Principi della teoria dell'elasticità. Fondamenti della teoria dell'elasticità. Problema della teoria dell'elasticità

La creazione della teoria dell'elasticità e della plasticità come branca indipendente della meccanica fu preceduta dal lavoro di scienziati dei secoli XVII e XVIII anche all'inizio del XVII secolo. G. Galileo (1564-1642) tentò di risolvere i problemi di allungamento e flessione di una trave. Fu uno dei primi a provare ad applicare i calcoli a problemi di ingegneria civile.

La teoria della flessione delle aste elastiche sottili è stata studiata da scienziati eccezionali come E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. Coulomb, L. Euler e la formazione della teoria dell'elasticità come scienza possono essere associati ai lavori di R. Gun, T. Jung, J.L. Lagrange, S. Germain.

Robert Hooke (1635-1703) gettò le basi per la meccanica dei corpi elastici pubblicando nel 1678 R. opera in cui descrisse la legge di proporzionalità tra carico e deformazione a trazione da lui stabilita. Thomas Young (1773-1829) all'inizio del XIX secolo. introdotto il concetto di modulo di elasticità a trazione e compressione. Stabilì inoltre una distinzione tra deformazione a trazione o compressione e deformazione a taglio. Allo stesso periodo risalgono le opere di Joseph Louis Lagrange (1736-1813) e Sophie Germain (1776-1831). Hanno trovato una soluzione al problema della flessione e delle vibrazioni delle piastre elastiche. Successivamente, la teoria delle placche fu migliorata da S. Poisson e 781-1840) e L. Navier (1785-1836).

Quindi, entro la fine del XVIII e l'inizio del XIX secolo. furono gettate le basi della resistenza dei materiali e si creò il terreno per l'emergere della teoria dell'elasticità. Il rapido sviluppo della tecnologia ha posto un numero enorme di problemi pratici alla matematica, che hanno portato al rapido sviluppo della teoria. Uno dei tanti problemi importanti era il problema dello studio delle proprietà dei materiali elastici. La soluzione a questo problema ha permesso di studiare in modo più approfondito e completo le forze interne e le deformazioni che si presentano in un corpo elastico sotto l'influenza di forze esterne.

La data di origine della teoria matematica dell'elasticità dovrebbe essere considerata il 1821, quando fu pubblicato il lavoro di L. Navier, in cui furono formulate le equazioni di base.

Le grandi difficoltà matematiche nella risoluzione dei problemi nella teoria dell'elasticità attirarono l'attenzione di molti eminenti matematici del XIX secolo: Lame, Clapeyron, Poisson, ecc. La teoria dell'elasticità fu ulteriormente sviluppata nelle opere del matematico francese O. Cauchy ( 1789-1857), che introdusse il concetto di deformazione e tensione, semplificando così la derivazione delle equazioni generali.

Nel 1828, l'apparato base della teoria matematica dell'elasticità trovò il suo completamento nei lavori degli scienziati e ingegneri francesi G. Lame (1795-1870) e B. Clapeyron (1799-1864), che allora insegnavano all'Istituto degli ingegneri ferroviari a San Pietroburgo. Il loro lavoro congiunto ha fornito l'applicazione delle equazioni generali alla soluzione di problemi pratici.

La soluzione a molti problemi nella teoria dell'elasticità divenne possibile dopo che il meccanico francese B. Saint-Venant (1797-1886) avanzò il principio che porta il suo nome e propose un metodo efficace per risolvere i problemi nella teoria dell'elasticità. Il suo merito, secondo il famoso scienziato inglese A. Love (1863-1940), sta anche nel fatto di aver collegato i problemi della torsione e della flessione delle travi con la teoria generale.

Se i matematici francesi si occupavano principalmente di problemi teorici generali, gli scienziati russi hanno dato un grande contributo allo sviluppo della scienza della forza risolvendo molti problemi pratici urgenti. Dal 1828 al 1860, l'eccezionale scienziato M. V. Ostrogradsky (1801-1861) insegnò matematica e meccanica alle università tecniche di San Pietroburgo. Le sue ricerche sulle vibrazioni che si generano in un mezzo elastico furono importanti per lo sviluppo della teoria dell'elasticità. Ostrogradsky addestrò una galassia di scienziati e ingegneri. Tra questi dovrebbe essere nominato D.I. Zhuravsky (1821-1891), che, mentre lavorava alla costruzione della ferrovia San Pietroburgo-Mosca, creò non solo nuovi progetti di ponti, ma anche una teoria per il calcolo delle capriate del ponte e derivò anche una formula per tensioni tangenziali in una trave flettente.

A. V. Gadolin (1828-1892) applicò il problema di Lame della deformazione assialsimmetrica di un tubo a pareti spesse allo studio delle sollecitazioni derivanti dalle canne dei cannoni di artiglieria, essendo uno dei primi ad applicare la teoria dell'elasticità a uno specifico problema di ingegneria.

Tra gli altri problemi risolti alla fine del XIX secolo, vale la pena notare il lavoro di Kh S. Golovin (1844-1904), che effettuò un calcolo accurato di una trave curva utilizzando i metodi della teoria dell'elasticità, che permise di determinare il grado di accuratezza delle soluzioni approssimate.

Gran parte del merito per lo sviluppo della scienza della forza va a V. L. Kirpichev (1845-1913). Riuscì a semplificare in modo significativo vari metodi per il calcolo delle strutture staticamente indeterminate. Fu il primo ad applicare il metodo ottico alla determinazione sperimentale delle tensioni e creò il metodo della similarità.

Una stretta connessione con la pratica costruttiva, l'integrità e la profondità dell'analisi caratterizzano la scienza sovietica. I. G. Bubnov (1872-1919) sviluppò un nuovo metodo approssimato per l'integrazione delle equazioni differenziali, brillantemente sviluppato da B. G. Galerkin (1871-1945). Il metodo variazionale di Bubnov-Galerkin è attualmente ampiamente utilizzato. I lavori di questi scienziati sulla teoria della flessione delle piastre sono di grande importanza. Proseguendo le ricerche di Galerkin, P.F. Papkovich (1887-1946).

Un metodo per risolvere un problema piano nella teoria dell'elasticità, basato sull'applicazione della teoria delle funzioni di una variabile complessa, è stato proposto da G.V. Kolosov (1867-1936). Successivamente, questo metodo è stato sviluppato e generalizzato da N.I. Muskhelishvili (1891-1976). Numerosi problemi sulla stabilità di aste e piastre, vibrazioni di aste e dischi e teoria dell'impatto e della compressione dei corpi elastici furono risolti da A.N. Dinnik (1876-1950). Le opere di L.S. Leibenzon (1879-1951) sulla stabilità dell'equilibrio elastico di lunghe aste ritorte, sulla stabilità dei gusci sferici e cilindrici. I principali lavori di V. Z. Vlasov (1906-1958) sulla teoria generale delle aste spaziali a pareti sottili, dei sistemi piegati e dei gusci sono di grande importanza pratica.

