Фракталы в природе и искусстве. Что такое фракталы. Порядок в хаосе

«Многоразличие должно обнимать многое в едином или простом» Евклид Как часто можно проследить универсальность знаний и их применения в различных отраслях жизни? Как часто примеры точных наук используются в гуманитарных сферах деятельности человека? И как часто, в конце концов, частное может быть отражением целого?

Одним из возможных примеров в качестве ответа на поставленные вопросы является такое явление как фрактал.

Фрактал - геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Ее универсальность в применении и распространении в жизни человека удивительна.

Фрактал является математическим термином, имеет сложные точные исчисления и строится на точных математических принципах, находит широкое применение в компьютерной графике и построении многих компьютерных процессов.

Сейчас, применение фрактала распространяется от математики до искусства, но самым удивительным является то, что копнув глубже, приходишь в выводу, что он отображает самые базисные эзотерические принципы устройства мироздания.

Главный Закон Мироздания - закон Голограммы или закон Фрактала формулируется следующим образом: Космос (Единство) в индивидуальной форме - это элемент (Многообразие) в глобальной форме. Элемент (Многообразие) в индивидуальной форме - это космос (Единство) в глобальной форме.

Происхождение термина

Фракталы – это структуры, состоящие из частей, которые подобны целому. В переводе с латыни, «fractus» обозначает «дроблёный, сломанный, разбитый». Другими словами, это самоподобие целого частному в рамках геометрических фигур. Существует точная наука изучения и составления фракталов – фрактазм .

Сам термин «фрактал » ввел в математику Бенуа Мальденброт в 1975 году, который и принято считать годом рождения фрактазма.

В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, отличную от топологической. И конечно, как любая другая математическая наука, фрактазм насыщен множеством сложнейших теоретических изысканий и формул.

Примечательно то, что Мальденброт не являлся первооткрывателем фракталов , он хоть и мастерски, но просто объединил и подытожил данные в систему.

Фракталы встречаются повсеместно и знакомы совершенно каждому. Об этом писал Мальденброт в своей работе «Фрактальная геометрия природы».

Самым простым примером фрактальности может послужить дерево, где каждая ветвь повторяет более крупную, которая с свою очередь повторяет само дерево. Тоже можно пронаблюдать в кровеносной системе организма, в снежинках и облаках, зимних рисунках на окнах, внешнем виде многих живых существ и т.д.

Фракталы в изобразительном искусстве

Возвращаясь к прошлому, в искусстве человечества, как и в природе, с легкостью можно найти примеры использования фракталов . Яркими работами в этой системе является рисунок Леонардо да Винчи «Всемирный потоп», гравюры японского художника Кацусики Хокусая и работы Э. Эшера также являются ярким примером фрактальности и список этот можно продолжать бесконечно.

Таким образом, проявления фрактальности вышло за рамки математической теории и нашло свою пристанище во многих сферах жизни, в том числе и ярко представлен в искусстве ХХ века. появляются новые формы искусства, основой которых является фрактальная графика .

Фрактальный экспрессионизм или фракталаж, в удивительных работах Д. Нильсена, фрактальные монотипии от Л.Лившиц, фрактальная абстракция В.Рибаса, фрактальный реализм В. Усеинова и А. Сундукова. Фрактальные картины стали неотъемлемой частью изобразительного искусства, которые участвуют в выставках по всему миру. Фрактал стал одним из популярных и востребованных явлений в пост-модернизме нашего века.

В качестве еще одного примера можно выделить работы очень молодой итальянской художницы Сильвии Кордедда, которая с помощью специальных фрактальных расчетов, создает удивительной красоты цветы, фантастические и неповторимые.

Фрактальность повсеместна

Использование фракталов на искусстве не заканчивается, они нашли невероятно большие области применения, начиная с математики и заканчивая литературой.

