Loģisko paradoksu piemēri. Loģika: loģiski paradoksi. Izmantotie informācijas avoti

Plāns:

esIevads

II.Zenona aporijas

Ahillejs un bruņurupucis

Dihotomija

III. Melu paradokss

IV. Rasela paradokss

es. Ievads.

Paradokss ir divi pretrunīgi, nesavienojami apgalvojumi, kuriem katram ir šķietami pārliecinoši argumenti. Ekstrēmākā paradoksa forma ir antinomija, argumentācija, kas pierāda divu apgalvojumu līdzvērtību, no kuriem viens ir otra noliegums.

Paradoksi ir īpaši slaveni visstingrākajās un precīzākajās zinātnēs - matemātikā un loģikā. Un tā nav nejaušība.

Loģika ir abstrakta zinātne. Tajā nav eksperimentu, nav pat faktu šī vārda parastajā nozīmē. Veidojot savas sistēmas, loģika galu galā balstās uz reālās domāšanas analīzi. Bet šīs analīzes rezultāti ir sintētiski. Tie nav apgalvojumi par atsevišķiem procesiem vai notikumiem, kas teorijai būtu jāpaskaidro. Šādu analīzi acīmredzot nevar saukt par novērojumu: vienmēr tiek novērota kāda konkrēta parādība.

Konstruējot jaunu teoriju, zinātnieks parasti sāk no faktiem, no pieredzē novērojamā. Lai cik brīva būtu viņa radošā iztēle, tai ir jāņem vērā viens neaizvietojams apstāklis: teorijai ir jēga tikai tad, ja tā atbilst faktiem, kas ar to attiecas. Teorija, kas atšķiras no faktiem un novērojumiem, ir tālejoša un tai nav vērtības.

Bet, ja loģikā nav eksperimentu, faktu un paša novērojuma, tad kas bremzē loģisko fantāziju? Kādi faktori, ja ne fakti, tiek ņemti vērā, veidojot jaunas loģiskās teorijas?

Neatbilstība starp loģisko teoriju un faktiskās domāšanas praksi bieži tiek atklāta vairāk vai mazāk akūta loģiska paradoksa veidā un dažreiz pat loģiskas antinomijas veidā, kas runā par teorijas iekšējo nekonsekvenci. Tas precīzi izskaidro paradoksiem piešķirto nozīmi loģikā un lielo uzmanību, kas tiem tiek pievērsta.

Vienu no pirmajiem un, iespējams, labākajiem paradoksiem pierakstīja Eubulīds, grieķu dzejnieks un filozofs, kurš dzīvoja Krētā 6. gadsimtā pirms mūsu ēras. e. Šajā paradoksā Krētas Epimenīds apgalvo, ka visi krētieši ir meļi. Ja viņš saka patiesību, tad viņš melo. Ja viņš melo, tad viņš runā patiesību. Kas tad ir Epimenīds - melis vai nē?

Cits grieķu filozofs Zenons no Elejas apkopoja virkni paradoksu par bezgalību - tā saukto Zenona “aporiju”.

Platona teiktais ir meli.
Sokrats

Sokrats runā tikai patiesību.
Platons

II.Zenona aporijas.

Eleatics (Elea pilsētas iedzīvotāji Itālijas dienvidos) sniedza lielu ieguldījumu telpas un laika teorijas attīstībā un kustības problēmu izpētē. Eleatics filozofija balstījās uz Parmenīda (Zeno skolotāja) izvirzīto ideju par neesamības neiespējamību. Katra doma, apgalvoja Parmenīds, vienmēr ir doma par to, kas pastāv. Tāpēc nav neesošu. Nav arī kustības, jo pasaules telpa ir pilnībā aizpildīta, kas nozīmē, ka pasaule ir viena, tajā nav nevienas daļas. Jebkurš daudzums ir jutekļu maldināšana. No tā izriet secinājums par rašanās un iznīcināšanas neiespējamību. Pēc Parmenīda domām, nekas netiek radīts vai iznīcināts. Šis filozofs bija pirmais, kurš sāka pierādīt domātāju izvirzītās pozīcijas

Eleatics pierādīja savus pieņēmumus, noliedzot pieņēmuma pretējo. Zenons gāja tālāk nekā viņa skolotājs, kas deva Aristotelim pamatu saskatīt Zenonā “dialektikas” pamatlicēju – šo terminu toreiz sauca par mākslu panākt patiesību strīdā, noskaidrojot pretrunas pretinieka spriedumos un iznīcinot šīs pretrunas.

Ahillejs un bruņurupucis. Sāksim savu apsvērumu par Zenona grūtībām ar aporiju par kustību " Ahillejs un bruņurupucis". Ahillejs ir varonis un, kā mēs tagad teiktu, izcils sportists. Ir zināms, ka bruņurupucis ir viens no lēnākajiem dzīvniekiem. Tomēr Zenons apgalvoja, ka Ahillejs zaudēs sacīkstēs pret bruņurupuci. Pieņemsim tālāk norādītos nosacījumus. Lai Ahilleju no finiša atdala 1 attālums, bet bruņurupuci — ½. Ahillejs un bruņurupucis sāk kustēties vienlaikus. Lai iegūtu skaidrību, ļaujiet Ahillam skriet 2 reizes ātrāk nekā bruņurupucis (t.i., staigājiet ļoti lēni). Pēc tam, noskrējis ½ distanci, Ahillejs atklās, ka bruņurupucis ir spējis veikt ¼ distanci tajā pašā laikā un joprojām ir priekšā varonim. Tad attēls atkārtojas: noskrējis ceturtdaļu ceļa, Ahillejs sev priekšā ieraudzīs bruņurupuci par astoto daļu utt. Līdz ar to ikreiz, kad Ahillejs pārvar attālumu, kas viņu šķir no bruņurupuča, pēdējam izdodas rāpot prom no viņam un joprojām ir priekšā. Tādējādi Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci. Kad Ahillejs uzsāk kustību, viņš to nekad nespēs pabeigt.

Tie, kas zina matemātisko analīzi, parasti norāda, ka sērija saplūst līdz 1. Tāpēc viņi saka, ka Ahillejs noteiktā laika posmā noklās visu ceļu un, protams, apsteigs bruņurupuci. Bet par to raksta D. Gilberts un P. Bernejs:

"Parasti viņi mēģina apiet šo paradoksu, apgalvojot, ka bezgalīgi daudzu šo laika intervālu summa joprojām saplūst un tādējādi dod ierobežotu laika periodu. Tomēr šī argumentācija absolūti neskar vienu pēc būtības paradoksālu punktu, proti, paradoksu, kas slēpjas apstāklī, ka viens otram seko noteikta bezgalīga notikumu secība, kuras pabeigšanu mēs pat nevaram iedomāties (ne tikai fiziski, bet vismaz princips), patiesībā joprojām būtu jāpabeidz.”

Šīs secības būtiskā nepabeigtība slēpjas faktā, ka tai trūkst pēdējā elementa. Ikreiz, kad mēs norādām nākamo secības dalībnieku, mēs varam norādīt arī nākamo pēc tā. Interesanta piezīme, kas arī norāda uz situācijas paradoksālo raksturu, atrodama G. Veilā:

“Iedomāsimies datoru, kas pirmo darbību veiktu ½ minūtē, otro ¼ minūtē, trešo ⅛ minūtē utt. Šāda iekārta līdz pirmās minūtes beigām varētu “pārrēķināt” visu dabisko sēriju ( ierakstiet, piemēram, saskaitāmu vienību skaitu). Ir skaidrs, ka darbs pie šādas mašīnas dizaina ir lemts neveiksmei. Tātad, kāpēc ķermenis, kas atstāj punktu A, sasniedz segmenta B beigas, “izskaitot” saskaitāmu punktu kopu A 1, A 2, ..., A n, ...?”

Dihotomija. Pamatojums ir ļoti vienkāršs. Lai nobrauktu visu ceļu, kustīgam ķermenim vispirms jānobrauc puse ceļa, bet, lai pārvarētu šo pusi, tam jānobrauc puse no puses utt. ad infinitum. Citiem vārdiem sakot, ar tādiem pašiem nosacījumiem kā iepriekšējā gadījumā mums būs darīšana ar apgrieztu punktu rindu: (½) n, ..., (½) 3, (½) 2, (½) 1. Ja aporijas gadījumā Ahillejs un bruņurupucis attiecīgajā sērijā nebija pēdējais punkts, tad iekšā Dihotomijasšai sērijai nav pirmā punkta. Tāpēc Zenons secina, ka kustība nevar sākties. Un tā kā kustība ne tikai nevar beigties, bet arī nevar sākties, tad kustības nav. Ir leģenda, ko A. S. Puškins atgādina savā dzejolī “Kustība”:

Nav nekādu kustību, sacīja bārdainais gudrais.

Otrs apklusa un sāka iet viņam pa priekšu.

Viņš nevarēja iebilst stingrāk;

Visi slavēja sarežģīto atbildi.

Bet, kungi, šis ir jocīgs gadījums

Vēl viens piemērs nāk prātā:

Galu galā katru dienu saule staigā mūsu priekšā,

Tomēr spītīgajam Galileo ir taisnība.

Patiešām, saskaņā ar leģendu, viens no filozofiem “iebilda” Zenonam. Zenons pavēlēja viņu sist ar nūjām: galu galā viņš negrasījās noliegt kustību maņu uztveri. Viņš runāja par viņu neiedomājami, ka stingra domāšana par kustību noved pie neatrisināmām pretrunām. Tāpēc, ja mēs vēlamies atbrīvoties no aporijas, cerot, ka tas vispār ir iespējams (un Zenons precīzi uzskatīja, ka tas nav iespējams), tad mums ir jāķeras pie teorētiskiem argumentiem, nevis jāatsaucas uz maņu pierādījumiem. Apskatīsim vienu interesantu teorētisku iebildumu, kas ir izvirzīts pret aporiju Ahillejs un bruņurupucis.

“Iedomāsimies, ka Ahillejs un divi bruņurupuči pārvietojas pa ceļu vienā virzienā, no kuriem Bruņurupucis-1 ir nedaudz tuvāk Ahilam nekā Bruņurupucis-2. Lai parādītu, ka Ahillejs nespēs apsteigt Bruņurupuci-1, mēs spriežam šādi. Laikā, kad Ahillejs noskrien distanci, kas viņus sākotnēji atdala, Bruņurupucis-1 varēs nedaudz rāpot uz priekšu; kamēr Ahillejs skrien šo jauno segmentu, viņa atkal virzīsies tālāk, un šī situācija atkārtosies bezgalīgi. Ahillejs tuvosies un tuvāk Bruņurupucis 1, taču nekad nespēs to apdzīt. Šāds secinājums, protams, ir pretrunā ar mūsu pieredzi, bet mums vēl nav loģiskas pretrunas.

Lai tomēr Ahillejs sāk panākt tālāko Bruņurupuci-2, nepievēršot uzmanību tuvākajam. Tas pats argumentācijas veids ļauj teikt, ka Ahillejs spēs pietuvoties Bruņurupuci-2, taču tas nozīmē, ka viņš apsteigs Bruņurupuci-1. Tagad mēs nonākam pie loģiskas pretrunas.

Šeit ir grūti kaut ko iebilst, ja paliekat tēlainu ideju gūstā. Ir nepieciešams apzināt lietas formālo būtību, kas ļaus diskusijai pāriet uz stingras argumentācijas galveno virzienu. Pirmo aporiju var reducēt līdz šādiem trim apgalvojumiem:

1. Neatkarīgi no segmenta ķermenim, kas pārvietojas no A uz B, jāapmeklē visi segmenta punkti.

2. Jebkuru segmentu var attēlot kā bezgalīgu segmentu secību, kuras garums samazinās....

3. Tā kā bezgalīgā secība a i (1 ≤ i< ω) не имеет последней точки, невозможно завершить движение, побывав в каждой точке этой последовательности.

Šo secinājumu var ilustrēt dažādos veidos. Slavenākā ilustrācija - "ātrākais nekad nevar panākt lēnāko" - tika apspriests iepriekš. Taču varam piedāvāt radikālāku ainu, kurā svīstošais Ahillejs (pametis punktu A) neveiksmīgi mēģina apdzīt bruņurupuci, mierīgi gozējoties Saulē (punktā B) un pat nedomājot par bēgšanu. Tas nemaina aporijas būtību. Ilustrācija tad būs daudz skaudrāks apgalvojums - "ātrākais nekad nevar panākt nekustīgo." Ja pirmā ilustrācija ir paradoksāla, tad otrā ir vēl jo vairāk.

Nezaudē to. Abonējiet un saņemiet saiti uz rakstu savā e-pastā.

Kas ir paradokss? Paradokss ir divi nesavienojami un pretēji apgalvojumi, katrs ar pārliecinošiem argumentiem savā virzienā. Visizteiktākā paradoksa forma ir antinomija – argumentācija, kas pierāda apgalvojumu līdzvērtību, no kuriem viens ir izteikts otra noliegums. Un tieši paradoksi precīzākajās un stingrākajās zinātnēs, piemēram, loģikā, ir pelnījuši īpašu uzmanību.

Loģika, kā jūs zināt, ir abstrakta zinātne. Tajā nav vietas eksperimentiem un kādiem konkrētiem faktiem parastajā izpratnē; tas vienmēr ietver reālās domāšanas analīzi. Bet loģikas teorijā un reālās domāšanas praksē joprojām pastāv nesakritības. Un visredzamākais apstiprinājums tam ir loģiski paradoksi un dažreiz pat loģiska antinomija, kas personificē pašas loģiskās teorijas nekonsekvenci. Tieši tas izskaidro loģisko paradoksu nozīmi un tiem pievērsto uzmanību loģikas zinātnē. Tālāk mēs jūs iepazīstināsim ar spilgtākajiem loģisko paradoksu piemēriem. Šī informācija noteikti būs interesanta gan tiem, kas padziļināti studē loģiku, gan tiem, kam vienkārši patīk uzzināt jaunu un interesantu informāciju.

Sāksim ar paradoksiem, ko apkopojis sengrieķu filozofs Zenons no Elejas, kurš dzīvoja 5. gadsimtā pirms mūsu ēras. Viņa paradoksi tiek saukti par "Zeno aporijām", un tiem pat ir sava interpretācija.