La teoria della plasticità ha una storia più breve. La prima teoria matematica della plasticità fu creata da Saint-Venant negli anni '70 del XIX secolo. basato sugli esperimenti dell'ingegnere francese G. Tresca. All'inizio del 20 ° secolo. R. Mises ha lavorato sui problemi della plasticità. G. Genki, L. Prandtl, T. Karman. Dagli anni '30 del XX secolo, la teoria della plasticità ha attirato l'attenzione di una vasta cerchia di eminenti scienziati stranieri (A. Nadai, R. Hill, V. Prager, F. Hodge, D. Drucker, ecc.). I lavori sulla teoria della plasticità degli scienziati sovietici V.V. Sokolovsky, A.Yu. Ishlinsky, G.A. Smirnova-Alyaeva, L.M. Kachanova. Un contributo fondamentale alla creazione della teoria della deformazione della plasticità fu dato da A.A. Ilyushin. AA. Gvozdev ha sviluppato una teoria per il calcolo di piastre e gusci basata su carichi distruttivi. Questa teoria è stata sviluppata con successo da A.R. Rzhanitsyn.

La teoria del creep come branca della meccanica di un corpo deformabile si è formata relativamente di recente. I primi studi in questo ambito risalgono agli anni '20 del XX secolo. La loro natura generale è determinata dal fatto che il problema del creep era di grande importanza per l'ingegneria energetica e gli ingegneri erano costretti a cercare metodi semplici e che portassero rapidamente all'obiettivo per risolvere problemi pratici. Nella creazione della teoria del creep, un ruolo importante appartiene a quegli autori che hanno dato un contributo significativo alla creazione della moderna teoria della plasticità. da qui la comunanza di molte idee e approcci. Nel nostro paese i primi lavori sulla teoria meccanica del creep appartenevano a N.M. Belyaev (1943), K.D. Mirtov (1946), i primi studi di N.N Malinin, Yu.N. Rabotnova.

La ricerca nel campo dei corpi elastico-viscosi è stata condotta nei lavori di A.Yu. Ishlinsky, A.N. Gerasimova, A.R. Rzhanitsyna, Yu.N. Rabotnova. L'applicazione di questa teoria ai materiali invecchiati, principalmente il calcestruzzo, è data nei lavori di N.X. Harutyunyan, A.A. Gvozdeva, G.N. Numerosi studi sullo scorrimento dei materiali polimerici sono stati condotti da gruppi di ricerca guidati da A.A. Ilyushina, A.K. Malmeister, M.I. Rozovsky, G.N. Savina.

Lo stato sovietico presta grande attenzione alla scienza. L'organizzazione degli istituti di ricerca e la partecipazione di grandi gruppi di scienziati allo sviluppo di problemi di attualità hanno permesso di elevare la scienza sovietica a un livello superiore.

In una breve rassegna, non è possibile soffermarsi più in dettaglio sul lavoro di tutti gli scienziati che hanno contribuito allo sviluppo della teoria dell'elasticità e della plasticità. Coloro che desiderano familiarizzare in dettaglio con la storia dello sviluppo di questa scienza possono fare riferimento al libro di testo di N.I. Bezukhov, dove viene fornita un'analisi dettagliata delle fasi principali dello sviluppo della teoria dell'elasticità e della plasticità, nonché un'ampia bibliografia.

1.1.Ipotesi di base, principi e definizioni

La teoria dello stress come branca della meccanica del continuo si basa su una serie di ipotesi, la principale delle quali dovrebbe essere chiamata ipotesi di continuità e di stato di stress naturale (di fondo).

Secondo l'ipotesi di continuità, tutti i corpi sono considerati completamente continui sia prima dell'applicazione di un carico (prima della deformazione) sia dopo la sua azione. In questo caso qualunque volume del corpo rimane solido (continuo), compreso il volume elementare, cioè l'infinitamente piccolo. A questo proposito, le deformazioni di un corpo sono considerate funzioni continue di coordinate quando il materiale del corpo si deforma senza che si formino in esso crepe o pieghe discontinue.

L'ipotesi di uno stato di stress naturale presuppone la presenza di un livello di tensione iniziale (di fondo) nel corpo, solitamente considerato pari a zero, e le sollecitazioni effettive causate da un carico esterno sono considerate incrementi di stress superiori al livello naturale.

Insieme alle ipotesi principali sopra menzionate, nella teoria delle tensioni vengono adottati anche alcuni principi fondamentali, tra i quali, innanzitutto, è necessario citare la dotazione dei corpi di elasticità ideale, isotropia sferica, perfetta omogeneità e una relazione lineare tra tensioni e deformazioni.

L'elasticità ideale è la capacità dei materiali sottoposti a deformazione di ripristinare la loro forma originale (dimensione e volume) dopo aver rimosso il carico esterno (influenza esterna). Quasi tutte le rocce e la maggior parte dei materiali da costruzione hanno un certo grado di elasticità; questi materiali includono sia liquidi che gas.

L'isotropia sferica presuppone le stesse proprietà dei materiali in tutte le direzioni di azione del carico, il suo antipodo è l'anisotropia, cioè la dissomiglianza delle proprietà in diverse direzioni (alcuni cristalli, legno, ecc.); Allo stesso tempo, i concetti di isotropia sferica e omogeneità non devono essere confusi: ad esempio, la struttura omogenea del legno è caratterizzata dall'anisotropia, la differenza nella resistenza dell'albero lungo e attraverso le fibre. I materiali elastici, isotropi e omogenei sono caratterizzati da una relazione lineare tra tensioni e deformazioni, descritta dalla legge di Hooke, discussa nella sezione corrispondente del libro di testo.

Il principio fondamentale nella teoria dello stress (e della deformazione, tra le altre cose) è il principio dell'azione locale dei carichi esterni autobilanciati: il principio di Saint-Venant. Secondo questo principio, un sistema equilibrato di forze applicate ad un corpo in qualsiasi punto (linea) provoca nel materiale una sollecitazione che diminuisce rapidamente con la distanza dal luogo in cui viene applicato il carico, ad esempio secondo una legge esponenziale. Un esempio di tale azione sarebbe il taglio della carta con le forbici, che deformano (tagliano) una parte infinitesima del foglio (linea), mentre il resto del foglio di carta non verrà disturbato, cioè si verificherà una deformazione locale. L'applicazione del principio di Saint-Venant aiuta a semplificare i calcoli matematici quando si risolvono i problemi di valutazione dell'IVA sostituendo un dato carico difficile da descrivere matematicamente con uno più semplice, ma equivalente.

Parlando dell'oggetto di studio della teoria delle tensioni, è necessario dare una definizione di tensione stessa, intesa come misura delle forze interne ad un corpo, all'interno di una certa sezione di esso, distribuite sulla sezione considerata e contrastare il carico esterno. In questo caso le sollecitazioni agenti sulla zona trasversale e perpendicolare ad essa si dicono normali; di conseguenza, le sollecitazioni parallele a quest'area o che la toccano saranno tangenziali.