Широко распространена компьютерная фрактальная графика , которая используется для моделирования и построения разнообразных конструкций и макетов. Удивительно, но принципы фрактальности используются даже в бизнесе, для анализа рынков и бирж. В биологии моделируют и исследуют популяции и развитие внутренних органов.
Я спрашивал себя, как может книга быть бесконечной. В голову не приходит ничего, кроме цикличного, идущего по кругу тома, тома, в котором последняя страница повторяет первую, что и позволяет ему продолжаться сколько угодно Х.Л. Борхес Пожалуй, самым интересным и удивительным считается проявление фрактальности в литературе. Самый простой и известный пример как всегда из детства – все знают эти строки: «у попа была собака, он ее любил. Она съела кусок мяса, он ее убил. В землю закопал, надпись написал, что у попа была собака…» и так до бесконечности. Также примером является известная всем притча о бабочке Чжуан Цзы. К фрактальной литературе относят также венки сонетов и многое другое.

Как видно, фрактальность проявлена в нашем мире невероятно многогранно, имеет как практическую, так и эстетическую ценность, что само по себе, с точки зрения организации всего нашего мира, является примером.

ВНИМАНИЕ! При любом использовании материалов сайта активная ссылка на обязательна!

Эволюция фракталов

Упрощенное научное определение фрактала (от латинского fractus — «дробленый,
сломанный,разбитый») — множество, обладающее свойством самоподобия.
Этим понятием также обозначают самоподобную геометрическую фигуру,
каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении его масштаба.

Без названия Ван Фу XIV век

Фракталы давно и прочно обосновались в изобразительном искусстве, начиная с канувших
в лету цивилизаций ацтеков, инков и майя, древнеегипетской и древнеримской.
Во-первых, их достаточно сложно избежать при изображении живой природы, где
фракталоподобные формы встречаются сплошь и рядом.

Прощание на реке Шен Чжоу XV век

Одни из наиболее ранних и ярко выраженных образцов фрактальной живописи
— пейзажные традиции древнего и средневекового Китая.

Ван Мэн, Без названия

Шен Чжоу, Без названия

В 20 веке фрактальные структуры получили наибольшее распространение в направлениях
оп-арт (оптическое искусство) и имп¬-арт (от слова impossible — невозможный).
Первое из них выросло в 1950-е годы из абстракционизма, точнее говоря, отпочковалось
от геометрической абстракции. Одним из первопроходцев оп-арта был Виктор Вазарели —
французский художник с венгерскими корнями.

Клонопин

Гуива

А вот на поприще имп-арта, которое выделяют как самостоятельное течение внутри
оптического искусства,прославился нидерландский художник Мауриц Корнелис Эшер.
Он применял в создании работ приемы, основанные на математических принципах.

Бабочки

Все меньше и меньше

Эшер набил руку в изображении «невозможных фигур»: создании оптических иллюзий,
вводящих зрителей в заблуждение и заставляющих напрягаться вестибулярный аппарат.

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций - копирования и масштабирования

У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

• обладает сложной структурой при любом увеличении;
• является (приближенно) самоподобной;
• обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью , которая больше топологической;
• может быть построена рекурсивными процедурами.

На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха» .

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал - С-кривая Леви . Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов .

Другой класс - динамические (алгебраические) фракталы , к которым относится и множество Мандельброта . Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа - целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт.

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве - фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Метки: 7 285 просм.

Статья Николаевой Е.В . кандидата культурологии, доцента Московского государственного университета дизайна и технологии «ИССЛЕДОВАНИЯ ФРАКТАЛОВ В ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОМ ИСКУССТВЕ» , опубликованная на сайте Российского Государственного института искусствознания , пожалуй, одно из многих научных исследований фракталов (см. список литературы), посредством, которого автор разъясняет природу фракталов в переложении на изобразительное искусство .

Не искушённому читателю с первого раза будет трудно вникнуть в суть повествования. Хочется отметить, что наряду с великими мирового изобразительного искусства Леонардо да Винчи, Кацусика Хокусая, Маурица Эшера и других современных, зарубежных художников автор упоминает нашего соотечественника известного концептуального художника . Приведу лишь несколько фрагментов данной статьи и покажу произведения, упомянутые в статье.