Zenona aporijas

Zenona aporijas ir šķietami paradoksāli argumenti par kustību un daudzveidību. Kopumā Zenona laikabiedri minēja vairāk nekā 40 viņa autorības aporijas (starp citu, vārds "aporija" no sengrieķu valodas tiek tulkots kā "grūtības"), taču tikai deviņas no tām ir saglabājušās līdz mūsdienām. Ja vēlaties, varat ar tiem iepazīties Aristoteļa, Diogena Laertija, Platona, Temistija, Filopona, Aeliusa un Simplikija darbos. Mēs sniegsim trīs slavenāko piemērus.

Ahillejs un bruņurupucis

Iedomāsimies, ka Ahillejs skrien ar ātrumu, kas desmit reizes lielāks par bruņurupuča ātrumu, un atpaliek no tā tūkstoš soļu. Kamēr Ahillejs skrien tūkstoš soļu, bruņurupucis spers tikai simts. Kamēr Ahillejs pārvarēs vēl vienu simtu, bruņurupucim būs laiks desmit utt. Un šis process turpināsies bezgalīgi un Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Dihotomija

Lai pārvarētu noteiktu ceļu, vispirms ir jāpārvar puse no tā, un, lai pārvarētu pusi, jums ir jāpārvar puse no šīs puses utt. Pamatojoties uz to, kustība nekad nesāksies.

Lidojoša bulta

Lidojoša bulta vienmēr paliek savā vietā, jo... jebkurā laika brīdī tas atrodas miera stāvoklī, un, tā kā tas atrodas miera stāvoklī jebkurā laika brīdī, tas vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šeit būtu vietā izcelt vēl vienu paradoksu.

Melu paradokss

Šī paradoksa autorība tiek piedēvēta sengrieķu priesterim un gaišreģim Epimenīdam. Paradokss izklausās šādi: “Tas, ko es šobrīd saku, ir meli”, t.i. iznāk: “Es meloju” vai “Mans apgalvojums ir nepatiess”. Tas nozīmē, ka, ja apgalvojums ir patiess, tad pēc satura tie ir meli, bet, ja apgalvojums pēc savas būtības ir nepatiess, tad tā apgalvojums ir meli. Izrādās, ka šis apgalvojums ir nepatiess. Tāpēc apgalvojums ir patiess – šis secinājums mūs ved atpakaļ uz mūsu spriešanas sākumu.

Mūsdienās melu paradokss tiek uzskatīts par vienu no Rasela paradoksa formulējumiem.

Rasela paradokss

Rasela paradoksu 1901. gadā atklāja britu filozofs Bertrāns Rasels, un vēlāk to neatkarīgi no jauna atklāja vācu matemātiķis Ernsts Zermelo (dažkārt saukts par "Rasela-Zermelo paradoksu"). Šis paradokss parāda Freges loģiskās sistēmas nekonsekvenci, kurā matemātika tiek reducēta uz loģiku. Rasela paradoksam ir vairāki formulējumi:

Visvarenības paradokss – vai visvarena būtne spēj radīt jebko, kas var ierobežot viņa visvarenību?
Teiksim, kāda bibliotēka ir izvirzījusi uzdevumu sastādīt vienu lielu bibliogrāfisko katalogu, kurā būtu jāiekļauj visi un tikai tie bibliogrāfiskie katalogi, kuros nav atsauces uz sevi. Jautājums: vai šajā direktorijā jāiekļauj saite uz to?
Piemēram, kādā valstī tika pieņemts likums, ka visu pilsētu mēriem ir aizliegts dzīvot savā pilsētā, un viņiem ir atļauts dzīvot tikai “mēru pilsētā”. Kur tad dzīvos šīs pilsētas mērs?
Barbera paradokss - ciemā ir tikai viens frizieris, un viņam ir pavēlēts noskūt visus, kas neskujas, nevis skūst tos, kas skujas. Jautājums: Kam būtu jānoskūst frizieri?

Sekojošie paradoksi ir ne mazāk interesanti un uzjautrinoši.

Burali-Forti paradokss

Pieņēmums, ka ideja par kārtas skaitļu kopas iespējamību var radīt pretrunas, kas nozīmē, ka kopu teorija, kurā ir iespējama kārtas skaitļu kopas konstruēšana, būs pretrunīgs.

Kantora paradokss

Pieņēmums, ka ir iespējama visu kopu kopa, var radīt pretrunas, kas nozīmē, ka pretrunīga būs arī teorija, saskaņā ar kuru ir iespējama šādas kopas konstruēšana.

Hilberta paradokss

Ideja, ka, ja viesnīcā ar bezgalīgu skaitu numuriņu ir aizņemti visi numuriņi, tajā tik un tā var izmitināt vairāk cilvēku, un to skaits var būt bezgalīgs. Šis paradokss izskaidro, ka loģikas likumi ir absolūti nepieņemami bezgalības īpašībām.

Montekarlo viltus secinājums

Secinājums ir tāds, ka, spēlējot ruleti, jūs varat droši likt uz sarkano, ja desmit reizes pēc kārtas parādās melns. Šis secinājums tiek uzskatīts par nepatiesu tādēļ, ka saskaņā ar varbūtības teoriju jebkura nākamā notikuma iestāšanos nekādi neietekmē notikums, kas ir pirms tā.

Einšteina-Podoļska-Rozena paradokss

Jautājums ir, vai procesi un notikumi, kas attīstās tālu viens no otra, spēj viens otru ietekmēt? Piemēram, vai supernovas dzimšana tālā galaktikā kaut kādā veidā ietekmē laika apstākļus Maskavā? Atbildi var sniegt šādi: pamatojoties uz kvantu mehānikas likumiem, šāda ietekme nav iespējama tāpēc, ka gan gaismas ātrums, gan informācijas pārraides ātrums ir galīgi lielumi, bet Visums ir bezgalīgs.

Dvīņu paradokss

Jautājums: vai dvīņu ceļotājs, kurš atgriezās no kosmosa ceļojuma ar superluminālu kosmosa kuģi, būs jaunāks par savu brāli, kurš visu šo laiku palika uz Zemes? Ja mēs izejam no relativitātes teorijas, tad uz Zemes ir pagājis vairāk laika (pēc zemes laika plūsmas) nekā kosmosa kuģī, kas lido ar superluminālo ātrumu, kas nozīmē, ka ceļotāja dvīnis būs jaunāks.

Noslepkavotā vectēva paradokss

Iedomājieties, ka jūs atgriezāties laikā un nogalinājāt savu vectēvu, pirms viņš satika jūsu vecmāmiņu. Secinājums ir tāds, ka tu nepiedzimsi un nevarēsi atgriezties laikā, lai nogalinātu savu vectēvu. Parādītais paradokss skaidri parāda neiespējamību ceļot pagātnē.

Predestinācijas paradokss

Piemēram, cilvēks attopas pagātnē, stājas dzimumattiecībās ar savu vecvecmāmiņu un ieņem viņas dēlu, t.i. viņa vectēvs. Tas izraisa pēcnācēju pēctecību, tostarp personas vecākus, kā arī pašu personu. Izrādās, ja šis cilvēks nebūtu ceļojis pagātnē, viņš vispār nekad nebūtu dzimis.

Šie ir tikai daži no loģiskajiem paradoksiem, kas mūsdienās nodarbina daudzu cilvēku prātus. Zinātkāram prātam nebūs grūti atrast vēl desmitiem līdzīgu (piemēram,). Katra no tām pētīšanai, atspēkošanai vai pierādīšanai var veltīt ievērojamu laiku un pūles. Un, visticamāk, par katru paradoksu jūs varat izdarīt savus personīgos sākotnējos secinājumus. Bet tas mums norāda, ka, neskatoties uz loģikas likumu un cēloņu-seku attiecību pārsvaru mūsu dzīvē, ne viss mūsu dzīvē ir atkarīgs no tiem. Reizēm ikviena cilvēka ikdienā rodas loģiskiem paradoksiem līdzīgas pretrunas. Jebkurā gadījumā šī ir lieliska viela pārdomām un viela pārdomām.

Starp citu, kas attiecas uz pārdomām: ir ļoti interesanta grāmata par loģisko paradoksu tēmu ar nosaukumu “Gēdels, Ešers un Bahs”. Tās autors ir amerikāņu fiziķis un datorzinātnieks Duglass Hofstadters.

Cienījamie lasītāji, būtu lieliski, ja savos komentāros jūs sniegtu vairākus jums pazīstamu loģisku paradoksu piemērus. Mūs interesēs arī jūsu viedoklis par loģikas nozīmi mūsu dzīvē - Balsojiet par kādu no zemāk minētajiem apgalvojumiem.

Nosūtiet savu labo darbu zināšanu bāzē ir vienkārši. Izmantojiet zemāk esošo veidlapu

Studenti, maģistranti, jaunie zinātnieki, kuri izmanto zināšanu bāzi savās studijās un darbā, būs jums ļoti pateicīgi.

Publicēts http://www.allbest.ru/

LOĢISKIE PARADOKSI

1. Kas ir paradokss

Plašā nozīmē paradokss ir nostāja, kas krasi atšķiras no vispārpieņemtajiem, iedibinātajiem, “pareizticīgo” viedokļiem.

Paradokss šaurākā un specializētākā nozīmē ir divi pretēji, nesavienojami apgalvojumi, kuriem katram ir šķietami pārliecinoši argumenti.

Ekstrēmākā paradoksa forma ir antinomija, argumentācija, kas pierāda divu apgalvojumu līdzvērtību, no kuriem viens ir otra noliegums.

Paradoksi ir īpaši slaveni visstingrākajās un precīzākajās zinātnēs - matemātikā un loģikā. Un tā nav nejaušība.

Loģika ir abstrakta zinātne. Tajā nav eksperimentu, nav pat faktu šī vārda parastajā nozīmē. Veidojot savas sistēmas, loģika galu galā balstās uz reālās domāšanas analīzi. Bet šīs analīzes rezultāti ir sintētiski un nediferencēti. Tie nav apgalvojumi par atsevišķiem procesiem vai notikumiem, kas teorijai būtu jāpaskaidro. Šādu analīzi acīmredzot nevar saukt par novērojumu: vienmēr tiek novērota kāda konkrēta parādība.

Bet, ja loģikā nav eksperimentu, faktu un paša novērojuma, tad kas bremzē loģisko fantāziju? Kādi faktori, ja ne fakti, tiek ņemti vērā, veidojot jaunas loģiskās teorijas?

Neatbilstība starp loģisko teoriju un faktiskās domāšanas praksi bieži tiek atklāta vairāk vai mazāk akūta loģiska paradoksa veidā un dažreiz pat loģiskas antinomijas veidā, kas runā par teorijas iekšējo nekonsekvenci. Tas izskaidro paradoksiem piešķirto nozīmi loģikā un lielo uzmanību, kas tiem tiek pievērsta.

Speciālā literatūra par paradoksu tēmu ir gandrīz neizsmeļama. Pietiek pateikt, ka tikai par vienu no tiem ir uzrakstīts vairāk nekā tūkstotis darbu - melu paradoksu.

Uz virsmas loģiski paradoksi parasti ir vienkārši un pat naivi. Bet savā viltīgajā naivumā viņi ir kā veca aka: izskatās pēc peļķes, bet dibenu nevar aizsniegt.

Liela paradoksu grupa runā par lietu loku, kuram tie paši pieder. Īpaši grūti tos atdalīt no apgalvojumiem, kas šķiet paradoksāli, bet patiesībā neizraisa pretrunu.

Ņemiet, piemēram, paziņojumu “Visiem noteikumiem ir izņēmumi”. Tas pats par sevi acīmredzami ir noteikums. Tas nozīmē, ka var atrast vismaz vienu izņēmumu. Bet tas nozīmē, ka pastāv noteikums, kuram nav neviena izņēmuma. Paziņojums satur atsauci uz sevi un noliedz sevi. Vai šeit ir kāds loģisks paradokss, slēpts viena un tā paša apstiprinājums un noliegums? Tomēr atbilde uz šo jautājumu ir pavisam vienkārša.

Varētu arī brīnīties, vai uzskats, ka katrs vispārinājums ir nepatiess, nav iekšēji pretrunīgs, jo pats uzskats ir vispārinājums. Vai padoms – nekad neko neiesaki? Vai maksima “Netici nekam!”, kas attiecas arī uz tevi pašu? Sengrieķu dzejnieks Agatons reiz atzīmēja: "Ir ļoti iespējams, ka notiek daudzas neticamas lietas." Vai dzejnieka ticamais novērojums pats par sevi neizrādās par neticamu notikumu?

2. Melu paradokss

Paradoksus ne vienmēr ir viegli nošķirt no tā, kas tiem tikai līdzinās. Vēl grūtāk ir pateikt, kur radies paradokss, jo, šķiet, visdabiskākie pieņēmumi un vairākkārt pārbaudītas spriešanas metodes mums neder.

Īpaši skaidri to parāda viens no senākajiem un, iespējams, slavenākajiem loģiskajiem paradoksiem - melu paradokss. Tas attiecas uz izteicieniem, kas runā paši par sevi. To atklāja Eubulīds no Milētas, kurš nāca klajā ar daudzām interesantām problēmām, kas joprojām izraisa strīdus. Bet tas bija melīgais paradokss, kas atnesa Eubulīdam patiesu slavu.

Šī paradoksa vienkāršākajā versijā cilvēks izrunā tikai vienu frāzi: “Es meloju”. Vai arī viņš saka: "Paziņojums, ko es tagad izsaku, ir nepatiess." Vai: "Šis apgalvojums ir nepatiess."

Ja apgalvojums ir nepatiess, tad runātājs teica patiesību un līdz ar to viņa teiktais nav meli. Ja apgalvojums nav nepatiess, bet runātājs apgalvo, ka tas ir nepatiess, tad viņa apgalvojums ir nepatiess. Tāpēc izrādās, ka, ja runātājs melo, viņš runā patiesību un otrādi.

Viduslaikos bija izplatīts šāds formulējums: “Platona teiktais ir nepatiess, saka Sokrats. "Tas, ko teica Sokrats, ir patiesība," saka Platons.

Rodas jautājums, kurš no viņiem runā patiesību un kurš melus?