La considerazione della teoria delle sollecitazioni è semplificata introducendo le seguenti ipotesi, che praticamente non riducono l'accuratezza delle soluzioni ottenute:

Gli allungamenti relativi (accorciamenti), così come gli spostamenti relativi (angoli di taglio) sono molto inferiori all'unità;

Gli spostamenti dei punti del corpo durante la sua deformazione sono piccoli rispetto alle dimensioni lineari del corpo;

Anche gli angoli di rotazione delle sezioni durante la deformazione flessionale del corpo sono molto piccoli rispetto all'unità, ed i loro quadrati sono trascurabili rispetto ai valori delle relative deformazioni lineari ed angolari.

FONDAMENTI DELLA TEORIA DELL'ELASTICITÀ

PROBLEMI ASSISIMMETRICI DELLA TEORIA DELL'ELASTICITÀ

FONDAMENTI DELLA TEORIA DELL'ELASTICITÀ

Disposizioni fondamentali, assunzioni e notazioni Equazioni di equilibrio per un parallelepipedo elementare e un tetraedro elementare. Sforzi normali e di taglio lungo una piattaforma inclinata

Determinazione delle tensioni principali e delle massime tensioni tangenziali in un punto. Sforzi lungo aree ottaedriche. Concetto di spostamento. Dipendenze tra deformazioni e spostamenti. Parente

deformazione lineare in una direzione arbitraria. Equazioni di compatibilità deformativa. Legge di Hooke per un corpo isotropo Problema del piano in coordinate rettangolari Problema del piano in coordinate polari

Possibili soluzioni a problemi nella teoria dell'elasticità. Soluzioni a problemi di spostamenti e sollecitazioni Presenza di un campo di temperatura. Brevi conclusioni sulla sezione SEMPLICI PROBLEMI ASSI-SIMMETRICI Equazioni in coordinate cilindriche Equazioni in coordinate cilindriche (continua)

Deformazione di un vaso sferico a pareti spesse Forza concentrata che agisce su un piano

Casi particolari di caricamento di un semispazio elastico: carico uniforme sull'area di un cerchio, carico sull'area di un cerchio su un "emisfero", il problema inverso di comprimere una palla assolutamente rigida in un semispazio elastico spazio. Il problema del collasso elastico delle sfere TUBI A PARETI SPESSE

Informazioni generali. Equazione di equilibrio di un elemento di tubo Studio delle sollecitazioni sotto pressione su uno dei circuiti. Condizioni di resistenza durante la deformazione elastica Tensioni in tubi compositi. Il concetto di calcolo dei tubi multistrato Esempi di calcoli

PIASTRE, MEMBRANE Definizioni e ipotesi fondamentali

Equazione differenziale della superficie media curva di una piastra in coordinate rettangolari Piegatura cilindrica e sferica di una piastra

Momenti flettenti durante la flessione assialsimmetrica di una piastra rotonda. Equazione differenziale della superficie media curva di una piastra circolare. Condizioni al contorno in piastre circolari. Le maggiori sollecitazioni e deflessioni. Condizioni di forza. Sforzi termici nelle piastre

Determinazione delle forze nelle membrane. Forze e tensioni della catena. Determinazione approssimativa delle deformazioni e delle tensioni nelle membrane rotonde Esempi di calcoli Esempi di calcoli (continua)

1.1 Fondamenti, ipotesi e notazioni

La teoria dell'elasticità si propone di studiare analiticamente lo stato tenso-deformativo di un corpo elastico. Le soluzioni ottenute utilizzando ipotesi di resistenza possono essere verificate utilizzando la teoria dell'elasticità

materiali e vengono stabiliti i limiti di applicabilità di queste soluzioni. A volte le sezioni della teoria dell'elasticità, in cui, come nel caso della resistenza dei materiali, viene considerata la questione dell'idoneità di una parte, ma utilizzando un apparato matematico piuttosto complesso (calcolo di piastre, gusci, schiere), vengono chiamate la teoria applicata dell’elasticità.

Questo capitolo delinea i concetti di base della teoria matematica lineare dell'elasticità. L'applicazione della matematica alla descrizione dei fenomeni fisici richiede la loro schematizzazione. Nella teoria matematica dell'elasticità, i problemi vengono risolti con il minor numero di ipotesi possibile, il che complica le tecniche matematiche utilizzate per la soluzione. La teoria lineare dell'elasticità presuppone l'esistenza di una relazione lineare tra le componenti di sollecitazione e deformazione. Per alcuni materiali (gomma, alcuni tipi di ghisa), tale dipendenza non può essere accettata anche a piccole deformazioni: il diagramma σ - ε nell'intervallo di elasticità ha lo stesso andamento sia sotto carico che durante scarico, ma in entrambi i casi è curvilineo. Quando si studiano tali materiali, è necessario utilizzare le dipendenze della teoria non lineare dell'elasticità.

IN La teoria matematica lineare dell'elasticità si basa sui seguenti presupposti:

1. Sulla continuità (continuità) dell'ambiente. In questo caso, la struttura atomica della sostanza o la presenza eventuali vuoti non vengono presi in considerazione.

2. Per quanto riguarda lo stato naturale, sulla base del quale non viene preso in considerazione lo stato iniziale di sollecitazione (deformazione) del corpo che si presentava prima dell'applicazione della forza, cioè si presume che al momento del carico del corpo, le deformazioni e le sollecitazioni in ogni punto sono pari a zero. In presenza di tensioni iniziali, questa assunzione sarà valida se alle tensioni risultanti (la somma di quelle iniziali e di quelle derivanti dalle influenze) si possono applicare solo le dipendenze della teoria lineare dell'elasticità.

3. A proposito di omogeneità, in base alla quale si presuppone che la composizione del corpo sia la stessa in tutti i punti. Se in relazione ai metalli questa ipotesi non fornisce grandi errori, in relazione al calcestruzzo quando si considerano piccoli volumi può portare a errori significativi.

4. Sull'isotropia sferica, in base alla quale si ritiene che Le proprietà meccaniche del materiale sono le stesse in tutte le direzioni. I cristalli metallici non hanno questa proprietà, ma per il metallo nel suo insieme, costituito da un gran numero di piccoli cristalli, possiamo supporre che questa ipotesi sia valida. Per materiali che hanno proprietà meccaniche diverse in direzioni diverse, come la plastica laminata, è stata sviluppata una teoria dell'elasticità dei materiali ortotropi e anisotropi.

5. Sull'elasticità ideale, in base alla quale si assume la completa scomparsa della deformazione dopo la rimozione del carico. Come è noto, la deformazione residua si verifica nei corpi reali sotto qualsiasi carico. Quindi l'ipotesi

6. Sulla relazione lineare tra le componenti delle deformazioni e tensioni.

7. Sulla piccolezza delle deformazioni, in base alla quale si assume che le relative deformazioni lineari e angolari siano piccole rispetto all'unità. Per materiali come la gomma o elementi come le molle elicoidali è stata sviluppata una teoria delle grandi deformazioni elastiche.

