, что это, безусловно, относится и к некоторым невообразимо огромным числам, но в 1914 году Джон Идензор Литтлвуд доказал, что для какого-то неизвестного, невообразимо огромного числа эта функция начнет выдавать меньшее количество простых чисел, а затем она будет переключаться между оценкой сверху и оценкой снизу бесконечное число раз.

Охота была на точку начала скачков, и вот тут появился Стэнли Скьюз (см. фото). В 1933 году он доказал, что верхняя граница, когда функция, приближающая количество простых чисел впервые дает меньшее значение — это число . Трудно по-настоящему понять даже в наиболее абстрактном смысле, что на самом деле представляет собой это число, и с этой точки зрения это было наибольшее число, когда-либо использованное в серьезном математическом доказательстве. С тех пор математики смогли уменьшить верхнюю границу до относительно маленького числа , но исходное число осталось известно как число Скьюза.

Итак, насколько велико число , которое делает карликом даже могучий гуголплекс? В словаре The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Дэвид Уэллс рассказывает об одном способе, с помощью которого математику Харди удалось осмыслить размер числа Скьюза:

“Харди думал, что это “самое большое число, когда-либо служившее какой-либо определенной цели в математике’’, и предположил, что если играть в шахматы со всеми частицами Вселенной как фигурами, один ход состоял бы в перестановке местами двух частиц, и игра прекращалась бы, когда одна и та же позиция повторялась бы третий раз, то число всех возможных партий было бы равно примерно числу Скьюза’’.

И последнее перед тем как двигаться дальше: мы говорили о меньшем из двух чисел Скьюза. Существует другое число Скьюза, которое математик нашел в 1955 году. Первое число получено на том основании, что так называемая гипотеза Римана истинна — это особенно сложная гипотеза математики, которая остается недоказанной, очень полезна, когда речь идет о простых числах. Тем не менее, если гипотеза Римана является ложной, Скьюз обнаружил, что точка начала скачков увеличивается до .

Проблема величины

Прежде чем мы перейдем к числу, рядом с которым даже число Скьюза выглядит крошечным, нам нужно немного поговорить о масштабе, потому что иначе у нас нет возможности оценить, куда мы собираемся идти. Сначала давайте возьмем число — это крошечное число, настолько малое, что люди могут действительно иметь интуитивное понимание того, что оно значит. Есть очень мало чисел, которые соответствуют этому описанию, так как числа больше шести перестают быть отдельными числами и становятся “несколько’’, “много’’ и т.д.

Теперь давайте возьмем , т.е. . Хотя мы в действительности не можем интуитивно, как это было для числа , понять, что такое , представить себе то, чем является очень легко. Пока все идет хорошо. Но что произойдет, если мы перейдем к ? Это равно , или . Мы очень далеки от способности представить себе эту величину, как и любую другую, очень большую — мы теряем способность постигать отдельные части где-то около миллиона. (Правда, безумно большое количество времени заняло бы, чтобы действительно досчитать до миллиона чего бы то ни было, но дело в том, что мы все еще способны воспринимать это число.)

Тем не менее, хотя мы не можем представить , мы по крайней мере в состоянии понять в общих чертах, что такое 7600 млрд, возможно, сравнивая его с чем-то таким, как ВВП США. Мы перешли от интуиции к представлению и к простому пониманию, но по крайней мере у нас еще есть некоторый пробел в понимании того, что такое число. Это вот-вот изменится, по мере нашего продвижения на еще одну ступень вверх по лестнице.

Для этого нам нужно перейти к обозначению, введенному Дональдом Кнутом, известному как стрелочная нотация. В этих обозначениях можно записать в виде . Когда мы затем перейдем к , число, которое мы получим, будет равно . Это равно где в общей сложности троек. Мы теперь значительно и по-настоящему превзошли все другие числа, о которых уже говорили. В конце концов, даже в самых больших из них было всего три или четыре члена в ряду показателей. Например, даже супер-число Скьюза — это “только’’ — даже с поправкой на то, что и основание, и показатели гораздо больше, чем , оно по-прежнему абсолютно ничто по сравнению с величиной числовой башни с млрд членов.