Šeit ir moderns šī paradoksa pārfrāzējums. Pieņemsim, ka vienīgie vārdi, kas rakstīti kartītes priekšpusē, ir: "Šīs kartītes otrā pusē ir patiess apgalvojums." Skaidrs, ka šie vārdi veido jēgpilnu paziņojumu. Apgriežot karti, mums vai nu jāatrod, kas tika solīts, vai nē. Ja apgalvojums ir uzrakstīts aizmugurē, tad tas ir vai nu patiess, vai nepatiess. Tomēr aizmugurē ir vārdi: “Šīs kartītes otrā pusē ir uzrakstīts nepatiess paziņojums” - un nekas vairāk. Pieņemsim, ka apgalvojums priekšpusē ir patiess. Tad apgalvojumam aizmugurē ir jābūt patiesam, un tāpēc apgalvojumam priekšpusē ir jābūt nepatiesam. Bet, ja apgalvojums priekšpusē ir nepatiess, tad apgalvojumam aizmugurē ir jābūt arī nepatiesam, un tāpēc apgalvojumam priekšpusē ir jābūt patiesam. Rezultāts ir paradokss.

Melu paradokss atstāja milzīgu iespaidu uz grieķiem. Un ir viegli saprast, kāpēc. Jautājums, ko tas uzdod, pirmajā mirklī šķiet pavisam vienkāršs: vai tas melo, kurš tikai saka, ka melo? Bet atbilde “jā” noved pie atbildes “nē” un otrādi. Un pārdomas situāciju nemaz neizskaidro. Aiz jautājuma vienkāršības un pat rutīnas tas atklāj kādu neskaidru un neizmērojamu dziļumu.

Ir pat leģenda, ka kāds Filits Kosskis, cerēdams atrisināt šo paradoksu, izdarīja pašnāvību. Viņi saka, ka viens no slavenajiem sengrieķu loģiķiem Diodors Krons jau savos nīkuļos apsolīja neēst, kamēr neatradīs "meli" risinājumu, un drīz vien nomira, neko nesasniedzot.

Viduslaikos šis paradokss tika klasificēts kā viens no tā sauktajiem neizšķiramajiem teikumiem un kļuva par sistemātiskas analīzes objektu.

Jaunajos laikos “melis” ilgu laiku nepiesaistīja uzmanību. Viņi nesaskatīja nekādas, pat nelielas, valodas lietojuma grūtības. Un tikai mūsu tā sauktajos jaunajos laikos loģikas attīstība beidzot sasniedza līmeni, kad šī paradoksa problēmas kļuva iespējams formulēt stingri.

Tagad "meli" bieži sauc par "loģisko paradoksu karali". Tam ir veltīta plaša zinātniskā literatūra.

Un tomēr, tāpat kā ar daudziem citiem paradoksiem, joprojām nav līdz galam skaidrs, kādas problēmas aiz tā slēpjas un kā no tā atbrīvoties.

Tātad ir apgalvojumi, kas runā par viņu pašu patiesību vai nepatiesību. Ideja, ka šāda veida apgalvojumi nav jēgpilni, ir ļoti sena. To aizstāvēja sengrieķu loģiķis Chrysipps.

Viduslaikos angļu filozofs un loģiķis V. Okhems apgalvoja, ka apgalvojumam “Katrs apgalvojums ir nepatiess” nav nozīmes, jo tas cita starpā runā par savu nepatiesību. No šī apgalvojuma tieši izriet pretruna. Ja katrs apgalvojums ir nepatiess, tad tas attiecas uz pašu doto apgalvojumu, bet tas, ka tas ir nepatiess, nozīmē, ka ne katrs apgalvojums ir nepatiess. Līdzīga situācija ir ar apgalvojumu “Katrs apgalvojums ir patiess”. Tas arī jāklasificē kā bezjēdzīgs un arī noved pie pretrunas: ja katrs apgalvojums ir patiess, tad patiess ir pats šī apgalvojuma noliegums, tas ir, apgalvojums, ka ne katrs apgalvojums ir patiess.

Tomēr kāpēc apgalvojums nevar jēgpilni runāt par savu patiesību vai nepatiesību?

Viņa lēmumam nepiekrita jau Okama laikabiedrs, franču filozofs Dž.Buridans. No parastu priekšstatu par bezjēdzību viedokļa tādi izteicieni kā “es meloju”, “Katrs apgalvojums ir patiess (nepatiess)” ir diezgan nozīmīgi. Par ko jūs varat domāt, jūs varat runāt atklāti - tas ir vispārējais Buridana princips. Cilvēks var domāt par viņa teiktā apgalvojuma patiesumu, kas nozīmē, ka viņš var par to runāt. Ne visas pašrunas ir muļķīgas. Piemēram, apgalvojums “Šis teikums ir rakstīts krievu valodā” ir patiess, bet apgalvojums “Šajā teikumā ir desmit vārdi” ir nepatiess. Un abiem ir pilnīga jēga. Ja ir pieļaujams, ka apgalvojums var runāt par sevi, tad kāpēc tas nav spējīgs jēgpilni runāt par tādu īpašību kā patiesība?

Pats Buridans uzskatīja, ka apgalvojums “es meloju” nav bezjēdzīgs, bet gan nepatiess. Viņš to pamatoja šādi. Kad cilvēks apgalvo apgalvojumu, viņš tādējādi apgalvo, ka tas ir patiess. Ja teikums par sevi saka, ka tas pats par sevi ir nepatiess, tad tas ir tikai sarežģītāka izteiksmes saīsināts formulējums, kas apliecina gan tā patiesumu, gan nepatiesību. Šis izteiciens ir pretrunīgs un tāpēc nepatiess. ^ tas nekādā ziņā nav bezjēdzīgs.

Buridana argumentu joprojām dažreiz uzskata par pārliecinošu.

Pēc poļu loģiķa A. Tarska idejas, kas izteikta 30. gados. Pagājušajā gadsimtā melotāja paradoksa cēlonis ir tas, ka viena un tā pati valoda runā gan par pasaulē eksistējošiem objektiem, gan par pašu šo “objektu” valodu. Tarskis valodu ar šo īpašību sauca par "semantiski slēgtu". Dabiskā valoda acīmredzami ir semantiski slēgta. Līdz ar to tajā rodas paradoksa neizbēgamība. Lai to novērstu, ir jāizveido sava veida kāpnes jeb valodu hierarhija, no kurām katra tiek izmantota ļoti specifiskam mērķim: pirmajā runā par objektu pasauli, otrajā - par šo pirmo valodu, trešajā - par otro valodu utt. Skaidrs, ka šajā gadījumā apgalvojumu, kas runā par savu nepatiesību, vairs nevar formulēt un paradokss pazudīs.

Šis paradoksa risinājums, protams, nav vienīgais iespējamais. Savulaik tas bija vispārpieņemts, bet tagad agrākās vienprātības vairs nav. Tradīcija likvidēt šāda veida paradoksus, valodu “slāņojot”, saglabājas, taču ir radušās citas pieejas.

Kā redzam, ar “meli” saistītās problēmas gadsimtu gaitā ir radikāli mainījušās atkarībā no tā, vai tas tika uzskatīts par neskaidrības piemēru vai kā izteicienu, kas šķiet jēgpilns virspusē, bet būtībā ir bezjēdzīgs, vai kā piemērs. valodas un valodas apjukums.metavaloda. Un nav pārliecības, ka ar šo paradoksu nākotnē netiks saistītas citas problēmas.

Somu loģiķis un filozofs G. fon Raits par savu darbu pie “meli” raksta, ka šis paradokss nekādā gadījumā nav jāsaprot kā lokāls, izolēts šķērslis, ko var novērst ar vienu izgudrojošu domas kustību. "Melis" skar daudzas no svarīgākajām loģikas un semantikas tēmām; šī ir patiesības definīcija un pretrunu un pierādījumu interpretācija, kā arī vesela virkne būtisku atšķirību: starp teikumu un domu, ko tas pauž, starp izteiciena lietošanu un tā pieminēšanu, starp vārda nozīmi un objektu, ko tas apzīmē.

3. Trīs neatrisināmi strīdi

Vēl viens slavens paradokss ir balstīts uz nelielu atgadījumu, kas notika pirms vairāk nekā diviem tūkstošiem gadu un nav aizmirsts līdz mūsdienām.

Slavenais sofists Protagors, kurš dzīvoja 5. gs. BC, bija students vārdā Eiatls, kurš studēja jurisprudenci. Saskaņā ar viņu starpā noslēgto līgumu Evatlam bija jāmaksā par apmācību tikai tad, ja viņš uzvarēja savā pirmajā tiesā. Ja viņš zaudē šo procesu, viņam vispār nav jāmaksā. Taču pēc studiju pabeigšanas Evatls procesos nepiedalījās. Tas ilga diezgan ilgu laiku, skolotāja pacietība beidzās, un viņš iesūdzēja savu audzēkni. Tādējādi Euathlusam šis bija pirmais process; Viņš vairs nevarētu no viņa atrauties. Protagors savu prasību pamatoja šādi: “Lai kāds būtu tiesas lēmums, Euathlus man būs jāmaksā. Viņš vai nu uzvarēs šajā pirmajā tiesā, vai zaudēs. Ja viņš uzvarēs, viņš maksās saskaņā ar mūsu vienošanos. Ja viņš zaudēs, viņš samaksās saskaņā ar tiesas lēmumu.

Šķiet, ka Eiatls bija spējīgs skolnieks, jo viņš atbildēja Protagoram: “Patiesi, es vai nu uzvarēšu tiesā, vai zaudēšu. Ja es uzvarēšu, tiesas lēmums atbrīvos mani no pienākuma maksāt. Ja tiesas lēmums nav man labvēlīgs, tas nozīmē, ka es zaudēju savu pirmo lietu un nemaksāšu saskaņā ar mūsu vienošanos.

Apmulsis par šo notikumu pavērsienu, Protagors šim strīdam ar Euathlus veltīja īpašu eseju “Tiesāšanās par maksājumu”. Diemžēl tas, tāpat kā lielākā daļa no Protagora rakstītā, mūs nav sasniedzis. Tomēr mums ir jāizsaka atzinība Protagoram, kurš uzreiz sajuta problēmu aiz vienkārša tiesas incidenta, kas bija pelnījis īpašu izpēti.

Vācu filozofs G. V. Leibnics, pēc izglītības jurists, arī uztvēra šo strīdu nopietni. Savā doktora disertācijā “Pētījums par juceklīgām lietām tiesību jomā” viņš mēģināja parādīt, ka visās lietās, pat vissarežģītākajās lietās, piemēram, Protagora un Eiatla prāvā, ir jāatrod pareizais risinājums, pamatojoties uz veselo saprātu. Pēc Leibnica domām, tiesai būtu jāatsaka Protagoram par savlaicīgu prasības iesniegšanu, taču tai jāsaglabā tiesības pieprasīt naudas samaksu no Euathlus vēlāk, proti, pēc pirmās viņa uzvarētās lietas.

Ir ierosināti daudzi citi šī paradoksa risinājumi.

Tie jo īpaši norādīja uz to, ka tiesas lēmumam ir jābūt lielākam spēkam nekā privātai vienošanās starp divām personām. Uz to varam atbildēt, ka ja nebūtu šīs vienošanās, lai cik nenozīmīga tā šķistu, nebūtu ne tiesas, ne tās lēmuma. Galu galā tiesai ir jāpieņem savs lēmums tieši par to un uz tā pamata.

Viņi arī pievērsās vispārējam principam, ka par visu darbu, tātad arī par Protagora darbu, ir jāmaksā. Bet ir zināms, ka šim principam vienmēr ir bijuši izņēmumi, īpaši vergu sabiedrībā. Turklāt tas vienkārši nav attiecināms uz konkrēto strīda situāciju: galu galā Protagors, garantējot augstu apmācības līmeni, pats atteicās pieņemt samaksu, ja viņa skolēns pirmajā prāvā cieta neveiksmi.

Dažreiz viņi strīdas šādi. Gan Protagoram, gan Eiatlam ir daļēji taisnība, un kopumā nevienam no viņiem nav taisnība. Katrs no viņiem ņem vērā tikai pusi no sev izdevīgām iespējām. Pilnīga vai visaptveroša apsvēršana paver četras iespējas, no kurām tikai puse ir izdevīga kādam no strīdniekiem. Kura no šīm iespējām tiks realizēta, to izšķirs nevis loģika, bet dzīve. Ja tiesnešu spriedumam būs lielāks spēks nekā līgumam, Evatlam būs jāmaksā tikai tad, ja viņš lietu zaudēs, tas ir, pamatojoties uz tiesas lēmumu. Ja privāta vienošanās ir augstāka par tiesnešu lēmumu, Protagors saņems samaksu tikai tad, ja Euathlus zaudēs lietu, tas ir, pamatojoties uz līgumu ar Protagoru.

Šī pievilcība “dzīvei” visu pilnībā sajauc. No kā tad, ja ne pēc loģikas, tiesneši var vadīties apstākļos, kad visi būtiskie apstākļi ir pilnīgi skaidri? Un kāda tā būs “vadība”, ja Protagors, kurš prasa samaksu caur tiesu, to panāks, tikai zaudējot procesu?

Tomēr Leibnica lēmums, kas sākotnēji šķiet pārliecinošs, ir tikai nedaudz labāks padoms tiesai nekā neskaidrais "loģikas" un "dzīves" pretstats. Būtībā Leibnics ierosina ar atpakaļejošu datumu mainīt līguma formulējumu un noteikt, ka pirmajam tiesas procesam, kurā iesaistīts Euathlus un kura iznākumā tiks izlemts jautājums par samaksu, nevajadzētu būt Protagoras tiesai. Doma ir dziļa, bet nav saistīta ar konkrētu tiesu. Ja sākotnējā līgumā šāds punkts būtu bijis, nepieciešamība tiesāties vispār nebūtu radusies.

Līgumu tā sākotnējā formā un tiesas lēmumu, lai arī kāds tas būtu, nav iespējams izpildīt kopā. Lai to pierādītu, pietiek ar vienkāršiem loģikas līdzekļiem. Izmantojot šos pašus līdzekļus, var arī pierādīt, ka līgums, neskatoties uz tā pilnīgi nevainīgo izskatu, ir iekšēji pretrunīgs. Tas prasa īstenot loģiski neiespējamu priekšlikumu: Evatl vienlaicīgi ir jāmaksā par apmācību un tajā pašā laikā nemaksā.

Senajā Grieķijā ļoti populārs bija stāsts par krokodilu un māti.

“Krokodils upes krastā stāvošai sievietei izrāvis bērnu. Uz viņas lūgumu atgriezt bērnu, krokodils, kā vienmēr lējis krokodila asaru, atbildēja:

Tava nelaime mani ir skārusi, un es došu tev iespēju atgūt savu bērnu. Uzminiet, vai es jums to atdošu vai ne. Ja atbildēsiet pareizi, atdošu bērnu. Ja neuzminēsi, es to neatdošu.