Quando risolviamo i problemi nella teoria dell'elasticità, usiamo il teorema sull'unicità della soluzione: se una data superficie esterna e le forze volumetriche sono in equilibrio, corrispondono ad un unico sistema di tensioni e spostamenti. La proposizione sull'unicità della soluzione è valida solo se vale l'ipotesi dello stato naturale del corpo (altrimenti sono possibili infinite soluzioni) e l'ipotesi di una relazione lineare tra deformazioni e forze esterne.

Quando si risolvono i problemi nella teoria dell'elasticità, viene spesso utilizzato il principio di Saint-Venant: Se le forze esterne applicate su una piccola area di un corpo elastico vengono sostituite da un sistema di forze staticamente equivalenti agenti sulla stessa area (aventi lo stesso vettore principale e lo stesso momento principale), allora questa sostituzione causerà solo un cambiamento nella deformazioni locali.

Nei punti sufficientemente lontani dai luoghi in cui vengono applicati i carichi esterni, le sollecitazioni dipendono poco dal metodo della loro applicazione. Il carico, che nel corso della resistenza dei materiali veniva espresso schematicamente sulla base del principio di Saint-Venant sotto forma di forza o momento concentrato, rappresenta in realtà sollecitazioni normali e tangenziali distribuite in un modo o nell'altro su una determinata area della superficie del corpo. In questo caso, la stessa forza o coppia di forze può corrispondere a diverse distribuzioni di sollecitazione. In base al principio di Saint-Venant, possiamo supporre che una variazione delle forze su una sezione della superficie di un corpo non abbia quasi alcun effetto sulle sollecitazioni in punti situati ad una distanza sufficientemente grande dal luogo in cui queste forze vengono applicate (rispetto a le dimensioni lineari della sezione caricata).

La posizione dell'area studiata, selezionata nel corpo (Fig. 1), è determinata dai coseni di direzione della normale N all'area nel sistema selezionato di assi di coordinate rettangolari x, yez.

Se P è la risultante delle forze interne che agiscono lungo un'area elementare isolata nel punto A, allora la sollecitazione totale p N in questo punto lungo un'area con N normale è definita come il limite del rapporto in

seguente modulo:

.

Il vettore p N può essere scomposto nello spazio in tre componenti reciprocamente perpendicolari.

2. Sulle componenti σ N , τ N s e τ N t nelle direzioni normali al sito (tensione normale) e due assi mutuamente perpendicolari s e t (Fig. 1,b) che giacciono nel piano del sito (tangente sottolinea). Secondo la Fig. 1, b

Se una sezione o un'area del corpo è parallela a uno dei piani delle coordinate, ad esempio y0z (Fig. 2), la normale a quest'area sarà il terzo asse delle coordinate x e le componenti della sollecitazione saranno designate σ x, τ xy e τxz.

Lo stress normale è positivo se è di trazione e negativo se è di compressione. Il segno dello sforzo di taglio viene determinato utilizzando la seguente regola: se una sollecitazione normale positiva (di trazione) lungo il sito dà una proiezione positiva, allora la tangenziale

la sollecitazione lungo la stessa zona è considerata positiva purché dia anche una proiezione positiva sull'asse corrispondente; se la sollecitazione normale di trazione dà una proiezione negativa, allora anche la sollecitazione di taglio positiva dovrebbe dare una proiezione negativa sull'asse corrispondente.

Nella fig. 3, ad esempio, tutte le componenti di tensione agenti lungo le facce di un parallelepipedo elementare coincidenti con i piani coordinati sono positive.

Per determinare lo stato tensionale in un punto di un corpo elastico è necessario conoscere la tensione totale p N su tre aree tra loro perpendicolari passanti per questo punto. Poiché ciascuna sollecitazione totale può essere scomposta in tre componenti, lo stato di sollecitazione verrà determinato se si conoscono nove componenti di sollecitazione. Questi componenti possono essere scritti come una matrice

,

chiamata matrice delle componenti del tensore dello stress in un punto.

Ogni linea orizzontale della matrice contiene tre componenti di stress che agiscono su un'area, poiché le prime icone (il nome della normale) sono le stesse. Ciascuna colonna verticale del tensore contiene tre tensioni parallele allo stesso asse, poiché le loro seconde icone (il nome dell'asse parallelo al quale agisce la tensione) sono le stesse.

1.2 Equazioni di equilibrio per un parallelepipedo elementare

e tetraedro elementare

Scegliamo un parallelepipedo elementare con dimensioni del bordo dx, dy e dz nel punto studiato A (di coordinate x, yez) di un corpo elastico sollecitato da tre coppie di piani tra loro perpendicolari (Fig. 2). Lungo ciascuna delle tre facce reciprocamente perpendicolari adiacenti al punto A (il più vicino ai piani delle coordinate), agiranno tre componenti di sollecitazione: normale e due tangenziali. Assumiamo che lungo le facce adiacenti al punto A siano positive.

Quando ci si sposta dalla faccia passante per il punto A alla faccia parallela, le tensioni cambiano e ricevono incrementi. Ad esempio, se lungo la faccia CAD passante per il punto A, le componenti tensionali σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x , y,z,), quindi lungo la faccia parallela, a causa dell'incremento di una sola coordinata x quando ci si sposta da una faccia all'altra, agirà

componenti tensionali È possibile determinare le tensioni su tutte le facce di un parallelepipedo elementare, come mostrato in Fig. 3.

Oltre alle sollecitazioni applicate alle facce di un parallelepipedo elementare, su di esso agiscono forze volumetriche: forze peso, forze inerziali. Indichiamo con X, Y e Z le proiezioni di queste forze per unità di volume sugli assi delle coordinate. Se uguagliamo a zero la somma delle proiezioni sull'asse x di tutte le forze normali, tangenziali e volumetriche,

agendo su un parallelepipedo elementare, quindi dopo aver ridotto per il prodotto dxdydz si ottiene l'equazione

.

Dopo aver compilato equazioni simili per le proiezioni delle forze sugli assi y e z, scriveremo tre equazioni differenziali per l'equilibrio di un parallelepipedo elementare, ottenute da Cauchy,

Quando le dimensioni del parallelepipedo sono ridotte a zero, esso si trasforma in un punto, e σ e τ rappresentano le componenti della sollecitazione lungo tre aree tra loro perpendicolari passanti per il punto A.

Se poniamo a zero la somma dei momenti di tutte le forze agenti su un parallelepipedo elementare relativo all'asse x c ​​parallelo all'asse x e passante per il suo baricentro, otteniamo l'equazione

oppure, tenendo conto del fatto che il secondo e il quarto termine dell'equazione di ordine superiore sono piccoli rispetto agli altri, previa riduzione di dxdydz

τ yz - τ zy = 0 oppure τ yz = τ zy.