Очевидно, что нет никакого способа для постижения настолько огромных чисел… и тем не менее, процесс, посредством которого они созданы, еще можно понять. Мы не могли бы понять реальное количество, которое задается башней степеней, в которой млрд троек, но мы можем в основном представить такую башню со многими членами, и действительно приличный суперкомпьютер сможет хранить в памяти такие башни, даже если он не сможет вычислить их действительные значения.

Это становится все более абстрактным, но дальше будет только хуже. Вы можете подумать, что башня степеней , длина показателя которой равна (более того, в предыдущей версии этого поста я сделал именно эту ошибку), но это просто . Другими словами, представьте, что у вас есть возможность вычислить точное значение степенной башни из троек, которая состоит из элементов, а потом вы взяли это значение и создали новую башню с таким количеством в нем,… которое дает .

Повторите этот процесс с каждым последующим числом (примеч. начиная справа), пока вы не сделаете это раза, и тогда наконец вы получите . Это число, которое просто невероятно велико, но по крайней мере шаги его получения вроде бы понятны, если все делать очень медленно. Мы больше не можем понять числа или представить процедуру, благодаря которой оно получается, но, по крайней мере, мы можем понять основной алгоритм, только в достаточно большой срок.

Теперь подготовим ум к тому, чтобы его действительно взорвать.

Число Грэма (Грехема)

Рональд Грэм

Вот как вы получите число Грэма, которое занимает место в Книге рекордов Гиннеса как самое большое число, которое когда-либо использовали в математическом доказательстве. Совершенно невозможно представить, насколько оно велико, и столь же трудно точно объяснить, что это такое. В принципе, число Грэма появляется, когда имеют дело с гиперкубами, которые являются теоретическими геометрическими формами с более чем тремя измерениями. Математик Рональд Грэм (см. фото) хотел выяснить, при каком наименьшем числе измерений определенные свойства гиперкуба будут оставаться устойчивыми. (Простите за такое расплывчатое объяснение, но я уверен, что нам всем нужно получить по крайней мере две ученые степени по математике, чтобы сделать его более точным.)

В любом случае число Грэма является оценкой сверху этого минимального числа измерений. Итак, насколько велика эта верхняя граница? Давайте вернемся к числу , такому большому, что алгоритм его получения мы можем понять достаточно смутно. Теперь, вместо того, чтобы просто прыгать вверх еще на один уровень до , мы будем считать число , в котором есть стрелки между первой и последней тройками. Теперь мы находимся далеко за пределами даже малейшего понимания того, что такое это число или даже от того, что нужно делать, чтобы его вычислить.

Теперь повторим этот процесс раза (примеч. на каждом следующем шаге мы пишем число стрелок, равное числу, полученному на предыдущем шаге).

Это, дамы и господа, число Грэма, которое примерно на порядка стоит выше точки человеческого понимания. Это число, которое настолько больше, чем любое число, которое можно себе представить — это гораздо больше, чем любая бесконечность, которую вы могли бы когда-либо надеяться себе представить — оно просто не поддается даже самому абстрактному описанию.

Но вот странная вещь. Поскольку число Грэма в основном — это просто тройки, перемноженные между собой, то мы знаем некоторые его свойства без фактического его вычисления. Мы не можем представить число Грэма с помощью любых знакомых нам обозначений, даже если бы мы использовали всю Вселенную, чтобы записать его, но я могу назвать вам прямо сейчас последние двенадцать цифр числа Грэма: . И это еще не все: мы знаем по крайней мере последних цифр числа Грэма.

Конечно, стоит помнить, что это число только верхняя граница в исходной задаче Грэма. Вполне возможно, что фактическое число измерений, необходимых для выполнения нужного свойства гораздо, гораздо меньше. На самом деле, еще с 1980-х годов считалось, по мнению большинства специалистов в этой области, что фактически число измерений всего лишь шесть — число настолько малое, что мы можем понять его на интуитивном уровне. С тех пор нижняя граница была увеличена до , но есть еще очень большой шанс, что решение задачи Грэма не лежит рядом с числом столь же большим, как число Грэма.