Padomājusi, māte atbildēja:

Tu man bērnu nedosi.

Jūs to nesaņemsit," secināja krokodils. – Tu teici vai nu patiesību, vai melus. Ja tā ir taisnība, ka es bērnu neatdošu, es viņu neatdošu, jo pretējā gadījumā teiktais nebūs patiesība. Ja teiktais neatbilst patiesībai, tad tu neuzminēji pareizi, un pēc vienošanās es no bērna neatteikšos.

Taču mātei šis arguments nešķita pārliecinošs.

Bet, ja es teicu patiesību, tad jūs man iedosiet bērnu, kā mēs vienojāmies. Ja es nenojautu, ka tu atdosi bērnu, tad tev tas ir jāatdod man, citādi manis teiktais nebūs nepatiess.

Kuram taisnība: mātei vai krokodilam? Ko viņa dotais solījums uzliek krokodila pienākumu? Atdot bērnu, vai, gluži otrādi, neatdot?

Un abiem vienlaicīgi. Šis solījums ir iekšēji pretrunīgs un tāpēc loģikas likumu dēļ nav izpildāms.

Šo paradoksu izspēlē M. Servantesa “Dons Kihots”. Sančo Panza kļuva par Barataria salas gubernatoru un pārvalda tiesu. Pirmais, kas pie viņa nāk ciemiņš un saka: “Kungs, noteiktu īpašumu divās daļās sadala augsta ūdens upe... Pāri šai upei ir mests tilts, un turpat malā ir karātava. un ir kaut kas līdzīgs tiesai, kurā parasti sēž četri tiesneši. , un viņi spriež pēc upes, tilta un visa īpašuma īpašnieka izdotā likuma. Likums sastādīts šādi: “Ikvienam, kas iet pāri upes tiltam, ar zvērestu jāpaziņo, kur un kāpēc viņš dodas. Tie, kas runā patiesību, tiks palaisti cauri, un tie, kas melo, tiks sūtīti karātavās un bez žēlastības sodīti. Kopš šī likuma izsludināšanas daudziem cilvēkiem izdevās šķērsot tiltu, un, tiklīdz tiesneši bija pārliecināti, ka garāmgājēji runā patiesību, viņi tos palaida cauri. Bet kādu dienu kāds vīrs, zvērināts, zvērēja un teica, ka ir nācis, lai viņu pakārtu tieši šajā karātavā, un ne par ko citu. Šis zvērests samulsināja tiesnešus, un viņi teica: “Ja šim cilvēkam ļaus netraucēti turpināt, tas nozīmēs, ka viņš ir lauzis zvērestu un saskaņā ar likumu ir vainīgs nāvē; ja viņš ir pakārts, tad viņš zvērēja, ka ir nācis tikai pakārts karātavās, tāpēc viņa zvērests nav nepatiess, un, pamatojoties uz šo pašu likumu, viņš ir jālaiž cauri. Es jautāju jums, senjoru gubernator, ko tiesnešiem darīt ar šo cilvēku, jo viņi joprojām ir neizpratnē un vilcinās.

Sančo, iespējams, ne bez viltības ierosināja: lai tā puse, kas teica patiesību, tiek izlaista cauri, bet puse, kas meloja, jāpakar, un tādējādi tiks pilnībā ievēroti tilta šķērsošanas noteikumi.

Šis fragments ir interesants vairākos veidos. Pirmkārt, tā skaidri ilustrē to, ka ar paradoksā aprakstīto bezcerīgo situāciju var saskarties - un ne tīri teorētiski, bet praktiski - ja ne reāls cilvēks, tad vismaz literārais varonis.

Sančo Panzas piedāvātais risinājums, protams, nebija paradoksa risinājums. Bet tieši šāds risinājums bija vienīgais, pie kā viņa situācijā ķerties.

Savulaik Aleksandrs Lielais tā vietā, lai atraisītu viltīgo Gordija mezglu, kas nevienam nekad nebija izdevies, vienkārši to pārgrieza. Sančo darīja to pašu. Mēģinājums atrisināt mīklu pēc saviem noteikumiem bija veltīgs - tas bija vienkārši neatrisināms. Atlika tikai atmest šos nosacījumus un ieviest savējos.

Ar šo epizodi Servantess skaidri nosoda viduslaiku taisnīguma pārmērīgi formalizēto mērogu, kas caurstrāvo sholastiskās loģikas garu. Bet cik plaši viņa laikā — un tas bija apmēram pirms četrsimt gadiem — bija informācija no loģikas jomas! Šo paradoksu apzinās ne tikai pats Servantess. Rakstnieks uzskata, ka savam varonim, analfabētam zemniekam, ir iespējams piedēvēt spēju saprast, ka viņam priekšā ir neatrisināms uzdevums!

Un visbeidzot, viena no mūsdienu pārfrāzēm par strīdu starp Protagoru un Eiatlu.

Misionārs nonāca pie kanibāliem un ieradās tieši pusdienu laikā. Tie ļauj viņam izvēlēties, kādā formā viņš tiks ēst. Lai to izdarītu, viņam ir jāizrunā kāds apgalvojums ar nosacījumu: ja šis apgalvojums izrādīsies patiess, viņi viņu vārīs, un, ja tas izrādīsies nepatiess, viņi viņu apceps. Kas jums jāsaka misionāram?

Protams, viņam jāsaka: "Tu mani apcepsi." Ja viņš patiešām ir cepts, izrādīsies, ka viņš runāja patiesību, un tāpēc viņš ir jāvāra. Ja viņš ir vārīts, viņa apgalvojums būs nepatiess un viņš ir jācep. Kanibāliem nebūs izvēles: no “cepšanas” nāk “gatavot” un otrādi.

4. Daži mūsdienu paradoksi

Visnopietnāko ietekmi ne tikai uz loģiku, bet arī uz matemātiku atstāja pagājušā gadsimta angļu loģiķa un filozofa B. Rasela atklātais paradokss.

Rasels nāca klajā ar populāru sava paradoksa versiju - “frizieru paradoksu”. Pieņemsim, ka ciema padome ir noteikusi ciema friziera pienākumus šādi: noskūt visus vīriešus, kuri neskujas, un tikai šos. Vai viņam vajadzētu noskūties?

Ja tā, viņš atsauksies uz tiem, kas skūst sevi; bet tiem, kas skūst sevi, viņam nevajadzētu skūsties. Ja nē, viņš būs viens no tiem, kas paši neskujas, un tāpēc viņam būs jāskūst pašam. Tādējādi mēs nonākam pie secinājuma, ka šis frizieris pats skūst tad un tikai tad, ja pats neskujas. Tas, protams, nav iespējams.

Sākotnējā versijā Rasela paradokss attiecas uz komplektiem, tas ir, uz objektu kolekcijām, kas ir nedaudz līdzīgas viena otrai. Attiecībā uz patvaļīgu kopu var uzdot jautājumu: vai tas ir savs elements vai nē? Tādējādi zirgu daudzums nav zirgs, un tāpēc tas nav piemērots elements. Taču daudzas idejas ir ideja un satur sevi; direktoriju direktorijs atkal ir direktorijs. Visu kopu kopa ir arī savs elements, jo tā ir kopa. Sadalot visas kopas tajos, kas ir pareizi elementi, un tajos, kas nav, mēs varam jautāt: vai visu kopu, kas nav pareizi elementi, kopa satur sevi kā elementu vai nē? Atbilde tomēr izrādās atturoša: šis komplekts ir savs elements tikai tad, ja tas tāds nav.

Šis pamatojums ir balstīts uz pieņēmumu, ka pastāv visu kopu kopa, kas nav to elementi. No šī pieņēmuma izrietošā pretruna nozīmē, ka šāda kopa nevar pastāvēt. Bet kāpēc tik vienkārša un skaidra kopa nav iespējama? Kāda ir atšķirība starp iespējamām un neiespējamām kopām?

Pētnieki atbild uz šiem jautājumiem dažādos veidos. Rasela paradoksa un citu matemātiskās kopu teorijas paradoksu atklāšana noveda pie tās pamatu izšķirošas pārskatīšanas. Tas jo īpaši kalpoja par stimulu izslēgt no izskatīšanas "pārāk lielas kopas", kas līdzīgas visu kopu kopai, ierobežot noteikumus darbībai ar kopām utt. Neskatoties uz to, ka līdz šim ir ierosināts liels skaits metožu paradoksu novēršanai. no kopu teorijas, pilnīga Pagaidām nav vienošanās par to rašanās iemesliem. Attiecīgi nav viena, neapšaubāma veida, kā novērst to rašanos.

Iepriekš minētā diskusija par frizieri ir balstīta uz pieņēmumu, ka šāds bārddzinis pastāv. No tā izrietošā pretruna nozīmē, ka šis pieņēmums ir maldīgs, un nav neviena ciema iedzīvotāja, kurš noskūtu visus tos un tikai tos ciema iedzīvotājus, kuri neskujas.

Friziera pienākumi pirmajā mirklī nešķiet pretrunīgi, tāpēc secinājums, ka tā nevar pastāvēt, izklausās nedaudz negaidīti. Bet šis secinājums nav paradoksāls. Nosacījums, kas jāizpilda “ciema frizierim”, patiesībā ir iekšēji pretrunīgs un tāpēc nav izpildāms. Ciematā nevar būt tāds bārddzinis tā paša iemesla dēļ, ka tajā nav neviena cilvēka, kas būtu vecāks par viņu pašu vai kurš dzimis pirms viņa dzimšanas.

Argumentu par frizieri var saukt par pseidoparadoksu. Savā gaitā tas ir stingri līdzīgs Rasela paradoksam, un tāpēc tas ir interesants. Bet tas joprojām nav īsts paradokss.

Vēl viens tā paša pseidoparadoksa piemērs ir slavenais arguments par katalogu.

Noteikta bibliotēka nolēma sastādīt bibliogrāfisko katalogu, kurā būtu iekļauti visi tie un tikai tie bibliogrāfiskie katalogi, kuros nav saites uz viņiem pašiem. Vai šādā direktorijā ir jāiekļauj saite uz sevi?

Nav grūti parādīt, ka ideja par šāda direktorija izveidi nav īstenojama: tas vienkārši nevar pastāvēt, jo tajā vienlaikus ir jāiekļauj saite uz sevi, nevis jāiekļauj tā.

Interesanti atzīmēt, ka visu direktoriju, kas nesatur atsauces uz sevi, kataloģizēšanu var uzskatīt par nebeidzamu, nebeidzamu procesu.

Pieņemsim, ka kādā brīdī tika kompilēts direktorijs, piemēram, K1, iekļaujot visus direktorijus, kas atšķiras no tā un nesatur saites uz sevi. Izveidojot K1, parādījās vēl viens direktorijs, kurā nebija saites uz sevi. Tā kā problēma ir izveidot pilnu katalogu no visiem katalogiem, kuri paši par sevi nav pieminēti, ir skaidrs, ka K1 nav risinājums. Viņš nepiemin vienu no šiem direktorijiem – sevi. Iekļaujot šo viņa pieminēšanu K1, mēs iegūstam katalogu K2. Tajā minēts K1, bet ne pats K2. Pievienojot šādu pieminējumu K2, mēs iegūstam KZ, kas atkal ir nepilnīgs, jo tajā nav minēts pats. Un tā bezgalīgi.

Interesantu loģisko paradoksu atklāja vācu loģiķi K. Grelings un L. Nelsons (Grelinga paradokss). Šo paradoksu var formulēt ļoti vienkārši.

Šis īpašības vārdu sadalījums divās grupās šķiet skaidrs un neapšaubāms. To var attiecināt uz lietvārdiem: “vārds” ir vārds, “lietvārds” ir lietvārds, bet “pulkstenis” nav pulkstenis un “darbības vārds” nav darbības vārds.

Paradokss rodas, tiklīdz tiek uzdots jautājums: kurai no abām grupām pieder pats īpašības vārds “heteroloģiskais”? Ja tas ir autologs, tam ir īpašība, ko tas apzīmē, un tam ir jābūt heterologam. Ja tas ir heteroloģisks, tam nav īpašību, ko tā sauc, un tāpēc tai ir jābūt autoloģiskai. Ir paradokss.

Izrādījās, ka Grelinga paradokss jau viduslaikos bija pazīstams kā izteiciena, kas sevi nenosauc, antinomija.

Vēl vienu, šķietami vienkāršu antinomiju pagājušā gadsimta pašā sākumā norādīja D. Berijs.

Naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga. Šo skaitļu nosaukumu kopa, kas ir, piemēram, krievu valodā un satur mazāk par, teiksim, simts vārdu, ir ierobežota. Tas nozīmē, ka ir naturāli skaitļi, kuriem krievu valodā nav nosaukumu, kas sastāv no mazāk nekā simts vārdiem. Starp šiem skaitļiem acīmredzami ir mazākais skaitlis. To nevar nosaukt, izmantojot krievu valodas izteicienu, kas satur mazāk nekā simts vārdu. Bet izteiciens: "Mazākais dabiskais skaitlis, kuram krievu valodā nav salikta nosaukuma, kas sastāv no mazāk nekā simts vārdiem" ir tieši šī skaitļa nosaukums! Šis nosaukums ir tikko formulēts krievu valodā un satur tikai deviņpadsmit vārdus. Acīmredzams paradokss: nosauktais numurs izrādījās tas, kuram nav vārda!

5. Ko saka paradoksi?

paradokss melis loģikas arguments

Apskatītie paradoksi ir tikai daļa no visiem līdz šim atklātajiem. Visticamāk, ka nākotnē tiks atklāti daudzi citi un pat pilnīgi jauni veidi. Pats paradoksa jēdziens nav tik definēts, lai būtu iespējams sastādīt vismaz jau zināmo paradoksu sarakstu.

Loģiskie paradoksi nav strikti nodalīti no visiem pārējiem paradoksiem, tāpat kā pēdējie nav skaidri nošķirti no visa, kas nav paradoksāls un atbilst valdošajiem priekšstatiem.

Loģisko paradoksu izpētes sākumā šķita, ka tos var identificēt, pārkāpjot kādu, vēl neizpētītu loģikas noteikumu. Rasela ieviestais “apburtā loka princips” īpaši aktīvi pretendēja uz šāda noteikuma lomu. Šis princips nosaka, ka objektu kolekcija nevar saturēt elementus, kurus var definēt tikai šī pati kolekcija.

