4の2乗ってどういう意味ですか？ 電卓を使わずに数値をすばやく平方します。 省略された乗算公式
数値の 2 乗は、この数値の 2 乗、つまりこの数値自体を 1 回乗算する算術演算の結果です。 このような演算は次のように指定するのが通例です: Z2 (Z は数値、2 は「二乗」の次数)。 私たちの記事では、数値の二乗を計算する方法を説明します。
平方を計算する
数値が単純で小さい場合は、頭の中で行うか、誰もがよく知っている九九を使用することで簡単に計算できます。 例えば：
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81。
数値が大きい場合、または「巨大」な場合は、誰もが学校で習った平方表または電卓を使用できます。 例えば：
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321。
また、上記の 2 つの例に必要な結果を得るには、これらの数値を列に乗算します。
分数の二乗を求めるには、次のことを行う必要があります。
- 分数 (分数に整数部分があるか小数の場合) を仮分数に変換します。 分数が正しい場合は、何も変換する必要はありません。
- 分数の分母と分母を掛け、分子と分子を掛けます。
例えば：
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17)2 = (14x14)/(17x17) = 196/289。
これらのオプションのいずれにおいても、最も簡単な方法は電卓を使用することです。 これを行うには、次のものが必要です。
- キーボードで数字を入力します
- 「乗算」記号の付いたボタンをクリックします
- 等号のボタンを押します
Google などのインターネット検索エンジンをいつでも使用することもできます。 これを行うには、検索エンジンのフィールドに対応するクエリを入力するだけで、既製の結果が得られます。
たとえば、数値 9.17 の 2 乗を計算するには、検索エンジンに 9.17*9.17、または 9.17^2、または「9.17 の 2 乗」と入力する必要があります。 これらのオプションのいずれを選択しても、検索エンジンは正しい結果、84.0889 を返します。
これで、整数でも分数でも、大きいか小さいかに関係なく、興味のある任意の数値の 2 乗を計算する方法がわかりました。
乗算の公式の省略形。
乗算の略式を学習します。2 つの式の和の 2 乗と差の 2 乗。 2 つの式の二乗の差。 2 つの式の和の 3 乗と差の 3 乗。 2 つの式の 3 乗の和と差。
例題を解く際に、省略された乗算公式を適用します。
式を単純化し、多項式を因数分解し、多項式を標準形式に縮小するには、省略された乗算公式が使用されます。 略式の乗算公式を暗記する必要がある.
a、b R とします。すると、次のようになります。
1. 2 つの式の和の 2 乗は次の値に等しい最初の式の 2 乗に最初の式の積の 2 倍を加えたものと、2 番目の式に 2 番目の式の 2 乗を加えたものです。
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. 2 つの式の差の 2 乗は次の値に等しい最初の式の 2 乗から最初の式の積の 2 倍を引いたものと、2 番目の式に 2 番目の式の 2 乗を加えたものです。
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. 平方の差 2 つの式は、これらの式の差とその合計の積に等しくなります。
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. 和の立方体 2 つの式は、最初の式の 3 乗に最初の式の 2 乗の積の 3 倍を加えたもの、2 番目の式と 2 番目の式の 2 乗の積の 3 倍に 2 番目の式の 3 乗を加えたものに等しくなります。
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. 差分キューブ 2 つの式は、最初の式の 3 乗から最初の式の 2 乗の積の 3 倍を引いたものと、2 番目の式の積の 3 倍から 2 番目の式の 2 乗を引いたものに等しくなります。
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. 立方体の和 2 つの式は、最初と 2 番目の式の合計と、これらの式の差の不完全二乗の積に等しくなります。
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. 立方体の違い 2 つの式は、最初と 2 番目の式の差と、これらの式の合計の不完全二乗の積に等しい。
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
例題を解く際に、省略された乗算公式を適用します。
例1.
計算する
a) 2 つの式の和の 2 乗の公式を使用すると、次のようになります。
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) 2 つの式の差の 2 乗の公式を使用すると、次のようになります。
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
例2。
計算する
2 つの式の二乗の差の公式を使用すると、次のようになります。
例 3.