К бесконечности

Так есть числа больше, чем число Грэма? Есть, конечно, для начала есть число Грэма . Что касается значащего числа… хорошо, есть некоторые дьявольски сложные области математики (в частности, области, известной как комбинаторика) и информатики, в которых встречаются числа даже большие, чем число Грэма. Но мы почти достигли предела того, что, как я могу надеяться, когда-либо смогут разумно объяснить. Для тех, кто достаточно безрассуден достаточно, чтобы пойти еще дальше, предлагается литература для дополнительного чтения на свой страх и риск.

Ну а сейчас удивительная цитата, которая приписывается Дугласу Рею (примеч. честно говоря, звучит довольно забавно ):

“Я вижу скопления смутных чисел, которые скрывается там, в темноте, за небольшим пятном света, которое дает свеча разума. Они шепчутся друг с другом; сговариваясь кто знает о чем. Возможно, они нас не очень любят за захват их меньших братишек нашими умами. Или, возможно, они просто ведут однозначный числовой образ жизни, там, за пределами нашего понимания’’.

В детстве меня мучил вопрос, какое существует самое большое число, и я изводил этим дурацким вопросом практически всех подряд. Узнав число миллион, я спрашивал, а есть ли число больше миллиона. Миллиард? А больше миллиарда? Триллион? А больше триллиона? Наконец, нашёлся кто-то умный, кто мне объяснил, что вопрос глуп, так как достаточно всего лишь прибавить к самому большому числу единицу, и окажется, что оно никогда не было самым большим, так как существуют число ещё больше.

И вот, спустя много лет, я решил задаться другим вопросом, а именно: какое существует самое большое число, которое имеет собственное название? Благо, сейчас есть инет и озадачить им можно терпеливые поисковые машины, которые не будут называть мои вопросы идиотскими;-). Собственно, это я и сделал, и вот, что в результате выяснил.

Число	Латинское название	Русская приставка
1	unus	ан-
2	duo	дуо-
3	tres	три-
4	quattuor	квадри-
5	quinque	квинти-
6	sex	сексти-
7	septem	септи-
8	octo	окти-
9	novem	нони-
10	decem	деци-

Существуют две системы наименования чисел - американская и английская.

Американская система постороена довольно просто. Все названия больших чисел строятся так: в начале идет латинское порядковое числительное, а в конце к ней добавляется суффикс -иллион. Исключение составляет название "миллион" которое является названием числа тысяча (лат. mille ) и увеличительного суффикса -иллион (см. таблицу). Так получаются числа - триллион, квадриллион, квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион и дециллион. Американская система используется в США, Канаде, Франции и России. Узнать количество нулей в числе, записанном по американской системе, можно по простой формуле 3·x+3 (где x - латинское числительное).

Английская система наименования наиболее распространена в мире. Ей пользуются, например, в Великобритании и Испании, а также в большинстве бывших английских и испанских колоний. Названия чисел в этой системе строятся так: так: к латинскому числительному добавляют суффикс -иллион, следущее число (в 1000 раз большее) строится по принципу - то же самое латинское числительное, но суффикс - -иллиард. То есть после триллиона в английской системе идёт триллиард, а только затем квадриллион, за которым следует квадриллиард и т.д. Таким образом, квадриллион по английской и американской системам - это совсем разные числа! Узнать количество нулей в числе, записанном по английской системе и оканчивающегося суффиксом -иллион, можно по формуле 6·x+3 (где x - латинское числительное) и по формуле 6·x+6 для чисел, оканчивающихся на -иллиард.

Из английской системы в русский язык перешло только число миллиард (10 9), которое всё же было бы правильнее называть так, как его называют американцы - биллионом, так как у нас принята именно американская система. Но кто у нас в стране что-то делает по правилам! ;-) Кстати, иногда в русском языке употребляют и слово триллиард (можете сами в этом убедиться, запустив поиск в Гугле или Яндексе) и означает оно, судя по всему, 1000 триллионов, т.е. квадриллион.

Кроме чисел, записанных при помощи латинских префиксов по американской или англйской системе, известны и так называемые внесистемные числа, т.е. числа, которые имеют свои собственные названия безо всяких латинских префиксов. Таких чисел существует несколько, но подробнее о них я расскажу чуть позже.