Visiem paradoksiem ir viena kopīga īpašība – pašpiemērojamība jeb cirkularitāte. Katrā no tiem attiecīgo objektu raksturo noteikta objektu kopa, pie kuras tas pats pieder. Ja mēs izceļam, piemēram, cilvēku kā visviltīgāko klasē, mēs to darām ar cilvēku kopuma palīdzību, pie kuriem šī persona pieder (izmantojot “viņa klasi”). Un, ja mēs sakām: “Šis apgalvojums ir nepatiess”, mēs raksturojam attiecīgo apgalvojumu, atsaucoties uz visu nepatieso apgalvojumu kopumu, kurā tas ir ietverts.

Visos paradoksos pastāv pašpielietojamība, kas nozīmē, ka notiek it kā kustība pa apli, kas galu galā noved pie sākuma punkta. Cenšoties raksturot mūs interesējošo objektu, mēs pievēršamies objektu kopumam, kas to ietver. Taču izrādās, ka tam pašam konkrētajam objektam ir vajadzīgs attiecīgais objekts un bez tā nav skaidri saprotams. Šajā lokā, iespējams, slēpjas paradoksu avots.

Situāciju gan sarežģī fakts, ka šāds loks parādās arī daudzos gluži neparadoksālos argumentos. Circular ir milzīgs klāsts no visizplatītākajiem, nekaitīgākajiem un tajā pašā laikā ērtākajiem izteiksmes veidiem. Piemēri, piemēram, "lielākā no visām pilsētām", "mazākais no visiem naturālajiem skaitļiem", "viens no dzelzs atoma elektroniem" utt., parāda, ka ne katrs pašpiemērojamības gadījums izraisa pretrunas un ka tā tiek plaši lietots ne tikai parastajā valodā, bet arī zinātnes valodā.

Tāpēc tikai atsauce uz pašpiemērojamu jēdzienu izmantošanu nav pietiekama, lai diskreditētu paradoksus. Ir vajadzīgi daži papildu kritēriji, lai nošķirtu pašpiemērojamību, radot paradoksu, no visiem citiem tās gadījumiem.

Šajā sakarā bija daudz priekšlikumu, taču nekad netika atrasts sekmīgs cirkulāra™ skaidrojums. Izrādījās, ka cirkularitāti nav iespējams raksturot tā, ka katrs cirkulārais spriešana noved pie paradoksa un katrs paradokss ir kāda cirkulāra spriešanas rezultāts.

Mēģinājums atrast kādu konkrētu loģikas principu, kura pārkāpšana būtu visu loģisko paradoksu atšķirīga iezīme, ne pie kā noteikta nenoveda.

Neapšaubāmi, noderētu kāda paradoksu klasifikācija, sadalot tos tipos un tipos, sagrupējot dažus paradoksus un pretstatējot citiem. Tomēr arī šajā jautājumā nekas paliekošs netika panākts.

Paradokss ne vienmēr parādās tik caurspīdīgā formā kā, teiksim, melu paradoksa vai Rasela paradoksa gadījumā. Dažreiz paradokss izrādās unikāls problēmas izvirzīšanas veids, saistībā ar kuru ir grūti pat izlemt, kas tieši ir problēma. Domājot par šādām problēmām, parasti netiek pie kāda konkrēta rezultāta. Bet tas neapšaubāmi ir noderīgs kā loģiskā apmācība.

Sengrieķu filozofs Gorgiass uzrakstīja eseju ar intriģējošu nosaukumu “Par neesošo jeb par dabu”.

Gorgiasa arguments par dabas neesamību izvēršas šādi. Vispirms tiek pierādīts, ka nekas neeksistē. Tiklīdz pierādījums ir pabeigts, it kā tiek sperts solis atpakaļ un tiek pieņemts, ka kaut kas joprojām pastāv. No šī pieņēmuma izriet, ka esošais cilvēkam nav saprotams. Atkal tiek sperts solis atpakaļ un pretēji tam, kas šķiet jau pierādīts, tiek pieņemts, ka esošais joprojām ir saprotams. No pēdējā pieņēmuma izriet, ka tas, kas ir saprotams, ir neizsakāms un neizskaidrojams citam.

Kādas tieši bija problēmas, kuras Gorgias gribēja radīt? Uz šo jautājumu nav iespējams viennozīmīgi atbildēt. Acīmredzami, ka Gorgiasa argumentācija mūs konfrontē ar pretrunām un mudina meklēt izeju, kā no tām atbrīvoties. Taču, kas īsti ir tās problēmas, uz kurām norāda pretrunas, un kādā virzienā meklēt to risinājumu, ir pilnīgi neskaidrs.

Par seno ķīniešu filozofu Hui Ši ir zināms, ka viņš bija ļoti daudzpusīgs, un viņa raksti varēja piepildīt piecus ratus. Viņš īpaši iebilda: “Tas, kam nav biezuma, nevar tikt uzkrāts, un tomēr tā masa var izstiepties tūkstoš jūdžu garumā. - Debesis un zeme ir vienlīdz zemas; kalni un purvi ir vienādi līdzeni. - Saule, tikko sasniegusi savu zenītu, jau ir saulrietā; lieta, kas tikko piedzima, jau mirst. - Pasaules dienvidu pusei nav robežu un tajā pašā laikā ir robeža. "Es tikko šodien devos uz Yue, bet es tur ierados jau sen."

Pats Hui Ši savus teicienus uzskatīja par lieliskiem un atklājot pasaules slēptāko jēgu. Kritiķi uzskatīja, ka viņa mācība ir pretrunīga un mulsinoša, un paziņoja, ka "viņa neobjektīvie vārdi nekad nav trāpījuši mērķī". Jo īpaši senajā filozofiskajā traktātā “Džuang Tzu” teikts: “Žēl, ka Hui Ši neapdomīgi izniekoja savu talantu nevajadzīgām lietām un nesasniedza patiesības avotus! Viņš meklēja lietu tumsas ārējo pusi un nevarēja atgriezties pie to visdziļākā sākuma. Tas ir tāpat kā mēģināt izbēgt no atbalss, izdodot skaņas, vai mēģināt steigties prom no savas ēnas. Vai nav skumji?

Labi teikts, bet diez vai godīgi.

Apjukuma un nekonsekvences iespaids Hui Ši teicienos ir saistīts ar lietas ārējo pusi, ar to, ka viņš savas problēmas izvirza paradoksālā formā. Viņam varētu pārmest, ka viņš kaut kādu iemeslu dēļ uzskata problēmas radīšanu par tās risinājumu.

Tāpat kā ar daudziem citiem paradoksiem, ir grūti droši pateikt, kādi konkrēti jautājumi slēpjas aiz Hui Ši aforismiem.

Par kādām intelektuālām grūtībām liecina viņa teiktais, ka cilvēks, kurš tikko kaut kur devies ceļā, jau sen tur ir ieradies? To var interpretēt tā, ka pirms došanās uz noteiktu vietu ir jāiztēlojas šī vieta un līdz ar to tā it kā jāapmeklē. Cilvēks, kurš, tāpat kā Hui Ši, dodas uz Jue, pastāvīgi patur šo punktu prātā un visu laiku, kamēr virzās uz to, šķiet, paliek tajā. Bet, ja cilvēks, kurš tikko devās uz Yue, jau ir bijis tur jau ilgu laiku, tad kāpēc viņam tur vispār vajadzētu doties? Nav līdz galam skaidrs, kādas grūtības slēpjas aiz šī vienkāršā apgalvojuma.

Kādi secinājumi loģikai izriet no paradoksu esamības?

Pirmkārt, liela skaita paradoksu klātbūtne runā par loģikas kā zinātnes spēku, nevis par tās vājumu, kā varētu šķist. Nav nejaušība, ka paradoksu atklāšana sakrita ar mūsdienu loģikas intensīvākās attīstības un tās lielākajiem panākumiem periodu.

Pirmie paradoksi tika atklāti vēl pirms loģikas kā īpašas zinātnes rašanās. Viduslaikos tika atklāti daudzi paradoksi. Tomēr vēlāk tie tika aizmirsti un pagājušajā gadsimtā tika atklāti no jauna.

Tikai mūsdienu loģika ir izvedusi no aizmirstības pašu paradoksu problēmu un atklājusi vai no jauna atklājusi lielāko daļu specifisko loģisko paradoksu. Viņa arī parādīja, ka tradicionāli loģikas pētītās domāšanas metodes ir pilnīgi nepietiekamas, lai novērstu paradoksus, un norādīja uz principiāli jaunām metodēm to risināšanai.

Paradoksi uzdod svarīgu jautājumu: kur patiesībā mūs pieviļ dažas konvencionālās koncepcijas veidošanas metodes un spriešanas metodes? Galu galā tie šķita pilnīgi dabiski un pārliecinoši, līdz izrādījās, ka tie ir paradoksāli.

Paradoksi grauj pārliecību, ka parastās teorētiskās domāšanas metodes pašas par sevi un bez īpašas kontroles pār tām nodrošina drošu virzību uz patiesību.

Pieprasot radikālas izmaiņas pārāk lētticīgā pieejā teoretizēšanai, paradoksi atspoguļo asu loģikas kritiku tās naivajā, intuitīvajā formā. Viņiem ir faktora loma, kas kontrolē un nosaka ierobežojumus deduktīvo loģikas sistēmu veidošanai. Un šo viņu lomu var salīdzināt ar eksperimenta lomu, kas pārbauda hipotēžu pareizību tādās zinātnēs kā fizika un ķīmija un liek veikt izmaiņas šajās hipotēzēs.

Paradokss teorijā runā par tās pamatā esošo pieņēmumu nesaderību. Tas darbojas kā savlaicīgi atklāts slimības simptoms, bez kura to varēja neievērot.

Protams, slimība izpaužas visdažādākajos veidos, un galu galā tā var atklāties bez tādiem akūtiem simptomiem kā paradoksi. Teiksim, kopu teorijas pamati būtu analizēti un noskaidroti, pat ja šajā jomā nebūtu atklāti paradoksi. Taču nebūtu bijis tik asuma un steidzamības, ar kādu tajā atklātie paradoksi radīja kopu teorijas pārskatīšanas problēmu.

Ir jāņem vērā viena būtiska atšķirība. Paradoksu likvidēšana un to atrisināšana nav viens un tas pats. Izslēgt no teorijas paradoksu nozīmē to rekonstruēt tā, lai paradoksālais apgalvojums tajā izrādītos nepierādāms. Katrs paradokss balstās uz lielu skaitu definīciju un pieņēmumu. Viņa secinājums teorētiski atspoguļo noteiktu spriešanas ķēdi. Formāli runājot, jūs varat apšaubīt jebkuru tās saiti, novērst tās un tādējādi pārraut ķēdi un novērst paradoksu. Daudzos darbos tas tiek darīts un aprobežojas ar to.

Bet tas vēl nav paradoksa risinājums. Nepietiek atrast veidu, kā to izslēgt, ir pārliecinoši jāpamato piedāvātais risinājums. Pašām šaubām par jebkuru soli, kas ved uz paradoksu, ir jābūt labi pamatotām.

Pirmkārt, lēmums atteikties no jebkādiem loģiskiem līdzekļiem, ko izmanto paradoksāla apgalvojuma atvasināšanā, ir jāsaista ar mūsu vispārējiem apsvērumiem par loģiskā pierādījuma būtību un citām loģiskām intuīcijām. Ja tas tā nav, paradoksa novēršana izrādās bez stingra un stabila pamata un pārvēršas par primāri tehnisku uzdevumu.

Turklāt pieņēmuma noraidīšana, pat ja tas nodrošina konkrēta paradoksa novēršanu, automātiski negarantē visu paradoksu novēršanu. Tas liek domāt, ka paradoksus nevajadzētu “medīt” atsevišķi. Viena no tām izslēgšanai vienmēr jābūt tik pamatotai, lai būtu zināma garantija, ka ar tādu pašu soli tiks novērsti arī citi paradoksi.

Un visbeidzot, nepārdomāta un nevērīga pārāk daudzu vai pārāk spēcīgu pieņēmumu noraidīšana var vienkārši novest pie tā, ka rezultāts, lai arī nesatur paradoksus, ir ievērojami vājāka teorija, kurai ir tikai privātas intereses.

G. Frege, kurš ir viens no mūsdienu loģikas pamatlicējiem, bija ļoti slikts raksturs. Turklāt viņš bez nosacījumiem un pat nežēlīgi kritizēja savus laikabiedrus. Varbūt tāpēc viņa ieguldījums loģikā un matemātikas pamatos ilgu laiku netika atzīts. Un, kad tas sāka nākt, jaunais angļu loģiķis Rasels viņam rakstīja, ka viņa vissvarīgākās grāmatas "Aritmētikas pamatlikumi" pirmajā sējumā publicētajā sistēmā radās pretruna. Šīs grāmatas otrais sējums jau bija iespiests, taču Frege tam pievienoja īpašu pielikumu, kurā viņš iezīmēja šo pretrunu (Rasela paradoksu) un atzina, ka nespēj to novērst.

Sekas Fregei bija traģiskas. Toreiz viņam bija tikai piecdesmit pieci gadi, taču pēc pārdzīvotā šoka viņš nepublicēja citu nozīmīgu darbu par loģiku, lai gan nodzīvoja vairāk nekā divdesmit gadus. Viņš pat nereaģēja uz dzīvīgo diskusiju, ko izraisīja Rasela paradokss, un nekādi nereaģēja uz daudzajiem piedāvātajiem šī paradoksa risinājumiem.

Iespaidu, ko uz matemātiķiem un loģiķiem atstājuši jaunatklātie paradoksi, labi izteica izcilais matemātiķis D. Hilberts: “...Stāvoklis, kādā mēs šobrīd esam attiecībā uz paradoksiem, ilgstoši ir nepanesams. Padomājiet: matemātikā - šis ticamības un patiesības piemērs - jēdzienu veidošanās un secinājumu gaita, jo visi tos pēta, māca un pielieto, noved pie absurda. Kur meklēt uzticamību un patiesību, ja pat pati matemātiskā domāšana neizdodas?