Avendo compilato equazioni simili dei momenti relativi agli assi centrali y c e z c , otteniamo tre equazioni per la legge di accoppiamento delle tensioni tangenziali

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy, τ zx = τ xz. (1.3)

Questa legge è così formulata: le tensioni tangenziali agenti lungo aree reciprocamente perpendicolari e dirette perpendicolarmente alla linea di intersezione delle aree sono uguali in grandezza e identiche in segno.

Pertanto, delle nove componenti di sollecitazione della matrice del tensore T σ, sei sono uguali tra loro e per determinare lo stato di sollecitazione in un punto è sufficiente trovare solo le seguenti sei componenti di sollecitazione:

.

Ma le condizioni di equilibrio compilate ci hanno fornito solo tre equazioni (1.2), di cui non è possibile trovare sei incognite. Pertanto, il problema diretto di determinare lo stato tensionale in un punto è, nel caso generale, staticamente indeterminabile. Per rivelare questa indeterminazione statica, sono necessarie ulteriori dipendenze geometriche e fisiche.

Sezioniamo un parallelepipedo elementare nel punto A con un piano inclinato rispetto alle facce; lascia che la normale N a questo piano abbia direzione coseni l, me n. La figura geometrica risultante (Fig. 4) è una piramide con una base triangolare - un tetraedro elementare. Supponiamo che il punto A coincida con l'origine delle coordinate e che le tre facce reciprocamente perpendicolari del tetraedro coincidano con i piani delle coordinate.

Verranno considerate le componenti di sforzo agenti lungo queste facce del tetraedro

positivo. Sono mostrati in Fig. 4. Indichiamo con , e le proiezioni dello sforzo totale p N agente lungo la faccia inclinata del tetraedro BCD sugli assi x, yez. Indichiamo l'area della faccia inclinata BCD come dF. Quindi l'area della faccia АВС sarà dFп, l'area della faccia ACD - dFl e la faccia АДВ - dFт.

Creiamo un'equazione di equilibrio per un tetraedro proiettando sull'asse x tutte le forze che agiscono lungo le sue facce; la proiezione della forza del corpo non è inclusa nell'equazione di proiezione, quindi

in quanto rappresenta una quantità di ordine di piccolezza superiore rispetto alle proiezioni delle forze superficiali:

Avendo compilato equazioni per la proiezione delle forze che agiscono sul tetraedro sugli assi yez, otteniamo altre due equazioni simili. Di conseguenza, avremo tre equazioni di equilibrio per un tetraedro elementare

Dividiamo un corpo spaziale di forma arbitraria mediante un sistema di piani reciprocamente perpendicolari xOy, yOz e xOz (Fig. 5) in un numero di parallelepipedi elementari. Allo stesso tempo, sulla superficie del corpo si formano gli elementi elementari.

tetraedri (le sezioni curvilinee della superficie, a causa della loro piccolezza, possono essere sostituite da piani). In questo caso, p N rappresenterà il carico sulla superficie, e le equazioni (1.4) collegheranno questo carico con le tensioni σ e τ nel corpo, cioè rappresenteranno le condizioni al contorno del problema della teoria dell'elasticità. Le condizioni determinate da queste equazioni vengono chiamate condizioni sulla superficie.

È da notare che nella teoria dell'elasticità i carichi esterni sono rappresentati da sollecitazioni normali e tangenziali applicate secondo alcune leggi a zone coincidenti con la superficie del corpo.

1.3 Tensioni normali e di taglio lungo un pendio inclinato

luogo

Consideriamo un tetraedro elementare ABCD, tre delle cui facce sono parallele ai piani delle coordinate, e la normale N alla quarta faccia forma angoli con gli assi delle coordinate, i cui coseni sono uguali a l, m e n (Fig. 6 ). Assumeremo che siano date le componenti di tensione normale e tangenziale che agiscono lungo le aree che giacciono nei piani coordinati e determineremo le tensioni sull'area BCD. Scegliamo un nuovo sistema di assi di coordinate rettangolari x 1, y 1 e z 1, in modo che l'asse x 1 coincida con la normale N,

Nei capitoli 4-6 sono state derivate le equazioni di base della teoria dell'elasticità, stabilendo le leggi dei cambiamenti delle sollecitazioni e delle deformazioni in prossimità di un punto arbitrario del corpo, nonché le relazioni che collegano le sollecitazioni con le deformazioni e le deformazioni con gli spostamenti. Presentiamo il sistema completo di equazioni della teoria dell'elasticità in coordinate cartesiane.

Equazioni di equilibrio di Navier:

Relazioni di Cauchy:

Legge di Hooke (in forma diretta e inversa):

Te lo ricordiamo qui e = ex + ey + ez- deformazione volumetrica relativa, e secondo la legge di accoppiamento delle tensioni tangenziali Xj. = Tj; e di conseguenza y~ = ^ 7. Le costanti di Lame incluse nella (16.3a) sono determinate dalle formule (6.13).

Dal sistema di cui sopra è chiaro che include 15 equazioni differenziali e algebriche contenenti 15 funzioni sconosciute (6 componenti del tensore di sollecitazione, 6 componenti del tensore di deformazione e 3 componenti del vettore di spostamento).

A causa della complessità del sistema completo di equazioni, è impossibile trovare una soluzione generale che sia valida per tutti i problemi della teoria dell'elasticità incontrati nella pratica.

Esistono vari modi per ridurre il numero di equazioni se, ad esempio, si prendono come funzioni sconosciute solo le tensioni o gli spostamenti.

Se, quando risolviamo il problema della teoria dell'elasticità, escludiamo dalla considerazione gli spostamenti, allora invece delle relazioni di Cauchy (16.2) possiamo ottenere equazioni che collegano le componenti del tensore di deformazione. Differenziamo la deformazione gx, definita dalla prima uguaglianza (16.2), due volte sì, deformazione g i - due volte in x e aggiungi le espressioni risultanti. Di conseguenza otteniamo

L'espressione tra parentesi, secondo la (16.2), determina la deformazione angolare y. Pertanto, l'ultima uguaglianza può essere scritta nella forma

Allo stesso modo possiamo ottenere altre due uguaglianze che, insieme all'ultima relazione, costituiscono il primo gruppo Equazioni di compatibilità della deformazione di Saint-Venant:

Ciascuna delle uguaglianze (16.4) stabilisce una connessione tra deformazioni nello stesso piano. Dalle relazioni di Cauchy si possono ricavare anche condizioni di compatibilità che mettono in relazione deformazioni su piani diversi. Differenziamo le espressioni (16.2) per le deformazioni angolari come segue: y - by z y - di X;

Entro y; Sommiamo le prime due uguaglianze e sottraiamo la terza. Di conseguenza otteniamo

Differenziando questa uguaglianza rispetto a y e tenendo conto che,

arriviamo alla seguente relazione:

Usando la sostituzione circolare, otteniamo altre due uguaglianze che, insieme all'ultima relazione, costituiscono il secondo gruppo di equazioni per la compatibilità delle deformazioni di Saint-Venant:

Le equazioni di compatibilità della deformazione sono anche chiamate condizioni continuità O continuità. Questi termini caratterizzano il fatto che quando deformato il corpo rimane solido. Se immaginiamo un corpo costituito da singoli elementi e prendiamo le deformazioni ex, y sotto forma di funzioni arbitrarie, in uno stato deformato non sarà possibile assemblare un corpo solido da questi elementi. Se le condizioni (16.4), (16.5) sono soddisfatte, gli spostamenti dei confini dei singoli elementi saranno tali che il corpo rimarrà solido anche in uno stato deformato.