式を簡略化する
(x - y) 2 + (x + y) 2
2つの式の和の2乗と差の2乗の公式を使ってみましょう
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
1 つの表に簡略化された乗算式:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
今日は、電卓を使わずに大きな式をすばやく二乗する方法を学びます。 ここで大まかに言うと、10 から 100 までの範囲の数字を意味します。 実際の問題では大きな式は非常にまれであり、これは通常の九九であるため、10 未満の値を数える方法はすでに知っています。 今日のレッスンの内容は、初心者の生徒にはこのテクニックのスピードと有効性が理解できないため、かなり経験豊富な生徒にとって役立ちます。
まず、一般的に何について話しているのかを理解しましょう。 例として、通常のように任意の数値式を構築することを提案します。 34 としましょう。これを列と単独で乗算して求めます。
\[((34)^(2))=\time \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156)))\]
1156 は正方形 34 です。
この方法の問題は次の 2 つの点で説明できます。
1) 書面による文書が必要です。
2) 計算プロセス中に間違いを犯しやすいです。
今日は、電卓を使わずに口頭で、事実上間違いなく素早く掛け算をする方法を学びます。
それでは始めましょう。 この作業を行うには、和と差の二乗の公式が必要です。 それらを書き留めてみましょう。
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
これは私たちに何をもたらすのでしょうか？ 実際、10 から 100 までの範囲の値は、10 で割り切れる数値 $a$ と、10 で割った余りである数値 $b$ として表すことができます。
たとえば、28 は次のように表すことができます。
\[\begin(整列)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(整列)\]
残りの例も同様に示します。
\[\begin(整列)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(整列)\]
このアイデアは私たちに何を伝えますか? 実際には、合計または差を使用して、上記の計算を適用できます。 もちろん、計算を短縮するには、要素ごとに、第 2 項が最小の式を選択する必要があります。 たとえば、オプション $20+8$ と $30-2$ から、オプション $30-2$ を選択する必要があります。
残りの例でも同様にオプションを選択します。
\[\begin(整列)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(整列)\]
\[\begin(整列)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(整列)\]
速く乗算するときに、なぜ第 2 項を減らそうとする必要があるのでしょうか? すべては、和と差の二乗の最初の計算に関するものです。 実際、実際の問題を解決する場合、プラスまたはマイナスを含む項 $2ab$ を計算するのが最も困難です。 そして、10 の倍数である係数 $a$ は常に簡単に乗算できますが、1 から 10 の範囲の数である係数 $b$ では、多くの生徒が定期的に困難に直面します。
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
したがって、3 分で 8 つの例の乗算を実行しました。 これは、1 つの表現につき 25 秒未満です。 実際には、少し練習すれば、さらに速く数えられるようになります。 2 桁の式を計算するのに 5 ～ 6 秒もかかりません。
しかし、それだけではありません。 ここで紹介したテクニックが十分に高速でクールではないと思われる人のために、さらに高速な乗算方法を提案します。ただし、これはすべてのタスクに機能するわけではなく、10 の倍数と 1 だけ異なるタスクにのみ機能します。私たちのレッスンでは、そのような値は 51、21、81、39 の 4 つあります。
文字通り数行ですでにカウントされているので、はるかに高速に見えるでしょう。 しかし、実際には高速化することが可能であり、これは次のように行われます。 必要な値に最も近い、10 の倍数の値を書き留めます。 たとえば、51 を考えてみましょう。したがって、まず 50 を構築しましょう。
\[{{50}^{2}}=2500\]
10 の倍数は二乗するのがはるかに簡単です。 そして、元の式に 50 と 51 を単純に加算します。答えは同じになります。
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
1 つ異なるすべての数値についても同様です。
探している値が数えている値より大きい場合は、結果として得られる正方形に数値を加算します。 39 の場合のように、必要な数値が小さい場合は、アクションを実行するときに平方から値を引く必要があります。 電卓を使わずに練習してみましょう。
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
ご覧のとおり、すべての場合において答えは同じです。 さらに、この手法は隣接する任意の値に適用できます。 例えば：
\[\begin(整列)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(整列)\]
同時に、和と差の二乗の計算を覚えて電卓を使う必要もありません。 仕事のスピードは賞賛に値しません。 したがって、覚えて、練習し、実際に使用してください。
キーポイント
このテクニックを使用すると、10 から 100 までの自然数を簡単に掛けることができます。さらに、すべての計算は電卓や紙を使わずに口頭で実行されます。
まず、10 の倍数の値の 2 乗を覚えてください。
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400、((90)^(2))=8100。 \\\終了(整列)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\終了(整列)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729。 \\\終了(整列)\]
さらに速く数える方法
しかし、それだけではありません。 これらの式を使用すると、参照数値に「隣接する」数値を瞬時に二乗することができます。 たとえば、152 (基準値) はわかっていますが、142 (基準値より 1 つ少ない隣接する数値) を見つける必要があります。 それを書き留めてみましょう:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196。 \\\終了(整列)\]
注意してください: 神秘主義は禁止です! 1 だけ異なる数値の 2 乗は、実際には、2 つの値を減算または加算することによって参照数値自体を乗算することによって取得されます。
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961。 \\\終了(整列)\]
なぜこうなった？ 和（と差）の二乗の公式を書いてみましょう。 $n$ を基準値とします。 次に、次のように計算されます。
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- これが公式です。
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- 1 より大きい数値についても同様の式。
このテクニックによって、一か八かの数学のテストや試験で時間を節約できることを願っています。 以上です。 またね！