Frege bija tipisks 19. gadsimta beigu loģikas pārstāvis, brīvs no jebkādiem paradoksiem, loģikas, pārliecināts par savām spējām un pretendēja uz stingrības kritēriju pat matemātikai. Paradoksi parādīja, ka šķietamās loģikas panāktā “absolūtā stingrība” nebija nekas vairāk kā ilūzija. Viņi neapstrīdami parādīja, ka loģikai — tajā intuitīvajā formā, kāda tai bija toreiz — ir nepieciešama dziļa pārskatīšana.

Ir pagājis vesels gadsimts, kopš sākās dzīva diskusija par paradoksiem. Mēģinājums pārskatīt loģiku tomēr neļāva tos viennozīmīgi atrisināt.

Un tajā pašā laikā šāds stāvoklis diez vai tagad kādam šķiet nepanesams. Laika gaitā attieksme pret paradoksiem kļuva mierīgāka un pat iecietīgāka nekā to atklāšanas brīdī.

Lieta ir ne tikai tajā, ka paradoksi ir kļuvuši par kaut ko nepatīkamu, bet tomēr pazīstamu. Un, protams, ne tā, ka viņi būtu ar tiem samierinājušies. Tie joprojām ir loģiķu uzmanības lokā, un to risinājumu meklēšana turpinās aktīvi.

Situācija ir mainījusies galvenokārt tādā ziņā, ka paradoksi ir kļuvuši, tā sakot, lokalizēti. Viņi ir atraduši savu noteiktu, lai arī nemierīgo, vietu plašajā loģisko pētījumu spektrā.

Kļuva skaidrs, ka absolūtā bardzība, kā tas tika attēlots pagājušā gadsimta beigās un pat dažreiz šī sākumā, principā ir nesasniedzams ideāls.

Tika arī saprasts, ka nav vienas paradoksu problēmas, kas pastāvētu atsevišķi. Ar tām saistītās problēmas pieder pie dažādiem veidiem un būtībā ietekmē visas galvenās loģikas sadaļas. Paradoksa atklāšana liek mums dziļi analizēt mūsu loģiskās intuīcijas un iesaistīties loģikas zinātnes pamatu sistemātiskā pārstrādē. Tajā pašā laikā vēlme izvairīties no paradoksiem nav ne vienīgais, ne, iespējams, galvenais uzdevums. Lai gan tie ir svarīgi, tie ir tikai iemesls, lai domātu par loģikas centrālajām tēmām. Turpinot paradoksu salīdzinājumu ar īpaši izteiktiem slimības simptomiem, varam teikt, ka vēlme nekavējoties novērst paradoksus būtu līdzīga vēlmei novērst šādus simptomus, īpaši nerūpējoties par pašu slimību. Nepieciešama ne tikai paradoksu atrisināšana, tie ir jāizskaidro, padziļinot izpratni par domāšanas loģiskajiem likumiem.

Paradoksu apcerēšana, bez šaubām, ir viens no labākajiem mūsu loģisko spēju pārbaudēm un viens no efektīvākajiem līdzekļiem to trenēšanai.

Paradoksu iepazīšana un aiz tiem esošo problēmu būtība nav viegls uzdevums. Tas prasa maksimālu koncentrēšanos un intensīvu pārdomāšanu vairākos šķietami vienkāršos apgalvojumos. Tikai ar šo nosacījumu var saprast paradoksu. Grūti pretendēt uz jaunu loģisko paradoksu risinājumu izgudrošanu, taču jau iepazīšanās ar piedāvātajiem risinājumiem ir laba praktiskās loģikas skola.

Ievietots vietnē Allbest.ru

Līdzīgi dokumenti

Saikne starp paradoksa, antinomijas, pretrunīguma jēdzieniem un pretrunas jēdzienu. Izziņas dialektiskais process, tā epistemoloģiskās grūtības. Semantiskās līnijas uzbūve. Melis un Mūra paradoksi. "Sejas paradokss", kas regulē pieklājības mehānismus.

abstrakts, pievienots 27.01.2010

Galvenie loģisko paradoksu rašanās veidi, to vēsturiskā attīstība un pozitīvā ietekme uz loģikas un filozofijas attīstību. Paradoksu veidi, to klasifikācija. Konkrēti piemēri: “Melis” paradokss, Rasela, Kantora, Ričarda paradoksi un citas teorijas.

abstrakts, pievienots 12.05.2014

Paradokss ir jebkuras zinātniskās pētniecības jomas neatņemama sastāvdaļa. Paraloģisms kā netīša argumentācijas kļūda. Sofisms ir tīšas kļūdas. Paradoksu analīze loģikā. Paradoksi matemātikā un fizikā. Paradoksu loma zinātnes attīstībā.

abstrakts, pievienots 28.05.2010

Sofismu rašanās Senajā Grieķijā. Sofistu un Sokrata diskusija par objektīvas patiesības esamību. Galvenie sofistikas veidi. Atšķirības starp sofismiem un loģiskajiem paradoksiem. “Ciema friziera” paradokss. Aporijas ir atsevišķa paradoksu grupa.

tests, pievienots 26.08.2015

Sofisma jēdziens un tā vēsturiskā izcelsme. Sofistika kā spēle ar valodu, kurai nav nozīmes un mērķa. Valodas bagātināšana, izmantojot loģiskās tehnikas. Sofismu kā intelektuālu triku un kļūmju piemēri. Loģiskā paradoksa un aporijas jēdziens, to piemēri.

abstrakts, pievienots 15.10.2014

Loģikas kā zinātnes rašanās un tālākās attīstības vēsture, kā arī tās mūsdienu nozīmes un satura analīze. Simboliskās (matemātiskās), induktīvās, dialektiskās un formālās loģikas veidošanās un salīdzinošās īpašības.

tests, pievienots 12.01.2010

Paradoksu problēmas zināšanu vēsturē. Vienplaknes domāšanas paradoksi daudzdimensionālā pasaulē. Austrumu dzena filozofija. Paradoksi zinātniskajās atziņās, pamata stratēģijas, kā atbrīvoties no paradoksiem kopu teorijā. Daudzdimensionālās domāšanas princips.

abstrakts, pievienots 14.03.2010

Strīds kā viedokļu vai pozīciju sadursme, tā gaitas posmi un modeļi. Klasifikācijas kritēriji un strīdu veidi, to atšķirīgās iezīmes. Katra strīda veida galvenie mērķi un uzdevumi, paņēmieni un metodoloģija diskusijas procesa vadīšanai.

abstrakts, pievienots 27.11.2009

Tradicionālās formālās loģikas rašanās un attīstības stadijas. Aristotelis kā loģikas pamatlicējs. Simboliskās loģikas veidošana, loģiskā aprēķina veidi, loģikas algebra. Formalizācijas metode. Dialektiskās loģikas veidošanās, I. Kanta, G. Hēgeļa darbi.

Ir zināms, ka problēmas formulēšana bieži vien ir svarīgāka un grūtāka nekā tās risināšana. “Zinātnē,” rakstīja angļu ķīmiķis F. Sodijs, “pareizi izvirzīta problēma ir vairāk nekā puse atrisināta. Garīgās sagatavošanas process, kas nepieciešams, lai noskaidrotu, ka problēma pastāv, bieži vien aizņem vairāk laika nekā pašas problēmas risināšana.
Formas, kurās problēmsituācija izpaužas un tiek atpazīta, ir ļoti dažādas. Tas ne vienmēr atklājas tieša jautājuma veidā, kas rodas pašā pētījuma sākumā. Problēmu pasaule ir tikpat sarežģīta kā izziņas process, kas tās rada. Problēmu identificēšana ir saistīta ar pašu radošās domāšanas būtību. Paradoksi ir visinteresantākais netiešo, neapšaubāmo problēmu izvirzīšanas veidu gadījums. Paradoksi ir izplatīti zinātnisko teoriju attīstības sākumposmā, kad tiek sperti pirmie soļi vēl neapgūtā jomā un taustīti vispārīgākie pieejas principi tai.

Paradoksi un loģika

Plašā nozīmē paradokss ir nostāja, kas krasi atšķiras no vispārpieņemtajiem, iedibinātajiem, ortodoksālajiem uzskatiem. "Vispārpieņemtie viedokļi un tas, kas tiek uzskatīts par sen izlemtu lietu, visbiežāk ir izmeklēšanas vērts" (GLichtenberg). Paradokss ir šādu pētījumu sākums.
Paradokss šaurākā un specializētākā nozīmē ir divi pretēji, nesavienojami apgalvojumi, kuriem katram ir šķietami pārliecinoši argumenti.
Ekstrēmākā paradoksa forma ir antinomija, argumentācija, kas pierāda divu apgalvojumu līdzvērtību, no kuriem viens ir otra noliegums.
Paradoksi ir īpaši slaveni visstingrākajās un precīzākajās zinātnēs — matemātikā un loģikā. Un tā nav nejaušība.

Loģika- abstraktā zinātne. Tajā nav eksperimentu, nav pat faktu šī vārda parastajā nozīmē. Veidojot savas sistēmas, loģika galu galā balstās uz reālās domāšanas analīzi. Bet šīs analīzes rezultāti ir sintētiski un nediferencēti. Tie nav apgalvojumi par atsevišķiem procesiem vai notikumiem, kas teorijai būtu jāpaskaidro. Šādu analīzi acīmredzot nevar saukt par novērojumu: vienmēr tiek novērota kāda konkrēta parādība.
Konstruējot jaunu teoriju, zinātnieks parasti sāk no faktiem, no pieredzē novērojamā. Lai cik brīva būtu viņa radošā iztēle, tai ir jāņem vērā viens neaizvietojams apstāklis: teorijai ir jēga tikai tad, ja tā atbilst faktiem, kas ar to attiecas. Teorija, kas atšķiras no faktiem un novērojumiem, ir tālejoša un tai nav vērtības.
Bet, ja loģikā nav eksperimentu, faktu un paša novērojuma, tad kas bremzē loģisko fantāziju? Kādi faktori, ja ne fakti, tiek ņemti vērā, veidojot jaunas loģiskās teorijas?
Neatbilstība starp loģisko teoriju un faktiskās domāšanas praksi bieži tiek atklāta vairāk vai mazāk akūta loģiska paradoksa veidā un dažreiz pat loģiskas antinomijas veidā, kas runā par teorijas iekšējo nekonsekvenci. Tas precīzi izskaidro paradoksiem piešķirto nozīmi loģikā un lielo uzmanību, kas tiem tiek pievērsta.

Melu paradoksa varianti

Slavenākais un, iespējams, interesantākais no visiem loģiskajiem paradoksiem ir “Melis” paradokss. Tas bija viņš, kurš galvenokārt slavināja Milētas Eubulīda vārdu, kurš to atklāja.
Šim paradoksam vai antinomijai ir variācijas, no kurām daudzas ir tikai šķietami paradoksālas.
Vienkāršākajā “Melis” versijā cilvēks izrunā tikai vienu frāzi: “Es meloju”. Vai arī viņš saka: "Paziņojums, ko es tagad izsaku, ir nepatiess." Vai: "Šis apgalvojums ir nepatiess."

Ja apgalvojums ir nepatiess, tad runātājs teica patiesību, un tas nozīmē, ka viņa teiktais nav meli. Ja apgalvojums nav nepatiess, bet runātājs apgalvo, ka tas ir nepatiess, tad viņa apgalvojums ir nepatiess. Tāpēc izrādās, ka, ja runātājs melo, viņš runā patiesību un otrādi.

Viduslaikos bija izplatīts šāds formulējums:

"Platona teiktais ir nepatiess," saka Sokrats.

"Tas, ko teica Sokrats, ir patiesība," saka Platons.

Rodas jautājums, kurš no tiem pauž patiesību un kurš ir meli?
Šeit ir moderns šī paradoksa pārfrāzējums. Pieņemsim, ka kartītes priekšpusē ir tikai uzraksts: "Šīs kartītes otrā pusē ir rakstīts patiess apgalvojums." Skaidrs, ka šie vārdi veido jēgpilnu paziņojumu. Apgriežot karti, mums vai nu jāatrod solītais paziņojums, vai arī tā nav. Ja tas ir rakstīts aizmugurē, tad tas ir vai nu patiess, vai nē. Tomēr aizmugurē ir vārdi: “Šīs kartītes otrā pusē ir uzrakstīts nepatiess paziņojums” - un nekas vairāk. Pieņemsim, ka apgalvojums priekšpusē ir patiess. Tad apgalvojumam aizmugurē ir jābūt patiesam un tāpēc apgalvojumam priekšpusē jābūt nepatiesam. Bet, ja apgalvojums priekšpusē ir nepatiess, tad apgalvojumam aizmugurē ir jābūt arī nepatiesam, un tāpēc apgalvojumam priekšpusē ir jābūt patiesam. Rezultāts ir paradokss.
Melu paradokss atstāja milzīgu iespaidu uz grieķiem. Un ir viegli saprast, kāpēc. Jautājums, ko tas uzdod, pirmajā mirklī šķiet pavisam vienkāršs: vai tas melo, kurš tikai saka, ka melo? Bet atbilde “jā” noved pie atbildes “nē” un otrādi. Un pārdomas situāciju nemaz neizskaidro. Aiz jautājuma vienkāršības un pat rutīnas tas atklāj kādu neskaidru un neizmērojamu dziļumu.
Ir pat leģenda, ka kāds Filits Kosskis, cerēdams atrisināt šo paradoksu, izdarīja pašnāvību. Viņi arī saka, ka viens no slavenajiem sengrieķu loģiķiem Diodors Kronos jau savos nīkuļos apsolīja neēst, kamēr neatradīs "meli" risinājumu, un drīz nomira, neko nesasniedzot.
Viduslaikos šis paradokss tika klasificēts kā viens no tā sauktajiem neizšķiramajiem teikumiem un kļuva par sistemātiskas analīzes objektu, jaunajos laikos “Melis” ilgu laiku nepievērsa uzmanību. Viņi nesaskatīja viņā nekādas, pat nelielas, valodas lietojuma grūtības. Un tikai mūsu tā sauktajos modernajos laikos loģikas attīstība beidzot ir sasniegusi tādu līmeni, ka problēmas, kas it kā stāv aiz šī paradoksa, kļuva iespējams formulēt strikti.
Tagad “Melis” – šis tipiskais kādreizējais sofisms – bieži tiek dēvēts par loģisko paradoksu karali. Tam ir veltīta plaša zinātniskā literatūra. Un tomēr, tāpat kā ar daudziem citiem paradoksiem, joprojām nav līdz galam skaidrs, kādas problēmas aiz tā slēpjas un kā no tā atbrīvoties.