Pertanto, uno dei modi per ridurre il numero di incognite nella risoluzione dei problemi nella teoria dell'elasticità è escludere gli spostamenti dalla considerazione. Quindi, al posto delle relazioni di Cauchy, il sistema completo di equazioni includerà le equazioni di compatibilità per le deformazioni di Saint-Venant.

Considerando il sistema completo di equazioni della teoria dell'elasticità, si dovrebbe prestare attenzione al fatto che praticamente non contiene fattori che determinano lo stato di tensione-deformazione del corpo. Tali fattori includono la forma e le dimensioni del corpo, i metodi per fissarlo, i carichi che agiscono sul corpo, ad eccezione delle forze volumetriche X, Y, Z.

Pertanto, il sistema completo di equazioni della teoria dell'elasticità stabilisce solo modelli generali di cambiamenti nelle tensioni, deformazioni e spostamenti nei corpi elastici. La soluzione a un problema specifico può essere ottenuta se vengono specificate le condizioni di carico della carrozzeria. Ciò è dato dalle condizioni al contorno, che distinguono un problema nella teoria dell'elasticità da un altro.

Da un punto di vista matematico è anche chiaro che la soluzione generale di un sistema di equazioni differenziali comprende funzioni e costanti arbitrarie, che devono essere determinate a partire dalle condizioni al contorno.

Nei corpi in riposo o in movimento sotto l'influenza di carichi.

1. Il problema della teoria dell'elasticità

Il compito di questa teoria è scrivere equazioni matematiche, la cui soluzione ci consente di rispondere alle seguenti domande:

• Quali saranno le deformazioni di un particolare corpo se ad esso viene applicato un carico di una data entità in punti di carico noti?
• Quale sarà la tensione nel corpo?

La questione se il corpo collasserà o resisterà a questi carichi è strettamente correlata alla teoria dell'elasticità, ma, in senso stretto, non è di sua competenza.

Gli esempi che si possono fare sono molteplici: dalla determinazione delle deformazioni e delle sollecitazioni in una trave caricata su supporti, al calcolo degli stessi parametri nella carrozzeria di un aereo, razzo, sottomarino, nella ruota di una carrozza, nell'armatura di un carro armato quando viene colpito da un proiettile, in una catena montuosa quando si posa un ingresso, nella cornice di un grattacielo e così via.

Nel caso dei problemi di ingegneria, le sollecitazioni e le deformazioni nelle strutture vengono calcolate utilizzando teorie semplificate, logicamente basate sulla teoria dell'elasticità. Tali teorie includono: resistenza dei materiali, il cui compito è calcolare aste e travi, nonché valutare le sollecitazioni derivanti nelle zone di interazione di contatto dei corpi solidi; meccanica strutturale- calcolo dei sistemi centrali (ad esempio, ponti), e teoria delle conchiglie- un ramo indipendente e ben sviluppato della scienza della deformazione e dello stress, oggetto di ricerca sono i gusci a pareti sottili: forme cilindriche, coniche, sferiche e complesse.

2. Concetti base della teoria dell'elasticità

I concetti base della teoria dell'elasticità sono lo stress agente su piccoli piani, che possono essere tracciati mentalmente nel corpo attraverso un dato punto P, le deformazioni di un piccolo intorno del punto P e lo spostamento del punto P stesso, più precisamente, lo stress meccanico vengono introdotti il ​​tensore, il tensore di piccola deformazione e il vettore spostamento tu io. Notazione breve, dove sono gli indici io, j assumere i valori 1, 2, 3 (o x, y, z) deve essere intesa come una matrice nella forma:

La breve notazione per tensore dovrebbe essere intesa in modo simile.

Se un punto fisico del corpo M, a causa della deformazione, ha preso una nuova posizione nello spazio P", allora il vettore spostamento è un vettore con componenti (u x, u y, uz), o, in breve, tu io. Nella teoria delle piccole deformazioni i componenti tu io e sono considerate piccole quantità (in senso stretto, infinitesimali). Componenti di un tensore, chiamato anche tensore tensore di deformazione Cauchy O tensore di deformazione lineare e vettore tu io collegati da dipendenze:

Dall'ultima voce è chiaro che, pertanto, il tensore di deformazione è simmetrico per definizione.

Se un corpo elastico è in equilibrio sotto l'azione di forze esterne (cioè la velocità di tutti i suoi punti è uguale a zero), allora anche qualsiasi parte del corpo che può essere isolata mentalmente da esso è in equilibrio. Dal corpo spicca un parallelepipedo infinitesimo rettangolare i cui bordi sono paralleli ai piani coordinati del sistema cartesiano. Dalla condizione di equilibrio di un parallelepipedo avente le dimensioni degli spigoli dx, dy, dz, Considerate le condizioni per l'equilibrio delle forze nelle proiezioni, possiamo ottenere:

Allo stesso modo si ottengono equazioni di equilibrio che esprimono l'uguaglianza a zero del momento principale di tutte le forze agenti sul parallelepipedo, ridotte alla forma:

Questa uguaglianza significa che il tensore dello stress è un tensore simmetrico e il numero di componenti incognite del tensore dello stress è ridotto a 6. Ci sono solo tre equazioni di equilibrio, cioè le equazioni della statica non bastano a risolvere il problema. La soluzione è esprimere le tensioni in termini di deformazioni utilizzando le equazioni della legge di Hooke, e quindi esprimere le deformazioni in termini di spostamenti tu io utilizzando le formule di Cauchy e sostituisci il risultato nell'equazione di equilibrio. Ciò produce tre equazioni di equilibrio differenziale per tre funzioni incognite uxuyuz, quelli. il numero di incognite corrisponderà al numero di equazioni. Queste equazioni sono chiamate equazioni di Navier-Cauchy.

.

3. Condizioni al contorno

La soluzione dei problemi nella teoria dell'elasticità si riduce all'integrazione di un sistema di equazioni alle derivate parziali che determinano il comportamento di un corpo elastico nei punti interni. A queste equazioni vengono aggiunte le condizioni sulla superficie che delimita il corpo. Queste condizioni determinano le assegnazioni delle forze superficiali esterne o degli spostamenti dei punti sulla superficie del corpo. A seconda di ciò, viene solitamente formulato uno dei tre tipi di problemi ai limiti.

Primo problema dei valori al contorno- cinematico. Le componenti dello spostamento si trovano nel volume del corpo e acquisiscono determinati valori in superficie. Nello stato sulla superficie del corpo, le equazioni della superficie e i valori delle componenti degli spostamenti su di essa sono specificati in questo modo.