«Фрактал» как концепт

По мере того, как идеи фрактальной геометрии французского математика Бенуа Мандельброта , изложенные в ряде его работ, среди которых наиболее известна «Фрактальная геометрия природы» , постепенно вышли за рамки естественно-научного дискурса, «фрактал» стал одним из наиболее популярных понятий в пост-постмодернистском исследовательском поле. Фрактальный анализ оказался полезным методологическим инструментом в гуманитарной математике: в экономике фондовых рынков, социологии, урбанистике, в т.н. математической истории, синергетических концепциях культуры, искусствометрии …

Эстетика фракталов

В качестве примеров классического «фрактального» искусства Б. Мандельброт приводил фронтиспис «Бог-геометр» французского «Библейского нравоучения в картинках» XIII века, рисунок Леонардо да Винчи «Всемирный потоп» , гравюры японского художника конца XVIII – начала XIX веков. Кацусики Хокусая «Сто видов горы Фудзияма» и работы М. Эшера (XX века) . Особое место в своем кратком искусствоведческом экскурсе, посвященном долгой предыстории фракталов, Б. Мандельброт отводит творчеству К. Хокусая, отмечая его потрясающее «чутье на фракталы» и смелость обращения к формам, которые были осознаны наукой гораздо позже. Творчество Хокусая, по мнению Мандельброта, может являться «лучшим доказательством того, что фрактальные структуры были известны человечеству с незапамятных времен, но описывались они только посредством искусства» . Знаменитая «Большая волна» (The Great Wave или The Breaking Wave off Kanagawa) (Рис.5)… С тех пор выявление и подражание фрактальности классической живописи (Рис.6) стало увлекательной научной и художественной практикой ( и др.)…

Постепенно понятие «фрактальное искусство» вышло далеко за рамки математического, алгоритмического, цифрового искусства. Концепции фрактальности обязаны своим возникновением такие новые формы живописи и медийного искусства, как фрактальный экспрессионизм или fractalage («фракталаж», аналоговая фрактальная живопись) Дерека Нильсена (Derek K. Nielsen) , фрактальные монотипии Леа Лившиц , фрактальная абстракция Виктора Рибаса , фрактальный реализм Вячеслава Усеинова (Рис. 7) и Алексея Сундукова , фрактальный супрематизм (В. Рибас, С. Головач, А. Работнов, А. Петтай и др .) (Рис. 8). . Фрактальные картины самого разного композиционного и семантического типа, созданные разными медийными и программными инструментами с разной степенью мастерства выставляются ныне на многочисленных выставочных площадках – виртуальных и реальных.

Тень несуществующего дома. В.Усеинов. 2003., х.м.

Фрактальность как количественная и качественная характеристика в изобразительном искусстве

Первым методологическим инструментом, заимствованным гуманитарными науками из фрактальной геометрии, стала фрактальная размерность. В отличие от урбанистики, в которой вычисленное значение фрактальной размерности городских территорий пока никак не конвертируется в категории художественного описания пространства, в искусствознании был найден способ создания корреляционных связей между произведением изобразительного искусства и его фрактальной размерностью. Так, согласно данным специальных экспериментов, эстетическим предпочтениям зрителей может соответствовать определенная величина фрактальной размерности живописного образа (возможно, 1,5 ). Или изменения величины фрактальной размерности могут соотноситься с разными периодами творчества художника, возрастая, к примеру, у Джексона Поллока (Рис. 9) от значения, близкого к 1 в 1943 году до 1,72 в 1954 году, что предлагается в качестве объективного основания для датировки и подтверждения подлинности его работ . Или же фрактальная размерность и ее динамика во времени может служить характеристикой целой художественной эпохи, например, раннекитайской пейзажной живописи .