Valoda un metavaloda

Tagad “Melis” parasti tiek uzskatīts par raksturīgu piemēru grūtībām, kas rodas divu valodu sajaukšanas rezultātā: valoda, kas runā par realitāti, kas atrodas ārpus pašas, un valoda, kas runā par pašu pirmo valodu.

Ikdienas valodā šie līmeņi nav nošķirti: mēs runājam gan par realitāti, gan valodu vienā valodā. Piemēram, cilvēks, kura dzimtā valoda ir krievu valoda, nesaskata īpašu atšķirību starp apgalvojumiem: "Stikls ir caurspīdīgs" un "Tā ir taisnība, ka stikls ir caurspīdīgs", lai gan viens no tiem ir par stiklu, bet otrs - par paziņojums par stiklu.
Ja kādam būtu doma par nepieciešamību runāt par pasauli vienā valodā un par šīs valodas īpašībām citā, viņš varētu izmantot divas dažādas esošās valodas, piemēram, krievu un angļu. Tā vietā, lai vienkārši teiktu: "Govs ir lietvārds", varētu teikt: "Govs ir lietvārds" un tā vietā: "Apgalvojums "Stikls nav caurspīdīgs" ir nepatiess. Ja šādā veidā tiek lietotas divas dažādas valodas, tas, kas tiek teikts par pasauli, skaidri atšķirtos no tā, ko saka par valodu, ar kuru runā pasaulē. Faktiski pirmie apgalvojumi attiektos uz krievu valodu, bet otrie – uz angļu valodu.

Ja mūsu valodas eksperts vēlēsies runāt par dažiem ar angļu valodu saistītiem apstākļiem, viņš varētu izmantot citu valodu. Teiksim vāciski. Lai runātu par šo pēdējo punktu, varētu ķerties, piemēram, pie spāņu valodas utt.
Tādējādi parādās sava veida valodu kāpnes jeb hierarhija, no kurām katra tiek izmantota ļoti specifiskam mērķim: pirmajā runā par objektīvo pasauli, otrajā par šo pirmo valodu, trešajā par valodu. otrā valoda utt. Šāda valodu atšķirība pēc to pielietojuma jomas ir reta parādība ikdienas dzīvē. Bet zinātnēs, kas īpaši nodarbojas ar valodām, piemēram, loģikā, dažreiz tas izrādās ļoti noderīgi. Valodu, kurā runā par pasauli, parasti sauc par priekšmetu valodu. Valoda, ko izmanto, lai aprakstītu priekšmetu valodu, tiek saukta par metavalodu.

Skaidrs, ka šādi nošķirot valodu un metavalodu, apgalvojumu “es meloju” vairs nevar formulēt. Tas runā par krievu valodā teiktā nepatiesību, un tāpēc pieder metavalodai un ir jāizsaka angļu valodā. Konkrēti tam vajadzētu izklausīties šādi: “Viss, ko es runāju krieviski, ir nepatiess” (“Everything I say in Russian is false”); šis angļu apgalvojums neko nesaka par viņu pašu, un nerodas nekāds paradokss.
Atšķirība starp valodu un metavalodu ļauj mums novērst “melo” paradoksu. Tādējādi kļūst iespējams pareizi, bez pretrunām definēt klasisko patiesības jēdzienu: apgalvojums ir patiess, ja tas atbilst realitātei, ko tas apraksta.
Patiesības jēdziens, tāpat kā visi citi semantiski jēdzieni, pēc būtības ir relatīvs: to vienmēr var attiecināt uz noteiktu valodu.

Kā parādīja poļu loģiķis Atarskis, klasiskā patiesības definīcija ir jāformulē plašākā valodā nekā valoda, kurai tā ir paredzēta. Citiem vārdiem sakot, ja mēs vēlamies norādīt, ko nozīmē frāze "patiess apgalvojums noteiktā valodā", mums papildus šīs valodas izteicieniem ir jāizmanto arī izteicieni, kas tajā nav.
Tarskis ieviesa semantiski slēgtas valodas jēdzienu. Šāda valoda bez saviem izteicieniem ietver to nosaukumus un, kas ir svarīgi uzsvērt, arī apgalvojumus par tajā formulēto teikumu patiesumu.

Semantiski slēgtā valodā nav robežas starp valodu un metavalodu. Tās līdzekļi ir tik bagāti, ka ļauj ne tikai kaut ko apgalvot par ārpuslingvistisko realitāti, bet arī novērtēt šādu apgalvojumu patiesumu. Ar šiem līdzekļiem it īpaši pietiek, lai valodā reproducētu antinomiju “Melis”. Semantiski slēgta valoda tādējādi izrādās iekšēji pretrunīga. Katra dabiskā valoda acīmredzami ir semantiski slēgta.
Vienīgais pieņemamais veids, kā novērst antinomiju un līdz ar to iekšējo nekonsekvenci, pēc Tarska domām, ir atteikties lietot semantiski slēgtu valodu. Šis ceļš, protams, ir pieņemams tikai mākslīgu, formalizētu valodu gadījumā, kas ļauj skaidri iedalīt valodā un metavalodā. Dabiskajās valodās ar to neskaidro struktūru un spēju par visu runāt vienā valodā šī pieeja nav īpaši reāla. Nav jēgas izvirzīt jautājumu par šo valodu iekšējo konsekvenci. Viņu bagātīgajām izteiksmes spējām ir arī savs mīnuss – paradoksi.

Citi paradoksa risinājumi

Tātad ir apgalvojumi, kas runā par viņu pašu patiesību vai nepatiesību. Ideja, ka šāda veida apgalvojumi nav jēgpilni, ir ļoti sena. To aizstāvēja sengrieķu loģiķis Chrysipps.
Viduslaikos angļu filozofs un loģiķis V. Okhems apgalvoja, ka apgalvojumam “Katrs apgalvojums ir nepatiess” nav nozīmes, jo tas cita starpā runā par savu nepatiesību. No šī apgalvojuma tieši izriet pretruna. Ja katrs apgalvojums ir nepatiess, tad tas attiecas uz pašu doto apgalvojumu; bet tas, ka tas ir nepatiess, nozīmē, ka ne katrs apgalvojums ir nepatiess.

Līdzīga situācija ir ar apgalvojumu “Katrs apgalvojums ir patiess”. Tas arī jāklasificē kā bezjēdzīgs un arī noved pie pretrunas: ja katrs apgalvojums ir patiess, tad patiess ir pats šī apgalvojuma noliegums, tas ir, apgalvojums, ka ne katrs apgalvojums ir patiess.
Tomēr kāpēc apgalvojums nevar jēgpilni runāt par savu patiesību vai nepatiesību?
Jau 14. gadsimta franču filozofa Okama laikabiedrs. J. Buridans viņa lēmumam nepiekrita. No parasto priekšstatu par bezjēdzību viedokļa izteicieni, piemēram, “es meloju”, “Katrs apgalvojums ir patiess (nepatiess)” utt. diezgan jēgpilni. Par ko jūs varat domāt, jūs varat runāt atklāti - tas ir vispārējais Buridana princips. Cilvēks var domāt par viņa teiktā apgalvojuma patiesumu, kas nozīmē, ka viņš var par to runāt. Ne visas pašrunas ir muļķīgas. Piemēram, apgalvojums “Šis teikums ir rakstīts krievu valodā” ir patiess, bet apgalvojums “Šajā teikumā ir desmit vārdi” ir nepatiess. Un abiem ir pilnīga jēga. Ja ir pieļaujams, ka apgalvojums var runāt par sevi, tad kāpēc tas nav spējīgs jēgpilni runāt par tādu īpašību kā patiesība?
Pats Buridans uzskatīja, ka apgalvojums “es meloju” nav bezjēdzīgs, bet gan nepatiess. Viņš to pamatoja šādi.

Kad cilvēks apgalvo apgalvojumu, viņš tādējādi apgalvo, ka tas ir patiess. Ja teikums par sevi saka, ka tas pats par sevi ir nepatiess, tad tas ir tikai sarežģītāka izteiksmes saīsināts formulējums, kas apliecina gan tā patiesumu, gan nepatiesību. Šis izteiciens ir pretrunīgs un tāpēc nepatiess. Bet tas nekādā gadījumā nav bezjēdzīgs.

Buridana argumentu joprojām dažreiz uzskata par pārliecinošu.
Ir arī citas kritikas jomas par “Meļu” paradoksa risinājumu, ko detalizēti izstrādāja Tarskis. Vai tiešām nav pretlīdzekļa šāda veida paradoksiem semantiski slēgtās valodās - un visas dabiskās valodas ir tādas?
Ja tas tā būtu, tad patiesības jēdzienu varētu stingri definēt tikai formalizētās valodās. Tikai tajos ir iespējams atšķirt priekšmetu valodu, kurā runā par pasauli mums apkārt, un metavalodu, kurā runā par šo valodu. Šī valodu hierarhija ir balstīta uz svešvalodas apguves modeli ar dzimtās valodas palīdzību. Šādas hierarhijas izpēte ir novedusi pie daudziem interesantiem secinājumiem, un dažos gadījumos tas ir nozīmīgs. Bet tas nav dabiskajā valodā. Vai tas viņu diskreditēs? Un ja jā, tad kādā mērā? Galu galā tajā joprojām tiek lietots patiesības jēdziens, un parasti bez jebkādiem sarežģījumiem. Vai hierarhijas ieviešana ir vienīgais veids, kā novērst tādus paradoksus kā "melis?"

30. gados atbildes uz šiem jautājumiem neapšaubāmi šķita apstiprinošas. Taču tagad agrākās vienprātības vairs nav, lai gan joprojām dominē tradīcija šāda veida paradoksus likvidēt, valodu “slāņojot”.
Pēdējā laikā arvien lielāku uzmanību piesaista egocentriski izteicieni. Tajos ir tādi vārdi kā “es”, “šis”, “šeit”, “tagad”, un to patiesums ir atkarīgs no tā, kad, kas un kur tos lieto.

Paziņojumā “Šis apgalvojums ir nepatiess” parādās vārds “tas”. Uz kuru objektu tieši tas attiecas? “Melis”, iespējams, saka, ka vārds “tas” neatbilst paziņojuma nozīmei. Bet uz ko tad tas attiecas, ko tas nozīmē? Un kāpēc šo nozīmi joprojām nevar apzīmēt ar vārdu "tas"?
Šeit neiedziļinoties, ir tikai vērts atzīmēt, ka egocentrisko izteicienu analīzes kontekstā “Melis” ir piepildīts ar pavisam citu saturu nekā līdz šim. Izrādās, viņš vairs nebrīdina no valodas un metavalodas jaukšanas, bet norāda uz briesmām, kas saistītas ar nepareizu vārda “tas” un līdzīgu egocentrisku vārdu lietošanu.
Problēmas, kas saistītas ar "Meli" gadsimtu gaitā, ir radikāli mainījušās atkarībā no tā, vai tas tika uzskatīts par neskaidrības piemēru vai kā izteicienu, kas ārēji parādās kā valodas un metavalodas sajaukšanas piemērs, vai, visbeidzot, kā tipisks egocentrisku izteicienu ļaunprātīgas izmantošanas piemērs. Un nav pārliecības, ka ar šo paradoksu nākotnē netiks saistītas citas problēmas.

Slavenais mūsdienu somu loģiķis un filozofs G. fon Raits savā darbā, kas veltīts meli, rakstīja, ka šis paradokss nekādā gadījumā nav jāsaprot kā lokāls, izolēts šķērslis, ko var novērst ar vienu izgudrojošu domas kustību. “Melis” skar daudzas no vissvarīgākajām loģikas un semantikas tēmām. Šī ir patiesības definīcija un pretrunu un pierādījumu interpretācija, kā arī vesela virkne būtisku atšķirību: starp teikumu un domu, ko tas pauž, starp izteiciena lietošanu un tā pieminēšanu, starp vārda nozīmi un objektu, ko tas apzīmē.
Līdzīga situācija ir arī ar citiem loģiskiem paradoksiem. “Loģikas antinomijas,” raksta fon Vrigs, “ir mūs mulsinājušas kopš to atklāšanas un, iespējams, vienmēr mūs mulsinās. Manuprāt, mums tās jāuztver ne tik daudz kā problēmas, kas gaida risinājumu, bet gan kā neizsmeļams pārdomu materiāls. Tās ir svarīgas, jo domāšana par tām skar visas loģikas un līdz ar to arī visas domāšanas pamatjautājumus.

Noslēdzot šo sarunu par “Meli”, mēs varam atcerēties kādu dīvainu epizodi no laikiem, kad formālo loģiku vēl mācīja skolā. Loģikas mācību grāmatā, kas izdota 40. gadu beigās, astotās klases skolēniem kā mājasdarbs — tā teikt, iesildīšanās laikā — tika uzdots atrast kļūdu, kas pieļauta šajā šķietami vienkāršajā paziņojumā: "Es meloju." Un, lai gan tas nešķiet dīvaini, tika uzskatīts, ka lielākā daļa skolēnu veiksmīgi tika galā ar šo uzdevumu.

§ 2. Rasela paradokss

Slavenākais no jau mūsu gadsimtā atklātajiem paradoksiem ir B. Rasela atklātā antinomija, ko viņš paziņojis vēstulē G. Fergei. Šo pašu antinomiju Getingenā vienlaikus apsprieda vācu matemātiķi Z. Zermelo un D. Hilberts.
Ideja virmoja gaisā, un tās publicēšana radīja bumbas sprādziena efektu. Šis paradokss, pēc Hilberta domām, izraisīja pilnīgas katastrofas efektu matemātikā. Ir apdraudētas vienkāršākās un svarīgākās loģiskās metodes, visizplatītākie un noderīgākie jēdzieni.
Tūlīt kļuva skaidrs, ka ne loģikā, ne matemātikā visā to ilgajā pastāvēšanas vēsturē nebija izstrādāts pilnīgi nekas, kas varētu kalpot par pamatu. antinomijas likvidēšana. Atkāpšanās no tradicionālajiem domāšanas veidiem bija nepārprotami nepieciešama. Bet no kuras vietas un kādā virzienā? Cik radikāli būtu atrauties no iedibinātajiem teoriju veidošanas veidiem?
Turpinot antinomijas izpēti, pārliecība par principiāli jaunas pieejas nepieciešamību nepārtraukti pieauga. Pusgadsimtu pēc tās atklāšanas loģikas un matemātikas pamatu speciālisti L. Frenkels un I. Bar-Hillels jau bez ierunām norādīja: “Mēs uzskatām, ka jebkuri mēģinājumi izkļūt no situācijas, izmantojot tradicionālos (tas ir, lietojums pirms 20. gadsimta) domāšanas veidi, kas līdz šim konsekventi ir bijuši neveiksmīgi, šim nolūkam acīmredzami ir nepietiekami.
Mūsdienu amerikāņu loģiķis H. Karijs par šo paradoksu rakstīja nedaudz vēlāk: “19. gadsimtā zināmās loģikas ziņā situāciju vienkārši nevarēja izskaidrot, lai gan, protams, mūsu izglītotajā laikmetā var atrasties cilvēki, kas redzēs. (vai domā, ka viņi redzēs ), kāda ir kļūda.