Secondo problema dei valori al contorno- statico. In questo caso, non vengono imposte restrizioni al movimento sulla superficie del corpo e vengono specificate le equazioni di superficie, i coseni di direzione della normale alla superficie e i valori delle componenti dei carichi superficiali.

Nel caso in cui la superficie del corpo coincide con i piani coordinati, le condizioni al contorno possono essere formulate direttamente in tensioni. Successivamente è sufficiente indicare l'equazione della superficie e impostare su di essa i valori delle componenti di sollecitazione.

Terzo problema dei valori al contorno- misto. In questo caso, su una parte della superficie corporea sono impostate condizioni cinematiche e sull'altra condizioni statiche.

Questi tre compiti non esauriscono la varietà delle condizioni al contorno. Ad esempio, su una certa superficie, non possono essere specificate tutte e tre le componenti dello spostamento o del carico superficiale.

4. Vedi anche

Fonti

• Timoshenko S.P., Goodyear J. Teoria dell'elasticità. M.: Nauka, 1979. 560 p.

Contenuto 4
Dal redattore di traduzione 10
Prefazione alla terza edizione 13
Prefazione alla seconda edizione 15
Prefazione alla prima edizione 16
Designazioni 20
Capitolo 1. Introduzione 22
§ 1. Elasticità 22
§ 2. Tensioni 23
§ 3. Designazioni delle forze e delle tensioni 24
§ 4. Componenti dello stress 25
§ 5. Componenti delle deformazioni 26
§ 6. Legge di Hooke 28
§ 7. Notazione dell'indice 32
Problemi 34
Capitolo 2. Stato tensionale piano e deformazione piana 35
§ 8. Lo stress piano era costituito da 35
§ 9. Deformazione piana 35
§ 10. Accento al punto 37
§ 11. Deformazioni al punto 42
§ 12. Misurazione delle deformazioni superficiali 44
§ 13. Costruzione del cerchio di deformazione di Mohr per la rosetta 46
§ 14. Equazioni differenziali di equilibrio 46
§ 15. Condizioni limite 47
§ 16. Equazioni di compatibilità 48
§ 17. Funzione dello stress 50
Problemi 52
Capitolo 3. Problemi bidimensionali in coordinate rettangolari 54
§ 18. Soluzione in polinomi 54
§ 19. Effetti finali. Principio di Saint-Venant 58
§ 20. Determinazione degli spostamenti 59
§ 21. Piegatura della mensola caricata all'estremità 60
§ 22. Flessione di una trave con carico uniforme 64
§ 23. Altri casi di travi con distribuzione continua dei carichi 69
§ 24. Soluzione di un problema bidimensionale utilizzando la serie 71 di Fourier
§ 25. Altre applicazioni delle serie di Fourier. Carico proprio peso 77
§ 26. L'influenza del preservativo. Funzioni proprie 78
Problemi 80
Capitolo 4. Problemi bidimensionali in coordinate polari 83
§ 27. Equazioni generali in coordinate polari 83
§ 28. Distribuzione degli sforzi a simmetria polare 86
§ 29. Piegatura pura delle travi curve 89
§ 30. Componenti delle deformazioni in coordinate polari 93
§ 31. Spostamenti a zeri di tensione simmetrici 94
§ 32. Dischi rotanti 97
§ 33. Flessione di una trave curva con una forza applicata alla fine di 100
§ 34. Dislocazioni dei bordi 105
§ 35. L'influenza di un foro rotondo sulla distribuzione delle tensioni nella piastra 106
§ 36. Forza concentrata applicata in qualche punto di un confine rettilineo 113
§ 37. Carico verticale arbitrario su un confine rettilineo 119
§ 38. Forza agente sulla punta del cuneo 125
§ 39. Momento flettente agente sulla punta del cuneo 127
§ 40. Azione su un raggio di forza concentrata 128
§ 41. Accento in un disco rotondo 137
§ 42. Forza agente in un punto su una lastra infinita 141
§ 43. Soluzione generalizzata di un problema bidimensionale in coordinate polari 146
§ 44. Applicazioni della soluzione generalizzata in coordinate polari 150
§ 45. Cuneo caricato lungo i bordi 153
§ 46. Soluzioni proprie per cunei e ritagli 155
Problemi 158
Capitolo 5. Metodi sperimentali. Metodo della fotoelasticità e metodo “moiré” 163
§ 47. Metodi sperimentali e verifica delle soluzioni teoriche 163
§ 48. Misura delle tensioni con il metodo fotoelastico 163
§ 49. Polariscopio circolare 169
§ 50. Esempi di determinazione delle tensioni con il metodo fotoelastico 171
§ 51. Determinazione delle tensioni principali 174
§ 52. Metodi di fotoelasticità nel caso tridimensionale 175
§ 53. Metodo Moiré 177
Capitolo 6. Problemi bidimensionali in coordinate curvilinee 180
§ 54. Funzioni di variabile complessa 180
§ 55. Funzioni analitiche ed equazione di Laplace 182
§ 56. Funzioni di stress espresse mediante funzioni armoniche e complesse 184
§ 57. Spostamenti corrispondenti ad una data funzione tensionale 186
§ 58. Espressione di tensioni e spostamenti mediante potenziali complessi 188
§ 59. La risultante delle tensioni agenti lungo una certa curva. Condizioni al contorno 190
§ 60. Coordinate curvilinee 193
§ 61. Componenti delle tensioni in coordinate curvilinee 196
Problemi 198
§ 62. Soluzioni in coordinate ellittiche. Foro ellittico in una piastra con stato tensionale uniforme 198
§ 63. Foro ellittico in una piastra sottoposta a tensione monoassiale 202
§ 64. Confini iperbolici. Ritagli 206
§ 65. Coordinate bipolari 208
§ 66. Soluzioni in coordinate bipolari 209
§ 67. Determinazione di potenziali complessi sulla base di condizioni al contorno date. Metodi di N. I. Muskhelishvili 214
§ 68 Formule per potenziali complessi 217
§ 69. Proprietà delle tensioni e delle deformazioni corrispondenti ai potenziali complessi analitici nella regione del materiale situata attorno al foro 219
§ 70. Teoremi per gli integrali al contorno 221
§ 71. Funzione di mappatura ω(ξ) per un foro ellittico. Secondo integrale al contorno 224
§ 72. Foro ellittico. Formula per ψ(ζ) 225
§ 73. Foro ellittico. Problemi particolari 226
Problemi 229
Capitolo 7. Analisi di sollecitazione e deformazione nel caso spaziale 230
§ 74. Introduzione 230
§ 75. Sottolinea principali 232
§ 76. Ellissoide dello stress e superficie guida dello stress 233
§ 77. Determinazione delle tensioni principali 234
§ 78. Invarianti di stress 235
§ 79. Determinazione della massima sollecitazione di taglio 236