Вернемся к записи при помощи латинских числительных. Казалось бы, что ими можно записывать числа до бессконечности, но это не совсем так. Сейчас объясню почему. Посмотрим для начала как называются числа от 1 до 10 33:

Название	Число
Единица	10 0
Десять	10 1
Сто	10 2
Тысяча	10 3
Миллион	10 6
Миллиард	10 9
Триллион	10 12
Квадриллион	10 15
Квинтиллион	10 18
Секстиллион	10 21
Септиллион	10 24
Октиллион	10 27
Нониллион	10 30
Дециллион	10 33

И вот, теперь возникает вопрос, а что дальше. Что там за дециллионом? В принципе, можно, конечно же, при помощи объединения приставок породить такие монстры, как: андецилион, дуодециллион, тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион, сексдециллион, септемдециллион, октодециллион и новемдециллион, но это уже будут составные названия, а нам были интересны именно собственные названия чисел. Поэтому собственных имён по этой системе, помимо указанных выше, ещё можно получить лишь всего три - вигинтиллион (от лат. viginti - двадцать), центиллион (от лат. centum - сто) и миллеиллион (от лат. mille - тысяча). Больше тысячи собственных названий для чисел у римлян не имелось (все числа больше тысячи у них были составными). Например, миллион (1 000 000) римляне называли decies centena milia , то есть "десять сотен тысяч". А теперь, собственно, таблица:

Таким образом, по подобной системе числа больше, чем 10 3003 , у которого было бы собственное, несоставное название получить невозможно! Но тем не менее числа больше миллеиллиона известны - это те самые внесистемные числа. Расскажем, наконец-то, о них.

Название	Число
Мириада	10 4
Гугол	10 100
Асанкхейя	10 140
Гуголплекс	10 10 100
Второе число Скьюза	10 10 10 1000
Мега	2 (в нотации Мозера)
Мегистон	10 (в нотации Мозера)
Мозер	2 (в нотации Мозера)
Число Грэма	G 63 (в нотации Грэма)
Стасплекс	G 100 (в нотации Грэма)

Самое маленькое такое число - это мириада (оно есть даже в словаре Даля), которое означает сотню сотен, то есть - 10 000. Слово это, правда, устарело и практически не используется, но любопытно, что широко используется слово "мириады", которое означает вовсе не определённое число, а бесчисленное, несчётное множество чего-либо. Считается, что слово мириада (англ. myriad) пришло в европейские языки из древнего Египта.

Гугол (от англ. googol) - это число десять в сотой степени, то есть единица со ста нулями. О "гуголе" впервые написал в 1938 году в статье "New Names in Mathematics" в январском номере журнала Scripta Mathematica американский математик Эдвард Каснер (Edward Kasner). По его словам, назвать "гуголом" большое число предложил его девятилетний племянник Милтон Сиротта (Milton Sirotta). Общеизвестным же это число стало благодаря, названной в честь него, поисковой машине Google . Обратите внимание, что "Google" - это торговая марка, а googol - число.

В известном буддийском трактате Джайна-сутры, относящегося к 100 г. до н.э., встречается число асанкхейя (от кит. асэнци - неисчислимый), равное 10 140 . Считается, что этому числу равно количество космических циклов, необходимых для обретения нирваны.

Гуголплекс (англ. googolplex ) - число также придуманное Каснером со своим племянником и означающее единицу с гуголом нулей, то есть 10 10 100 . Вот как сам Каснер описывает это "открытие":

Words of wisdom are spoken by children at least as often as by scientists. The name "googol" was invented by a child (Dr. Kasner"s nine-year-old nephew) who was asked to think up a name for a very big number, namely, 1 with a hundred zeros after it. He was very certain that this number was not infinite, and therefore equally certain that it had to have a name. At the same time that he suggested "googol" he gave a name for a still larger number: "Googolplex." A googolplex is much larger than a googol, but is still finite, as the inventor of the name was quick to point out.

Mathematics and the Imagination (1940) by Kasner and James R. Newman.

Еще большее, чем гуголплекс число - число Скьюза (Skewes" number) было предложено Скьюзом в 1933 году (Skewes. J. London Math. Soc. 8 , 277-283, 1933.) при доказательстве гипотезы Риманна , касающейся простых чисел. Оно означает e в степени e в степени e в степени 79, то есть e e e 79 . Позднее, Риел (te Riele, H. J. J. "On the Sign of the Difference П (x)-Li(x)." Math. Comput. 48 , 323-328, 1987) свел число Скьюза к e e 27/4 , что приблизительно равно 8,185·10 370 . Понятное дело, что раз значение числа Скьюза зависит от числа e , то оно не целое, поэтому рассматривать мы его не будем, иначе пришлось бы вспомнить другие ненатуральные числа - число пи, число e, число Авогадро и т.п.