Джаксон Поллак. Конвергенция -1952-1024×621

…В целом фрактальная образность анализируется с одной из двух инверсивных позиций: 1) приводятся характеристики, позволяющие отнести фрактальную компьютерную графику к категории искусства или 2) выявляются фрактальные структуры в произведениях традиционного искусства разных эпох и направлений (Д. Веласкеса, Дж. Поллока, М. Эшера, Х. Гриса, Дзж. Балла, С. Дали, Л. Уэйна, Г. Климта, Ван Гога, П. Филонова, А. Родченко и др.).

В век цифровых технологий компьютерной графикой никого не удивишь. Однако, про такое направление как фрактальная графика слышали далеко не все. Что же такое фрактальная графика? Что такое фрактал и как его нарисовать?

Принцип фрактала

Прежде чем ответить на эти вопросы, давайте немного заглянем в историю. Термин «фрактал» появился в 1975 году благодаря математику, создателю фрактальной геометрии Бенуа Мандельброту. Он внёс огромный вклад в понимание этого явления в природе и жизни. Много интересной информации на эту тему можно найти в его известной книге «Фрактальная геометрия природы».

А теперь рассмотрим что же такое фрактал? Если вкратце, то фрактал — это повторяющееся самоподобие. Происходит это слово от латинского fractus - что значит дроблёный, разбитый. То есть фигура, состоящая из частей, которые похожи на неё — и есть фрактал.

Если брать примеры из природы, то фракталами являются снежинки, извилистая линия побережья, кроны деревьев. Свойства фрактала очень хорошо демонстрирует снежинка. Мельчайшие кристаллики из которых она состоит, повторяются и образуют такие же кристаллы, но уже большего размера. То же самое можно увидеть и в деревьях. Из ветки крупного размера вырастает такая же ветка, но уже меньшего размера, а из этой ветки растет ещё меньшая веточка и т. д. То есть одинаковые по форме ветви повторяются, уменьшаясь в размерах. А это и есть фрактал — повторяющееся самоподобие.

Кстати, если мы захотим увеличить картинку с фрактальной структурой, то это будет «бегом по кругу», так как фрактал станет увеличиваться бесконечно. Мы будем видеть ту же самую картинку, несмотря на увеличение. Бесконечность при увеличении или уменьшении является удивительным свойством фракталов.

Как строится фрактал?

Чтобы нарисовать фрактал, воспользуемся треугольником Серпинского. Предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским ещё в 1915 году, этот фрактал стал широко известен и замечательно иллюстрирует принцип построения фракталов. Вот схема его построения:

В качестве основной фигуры здесь используется равносторонний треугольник. Отмечаем середину на каждой из его сторон. Затем соединяем линиями эти три точки. В результате, внутри нашего треугольника образуются ещё три треугольника, но уже меньшего размера. Далее повторяем дробление каждого из этих трёх треугольников. Получаем уже девять новых фигур, затем — двадцать семь… И так до бесконечности. И всё это множество находится внутри первоначального треугольника. Поэтому при приближении картинки в электронном виде возникает ощущение бесконечности.

Фрактальная графика

Итак, что же из себя представляет фрактальная графика? Мы неслучайно рассмотрели суть фрактала и принцип его построения, потому что на этом и основывается фрактальная графика. Чтобы создать такое графическое изображение художники используют специальные редакторы. Фрактальное изображение в них формируется из объектов-родителей и объектов-наследников и рассчитывается посредством математических формул. Поэтому графические файлы в этих программах весят немного (в отличие от растровой графики). В качестве примера редактора фрактальной графики, можно назвать ChaosPro. Это бесплатный генератор фракталов, работающий в режиме реального времени. Вот ряд интересных изображений сгенерированных в ChaosPro:

Посредством фрактальной геометрии можно генерировать поверхность воды, облака, горы. Можно с помощью нескольких коэффициентов рассчитать поверхности сложной формы. Таким способом создаются удивительные абстрактные картины, похожие на фантастический инопланетный мир. Свойства фракталов можно использовать и в технической компьютерной графике. Но если отвлечься от практического применения и сосредоточиться на красоте фрактальной графики, то разве это не фантастическое творчество, достойное быть самостоятельным направлением в изобразительном искусстве и просто радовать глаз?