§ 80. Deformazione omogenea 238
§ 81. Deformazioni in un punto del corpo 239
§ 82. Assi principali delle deformazioni 242
§ 83. Rotazione 243
Problemi 245
Capitolo 8. Teoremi generali 246
§ 84. Equazioni differenziali di equilibrio 246
§ 85. Condizioni di compatibilità 247
§ 86. Determinazione dei movimenti 250
§ 87. Equazioni di equilibrio negli spostamenti 251
§ 88. Soluzione generale dei movimenti 252
§ 89. Principio di sovrapposizione 253
§ 90. Energia di deformazione 254
§ 91. Energia di deformazione per una dislocazione del bordo 259
§ 92. Il principio del lavoro virtuale 261
§ 93. Teorema di Castigliano 266
§ 94. Applicazioni del principio del minimo lavoro. Piatti rettangolari 270
§ 95. Larghezza effettiva delle ali larghe delle travi 273
Problemi 279
§ 96. Unicità della soluzione 280
§ 97. Teorema di reciprocità 282
§ 98. Natura approssimata delle soluzioni per uno stato tensionale piano 285
Problemi 287
Capitolo 9. Problemi tridimensionali elementari della teoria dell'elasticità 289
§ 99. Stato tensionale omogeneo 289
§ 100. Tensione di un'asta prismatica sotto l'influenza del proprio peso 290
§ 101. Torsione degli alberi tondi a sezione costante 293
§ 102. Piegatura pura delle aste prismatiche 294
§ 103. Piegatura pura delle lastre 298
Capitolo 10. Torsione 300
§ 104. Torsione delle aste dritte 300
§ 105. Sezione ellittica 305
§ 106. Altre soluzioni elementari 307
§ 107. Analogia con la membrana 310
§ 108. Torsione di un'asta a sezione rettangolare stretta 314
§ 109. Torsione delle aste rettangolari 317
§ 110. Risultati aggiuntivi 320
§ 111. Risoluzione dei problemi di torsione utilizzando il metodo energetico 323
§ 112. Torsione delle aste dei profilati laminati 329
§ 113. Analogie sperimentali 331
§ 114. Analogie idrodinamiche 332
§ 115. Torsione degli alberi cavi 335
§ 116. Torsione dei tubi a parete sottile 339
§ 117. Lussazioni delle viti 343
§ 118. Torsione di un'asta di cui una delle sezioni rimane piatta 345
§ 119. Torsione degli alberi tondi di diametro variabile 347
Problemi 355
Capitolo 11. Piegatura delle travi 359
§ 120. Piegare la mensola 359
§ 121. Funzione dello stress 361
§ 122. Sezione circolare 363
§ 123. Sezione ellittica 364
§ 124. Sezione rettangolare 365
§ 125. Risultati aggiuntivi 371
§ 126. Sezioni trasversali asimmetriche 373
§ 127. Centro di piega 375
§ 128. Risoluzione dei problemi di piegatura utilizzando il metodo della pellicola di sapone 378
§ 129. Movimenti 381
§ 130. Ulteriori studi sulla flessione delle travi 382
Capitolo 12. Tensioni assialsimmetriche e deformazioni nei corpi di rivoluzione 384
§ 131. Equazioni generali 384
§ 132. Soluzione in polinomi 387
§ 133. Piegatura di una lastra rotonda 388
§ 134. Problema tridimensionale di un disco rotante 391
§ 135. Forza applicata in qualche punto di un corpo infinito 393
§ 136. Vaso sferico sotto l'influenza di una pressione uniforme interna o esterna 396
§ 137. Tensioni locali attorno ad una cavità sferica 399
§ 138. Forza applicata sul confine di un corpo semiinfinito 401
§ 139. Carico distribuito su parte del confine di un corpo semiinfinito 405
§ 140. Pressione tra due corpi sferici che si toccano 412
§ 141. Pressione tra due corpi in contatto. Caso più generale 417
§ 142. Collisione delle palle 422
§ 143. Deformazione simmetrica di un cilindro rotondo 424
§ 144. Cilindro rotondo sotto l'azione della pressione circostante 428
§ 145. Soluzione di Boussinesq sotto forma di due funzioni armoniche 430
§ 146. Tensione di una molla elicoidale (dislocazioni della vite nell'anello) 431
§ 147. Piegatura pura di una parte di anello circolare 434
Capitolo 13. Sollecitazioni termiche 436
§ 148. I casi più semplici di distribuzione degli stress termici. Metodo di eliminazione della deformazione 436
Problemi 442
§ 149. Variazione longitudinale della temperatura nella striscia 442
§ 150. Disco rotondo sottile: distribuzione della temperatura simmetrica rispetto al centro 445
§ 151. Cilindro tondo lungo 447
Problemi 455
§ 152. Sfera 455
§ 153. Equazioni generali 459
§ 154. Teorema di reciprocità in termoelasticità 463
§ 155. Deformazioni termoelastiche totali. Distribuzione arbitraria della temperatura 464
§ 156. Spostamenti termoelastici. Soluzione integrale di V. M. Maizel 466
Problemi 469
§ 157. Tensioni iniziali 469
§ 158. Variazione generale di volume associata alle tensioni iniziali 472
§ 159. Deformazione piana e stato tensionale piano. Metodo per eliminare le deformazioni 472
§ 160. Problemi bidimensionali con flusso di calore stazionario 474
§ 161. Stato di sollecitazione termica piana causato dalla perturbazione di un flusso di calore omogeneo da parte di un foro isolato 480
§ 162. Soluzioni di equazioni generali. Potenziale di spostamento termoelastico 481
§ 163. Problema generale bidimensionale per aree circolari 485
§ 164. Problema generale bidimensionale. Soluzione in potenziali complessi 487
Capitolo 14. Propagazione delle onde in un mezzo elastico continuo 490
§ 165. Introduzione 490
§ 166. Onde di espansione e onde di distorsione in un mezzo elastico isotropo 491
§ 167. Onde piane 492
§ 168. Onde longitudinali in aste di sezione costante. Teoria elementare 497
§ 169. Collisione longitudinale delle aste 502
§ 170. Onde superficiali di Rayleigh 510
§ 171. Onde a simmetria sferica in un mezzo infinito 513
§ 172. Pressione esplosiva in cavità sferica 514
Applicazione. Applicazione delle equazioni alle differenze finite nella teoria dell'elasticità 518
§ 1. Derivazione delle equazioni alle differenze finite 518
§ 2. Metodi delle approssimazioni successive 522
§ 3. Metodo di rilassamento 525
§ 4. Maglie triangolari ed esagonali 530
§ 5. Blocco e rilassamenti di gruppo 535
§ 6. Torsione delle aste a sezione multiplamente connessa 536
§ 7. Punti situati vicino al confine 538
§ 8. Equazione biarmonica 540
§ 9. Torsione degli alberi circolari di diametro variabile 548
§ 10. Risoluzione dei problemi utilizzando il computer 551
Indice dei nomi 553
Indice dei soggetti 558