Но надо заметить, что существует второе число Скьюза, которое в математике обозначается как Sk 2 , которое ещё больше, чем первое число Скьюза (Sk 1). Второе число Скьюза , было введённо Дж. Скьюзом в той же статье для обозначения числа, до которого гипотеза Риманна справедлива. Sk 2 равно 10 10 10 10 3 , то есть 10 10 10 1000 .

Как вы понимаете чем больше в числе степеней, тем сложнее понять какое из чисел больше. Например, посмотрев на числа Скьюза, без специальных вычислений практически невозможно понять, какое из этих двух чисел больше. Таким образом, для сверхбольших чисел пользоваться степенями становится неудобно. Мало того, можно придумать такие числа (и они уже придуманы), когда степени степеней просто не влезают на страницу. Да, что на страницу! Они не влезут, даже в книгу, размером со всю Вселенную! В таком случае встаёт вопрос как же их записывать. Проблема, как вы понимаете разрешима, и математики разработали несколько принципов для записи таких чисел. Правда, каждый математик, кто задавался этой проблемой придумывал свой способ записи, что привело к существованию нескольких, не связанных друг с другом, способов для записи чисел - это нотации Кнута, Конвея, Стейнхауза и др.

Рассмотрим нотацию Хьюго Стенхауза (H. Steinhaus. Mathematical Snapshots , 3rd edn. 1983), которая довольно проста. Стейн хауз предложил записывать большие числа внутри геометрических фигур - треугольника, квадрата и круга:

Стейнхауз придумал два новых сверхбольших числа. Он назвал число - Мега , а число - Мегистон.

Математик Лео Мозер доработал нотацию Стенхауза, которая была ограничена тем, что если требовалаось записывать числа много больше мегистона, возникали трудности и неудобства, так как приходилось рисовать множество кругов один внутри другого. Мозер предложил после квадратов рисовать не круги, а пятиугольники, затем шестиугольники и так далее. Также он предложил формальную запись для этих многоугольников, чтобы можно было записывать числа, не рисуя сложных рисунков. Нотация Мозера выглядит так:

Таким образом, по нотации Мозера стейнхаузовский мега записывается как 2, а мегистон как 10. Кроме того, Лео Мозер предложил называть многоугольник с числом сторон равным меге - мегагоном. И предложил число "2 в Мегагоне", то есть 2. Это число стало известным как число Мозера (Moser"s number) или просто как мозер .

Но и мозер не самое большое число. Самым большим числом, когда-либо применявшимся в математическом доказательстве, является предельная величина, известная как число Грэма (Graham"s number), впервые использованная в 1977 года в доказательстве одной оценки в теории Рамсея. Оно связано с бихроматическими гиперкубами и не может быть выражено без особой 64-уровневой системы специальных математических символов, введённых Кнутом в 1976 году.

К сожалению, число записанное в нотации Кнута нельзя перевести в запись по системе Мозера. Поэтому придётся объяснить и эту систему. В принципе в ней тоже нет ничего сложного. Дональд Кнут (да, да, это тот самый Кнут, который написал "Искусство программирования" и создал редактор TeX) придумал понятие сверхстепень, которое предложил записывать стрелками, направленными вверх:

В общем виде это выглядит так:

Думаю, что всё понятно, поэтому вернёмся к числу Грэма. Грэм предложил, так называемые G-числа:

Число G 63 стало называться числом Грэма (обозначается оно часто просто как G). Это число является самым большим известным в мире числом и занесёно даже в "Книгу рекордов Гинесса". А, вот , что число Грэма больше числа Мозера.

P.S. Чтобы принести великую пользу всему человечеству и прославиться в веках, я решил сам придумать и назвать самое большое число. Это число будет называться стасплекс и оно равно числу G 100 . Запомните его, и когда ваши дети будут спрашивать какое самое большое в мире число, говорите им, что это число называется стасплекс .

Update (4.09.2003): Спасибо всем за комментарии. Оказалось, что при написании текста я допустил несколько ошибок. Попробую сейчас исправить.

1. Я сделал сразу несколько ошибок, просто упомянув число Авогадро. Во-первых, несколько человек указали мне, что на самом деле 6,022·10 23 - самое, что ни на есть натуральное число. А во-вторых, есть мнение и оно мне кажется верным, что число Авогадро вообще не является числом в собственном, математическом смысле слова, так как оно зависит от системы единиц. Сейчас оно выражается в "моль -1 ", но если его выразить, к примеру в молях или ещё в чём-нибудь, то оно будет выражаться совсем другой цифрой, но числом Авогадро от этого быть совсем не перестанет.
2. 10 000 - тьма
   100 000 - легион
   1 000 000 - леодр
   10 000 000 - ворон или вран
   100 000 000 - колода
   Что интересно, древние славяне тоже любили большие числа умели считать до миллиарда. Причём такой счёт назывался у них "малый счёт". В некоторых же рукописях авторами рассматривался и "великий счёт", доходивший до числа 10 50 . Про числа больше, чем 10 50 говорилось: "И более сего несть человеческому уму разумети". Названия употреблявшиеся в "малом счёте", переносились на "великий счет", но с другим смыслом. Так, тьма означала уже не 10 000, а миллион, легион - тьму тем (миллион миллионов); леодр - легион легионов (10 в 24 степени), дальше говорилось - десять леодров, сто леодров, ... , и, наконец, сто тысяч тем легион леодров (10 в 47); леодр леодров (10 в 48) назывался ворон и, наконец, колода (10 в 49).
3. Тему национальных названий чисел можно расширить, если вспомнить и про забытую мной японскую систему наименования чисел, которая сильно отличается от английской и американской системы (иероглифы я рисовать не буду, если кому-то интересно, то они ):
   10 0 - ichi
   10 1 - jyuu
   10 2 - hyaku
   10 3 - sen
   10 4 - man
   10 8 - oku
   10 12 - chou
   10 16 - kei
   10 20 - gai
   10 24 - jyo
   10 28 - jyou
   10 32 - kou
   10 36 - kan
   10 40 - sei
   10 44 - sai
   10 48 - goku
   10 52 - gougasya
   10 56 - asougi
   10 60 - nayuta
   10 64 - fukashigi
   10 68 - muryoutaisuu
4. По поводу чисел Хьюго Стейнхауза (в России его имя переводили почему-то как Гуго Штейнгауз). botev уверяет, что идея записывать сверхбольшие числа в виде чисел в кружочках, принадлежит не Стейнхаузу, а Даниилу Хармсу, который задолого до него опубликовал эту идею в статье "Поднятие числа". Также хочу поблагодарить Евгения Скляревского, автора самого интересного сайта по занимательной математике в русскоязычном интернете - Арбуза , за информацию, что Стейнхауз придумал не только числа мега и мегистон, но и предложил ещё число медзон , равное (в его нотации) "3 в кружочке".
5. Теперь о числе мириада или мириои. Насчёт происхождения этого числа существуют разные мнения. Одни считают, что оно возникло в Египте, другие же полагают, что оно родилось лишь в Античной Греции. Как бы то ни было на самом деле, но известность мириада получила именно благодаря грекам. Мириада являлось названием для 10 000, а для чисел больше десяти тысяч названий не было. Однако в заметке "Псаммит" (т.е. исчисление песка) Архимед показал, как можно систематически строить и называть сколь угодно большие числа. В частности, размещая в маковом зерне 10 000 (мириада) песчинок, он находит, что во Вселенной (шар диаметром в мириаду диаметров Земли) поместилось бы (в наших обозначениях) не более чем 10 63 песчинок. Любопытно, что современные подсчеты количества атомов в видимой Вселенной приводят к числу 10 67 (всего в мириаду раз больше). Названия чисел Архимед предложил такие:
   1 мириада = 10 4 .
   1 ди-мириада = мириада мириад = 10 8 .
   1 три-мириада = ди-мириада ди-мириад = 10 16 .
   1 тетра-мириада = три-мириада три-мириад = 10 32 .
   и т.д.

Если есть замечания -