Rasela paradokss tā sākotnējā formā ir saistīts ar kopas jeb klases jēdzienu.
Var runāt par dažādu objektu kopām, piemēram, par visu cilvēku kopu vai par naturālo skaitļu kopu. Pirmās kopas elements būs katra atsevišķa persona, otrās kopas elements būs katrs naturālais skaitlis. Ir pieļaujams arī pašas kopas uzskatīt par dažiem objektiem un runāt par komplektu kopām. Varat pat ieviest tādus jēdzienus kā visu kopu kopa vai visu jēdzienu kopa.

Parasto komplektu komplekts

Attiecībā uz jebkuru patvaļīgu kopu šķiet pamatoti jautāt, vai tas ir savs elements vai nē. Kopas, kas nesatur sevi kā elementu, tiks sauktas par parastajām. Piemēram, visu cilvēku kopums nav cilvēks, tāpat kā atomu kopums nav atoms. Neparasti būs komplekti, kas ir savi elementi. Piemēram, kopa, kas apvieno visas kopas, ir kopa un tāpēc satur sevi kā elementu.
Tagad apskatīsim visu parasto kopu kopu. Tā kā to ir daudz, par to var arī jautāt, vai tas ir parasts vai neparasts. Tomēr atbilde izrādās atturoša. Ja tas ir parasts, tad saskaņā ar tās definīciju tajā ir jāietver sevi kā elementu, jo tajā ir visas parastās kopas. Bet tas nozīmē, ka tas ir neparasts komplekts. Tādējādi pieņēmums, ka mūsu kopa ir parasta kopa, noved pie pretrunas. Tas nozīmē, ka tas nevar būt parasts. No otras puses, tas arī nevar būt neparasts: neparasts komplekts satur sevi kā elementu, un mūsu komplekta elementi ir tikai parastas kopas. Rezultātā mēs nonākam pie secinājuma, ka visu parasto kopu kopa nevar būt ne parasta, ne neparasta kopa.

Tātad visu kopu kopa, kas nav pareizi elementi, ir savs elements tad un tikai tad, ja tas nav šāds elements. Tā ir skaidra pretruna. Un tas iegūts, pamatojoties uz ticamākajiem pieņēmumiem un ar šķietami neapstrīdamu soļu palīdzību.Pretruna liek domāt, ka šāda kopa vienkārši neeksistē. Bet kāpēc tas nevarētu pastāvēt? Galu galā tas sastāv no objektiem, kas atbilst skaidri noteiktam nosacījumam, un pats nosacījums nešķiet kaut kā ārkārtējs vai neskaidrs. Ja šāda vienkārši un skaidri definēta kopa nevar pastāvēt, tad ar ko īsti atšķiras iespējamās un neiespējamās kopas? Secinājums par attiecīgā komplekta neesamību izklausās negaidīti un rada bažas. Tas padara mūsu vispārējo kopas koncepciju amorfu un haotisku, un nav garantijas, ka tas nevar radīt jaunus paradoksus.

Rasela paradokss ir ievērojams ar savu ārkārtējo vispārīgumu. Lai to izveidotu, nav nepieciešami sarežģīti tehniski jēdzieni, kā dažu citu paradoksu gadījumā, pietiek ar jēdzieniem “kopa” un “kopas elements”. Bet šī vienkāršība tikai runā par tās fundamentālo raksturu: tā skar mūsu prātojuma dziļākos pamatus par kopām, jo tā nerunā par dažiem īpašiem gadījumiem, bet par kopām kopumā.

Citas paradoksa versijas

Rasela paradokss pēc būtības nav īpaši matemātisks. Tas izmanto kopas jēdzienu, bet neskar nekādas īpašas īpašības, kas saistītas tieši ar matemātiku.
Tas kļūst acīmredzams, ja mēs pārformulējam paradoksu tīri loģiski.

Par katru īpašumu, visticamāk, var jautāt, vai tas attiecas uz viņu pašu vai nē.
Piemēram, īpašība būt karstam neattiecas uz sevi, jo tā pati nav karsta; īpašība būt konkrētam arī neattiecas uz sevi, jo tā ir abstrakta īpašība. Bet īpašība būt abstraktam, būt abstraktam ir attiecināma uz sevi. Sauksim šīs pašnepiemērojamās īpašības par nepiemērojamām. Vai īpašība būt nepiemērojamam uz sevi attiecas? Izrādās, ka nepiemērojamība ir nepiemērojama tikai tad, ja tā nav. Tas, protams, ir paradoksāli.
Rasela antinomijas loģiskā, ar īpašumu saistītā versija ir tikpat paradoksāla kā tās matemātiskā, ar kopu saistītā versija.
Rasels arī ierosināja šādu populāro viņa atklātā paradoksa versiju.

Iedomāsimies, ka viena ciema padome bārddziņa pienākumus noteica šādi: noskuj visus ciema vīriešus, kuri neskujas, un tikai šos. Vai viņam vajadzētu noskūties? Ja tā, tad viņš izturēsies pret tiem, kas skūst sevi, bet tiem, kas skūst sevi, viņam nevajadzētu skūst. Ja nē, viņš būs viens no tiem, kas paši neskujas, un tāpēc viņam būs jāskūst pašam. Tādējādi mēs nonākam pie secinājuma, ka šis frizieris pats skūst tad un tikai tad, ja pats neskujas. Tas, protams, nav iespējams. Arguments par frizieri balstās uz pieņēmumu, ka šāds frizieris pastāv. No tā izrietošā pretruna nozīmē, ka šis pieņēmums ir maldīgs, un nav neviena ciema iedzīvotāja, kurš noskūtu visus tos un tikai tos ciema iedzīvotājus, kuri neskujas.
Friziera pienākumi pirmajā mirklī nešķiet pretrunīgi, tāpēc secinājums, ka tā nevar pastāvēt, izklausās nedaudz negaidīti. Bet šis secinājums nav paradoksāls. Nosacījums, kas jāizpilda ciema frizierim, patiesībā ir iekšēji pretrunīgs un tāpēc nav izpildāms. Ciematā nevar būt tāds bārddzinis tā paša iemesla dēļ, ka tajā nav neviena cilvēka, kas būtu vecāks par viņu pašu vai kurš dzimis pirms viņa dzimšanas.
Argumentu par frizieri var saukt par pseidoparadoksu. Savā gaitā tas ir stingri līdzīgs Rasela paradoksam, un tāpēc tas ir interesants. Bet tas joprojām nav īsts paradokss.

Vēl viens tā paša pseidoparadoksa piemērs ir slavenais arguments par katalogu.
Noteikta bibliotēka nolēma sastādīt bibliogrāfisko katalogu, kurā būtu iekļauti visi tie un tikai tie bibliogrāfiskie katalogi, kuros nav saites uz viņiem pašiem. Vai šādā direktorijā ir jāiekļauj saite uz sevi?
Nav grūti parādīt, ka ideja par šāda kataloga izveidi ir nepraktiska; tas vienkārši nevar pastāvēt, jo tajā vienlaikus ir jāiekļauj atsauce uz sevi, nevis jāiekļauj tā.
Interesanti atzīmēt, ka visu direktoriju, kas nesatur atsauces uz sevi, kataloģizēšanu var uzskatīt par nebeidzamu, nebeidzamu procesu. Pieņemsim, ka kādā brīdī tika kompilēts direktorijs, piemēram, K1, iekļaujot visus direktorijus, kas atšķiras no tā un nesatur saites uz sevi. Izveidojot K1, parādījās vēl viens direktorijs, kurā nebija saites uz sevi. Tā kā problēma ir izveidot pilnu katalogu no visiem katalogiem, kuri paši par sevi nav pieminēti, ir skaidrs, ka K1 nav risinājums. Viņš nepiemin vienu no šiem direktorijiem — sevi. Iekļaujot šo viņa pieminēšanu K1, mēs iegūstam katalogu K2. Tajā minēts K1, bet ne pats K2. Pievienojot šādu pieminējumu K2, mēs iegūstam KZ, kas atkal ir nepilnīgs, jo tajā nav minēts pats. Un vēl un bez gala.

§ 3. Grelinga un Berija paradoksi

Interesantu loģisko paradoksu atklāja vācu loģiķi K. Grelings un L. Nelsons (Grelinga paradokss). Šo paradoksu var formulēt ļoti vienkārši.

Autoloģiskie un heteroloģiskie vārdi

Dažiem īpašību vārdiem ir tieši tā īpašība, ko tie nosauc. Piemēram, īpašības vārds “krievu valoda” pats par sevi ir krievs, “daudzzilbs” pats par sevi ir daudzzilbs, un pašam “piecu zilbju” ir piecas zilbes. Šādus vārdus, kas attiecas uz sevi, sauc par pašvērtētiem vai autoloģiskiem.
Līdzīgu vārdu nav daudz; lielākajai daļai īpašības vārdu nav īpašību, ko tie nosauc. “Jauns”, protams, nav jauns, “karsts” ir karsts, “viena zilbe” ir viena zilbe, un “angļu valoda” ir angļu valoda. Vārdus, kuriem nav ar tiem apzīmētās īpašības, sauc par svešas nozīmes jeb heterologu. Acīmredzot visi īpašības vārdi, kas apzīmē īpašības, kuras nevar attiecināt uz vārdiem, būs heteroloģiski.
Šis īpašības vārdu sadalījums divās grupās šķiet skaidrs un neapšaubāms. To var attiecināt uz lietvārdiem: “vārds” ir vārds, “lietvārds” ir lietvārds, bet “pulkstenis” nav pulkstenis un “darbības vārds” nav darbības vārds.
Paradokss rodas, tiklīdz tiek uzdots jautājums: kurai no abām grupām pieder pats īpašības vārds “heteroloģiskais”? Ja tas ir autologs, tam ir īpašība, ko tas apzīmē, un tam ir jābūt heteroloģiskam. Ja tas ir heteroloģisks, tam nav īpašību, ko tā sauc, un tāpēc tai ir jābūt autoloģiskai. Ir paradokss.

Pēc analoģijas ar šo paradoksu ir viegli formulēt citus tādas pašas struktūras paradoksus. Piemēram, vai kāds, kurš nogalina katru personu, kas nav pašnāvnieciska, un nenogalina nevienu pašnāvnieku, izdara pašnāvību vai ne?

Izrādījās, ka Greliga paradokss jau viduslaikos bija pazīstams kā izteiciena antinomija, kas sevi nenosauc. Var iedomāties mūsdienu attieksmi pret sofismiem un paradoksiem, ja problēma, kas prasīja atbildi un izraisīja dzīvas diskusijas, pēkšņi tika aizmirsta un tika atklāta no jauna tikai pēc piecsimt gadiem!

Vēl vienu, šķietami vienkāršu antinomiju mūsu gadsimta pašā sākumā norādīja D. Berijs.

Naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga. Šo skaitļu nosaukumu kopa, kas ir, piemēram, krievu valodā un satur mazāk par, teiksim, simts vārdu, ir ierobežota. Tas nozīmē, ka ir naturāli skaitļi, kuriem krievu valodā nav nosaukumu, kas sastāv no mazāk nekā simts vārdiem. Starp šiem skaitļiem acīmredzami ir mazākais skaitlis. To nevar nosaukt, izmantojot krievu valodas izteicienu, kas satur mazāk nekā simts vārdu. Bet izteiciens: "Mazākais dabiskais skaitlis, kuram krievu valodā nav sarežģīta nosaukuma, kas sastāv no mazāk nekā simts vārdiem" ir tieši šī skaitļa nosaukums! Šis nosaukums ir tikko formulēts krievu valodā un satur tikai deviņpadsmit vārdus. Acīmredzams paradokss: nosauktais numurs izrādījās tas, kuram nav vārda!

§ 4. Neatrisināms strīds

Viens slavens paradokss ir balstīts uz šķietami nelielu atgadījumu, kas notika pirms vairāk nekā diviem tūkstošiem gadu un nav aizmirsts līdz mūsdienām.

"Lai kāds būtu tiesas lēmums, Evatlam man būs jāmaksā." Viņš vai nu uzvarēs šajā pirmajā tiesā, vai zaudēs. Ja viņš uzvarēs, viņš maksās saskaņā ar mūsu vienošanos. Ja viņš zaudēs, viņš maksās saskaņā ar šo lēmumu.

Šķiet, ka Eiatls ir bijis spējīgs students, jo viņš atbildēja Protagoram:

– Patiešām, es vai nu uzvarēšu tiesā, vai zaudēšu. Ja es uzvarēšu, tiesas lēmums atbrīvos mani no pienākuma maksāt. Ja tiesas lēmums nav man labvēlīgs, tas nozīmē, ka es zaudēju savu pirmo lietu un nemaksāšu mūsu vienošanās dēļ.

Protagora un Euathlus paradoksa risinājumi

Arī G. Leibnics, pats pēc izglītības jurists, uztvēra šo strīdu nopietni. Savā doktora disertācijā “Pētījums par juceklīgām lietām tiesību jomā” viņš mēģināja pierādīt, ka visās lietās, pat vissarežģītākajās lietās, piemēram, Protagora un Eibatlusa tiesvedībā, ir jāatrod pareizais risinājums, pamatojoties uz veselo saprātu. Pēc Leibnica domām, tiesai būtu jāatsaka Protagoram par savlaicīgu prasības iesniegšanu, taču tai jāsaglabā tiesības pieprasīt naudas samaksu no Euathlus vēlāk, proti, pēc pirmās viņa uzvarētās lietas.

Ir ierosināti daudzi citi šī paradoksa risinājumi.

Tie jo īpaši norādīja uz to, ka tiesas lēmumam ir jābūt lielākam spēkam nekā privātai vienošanās starp divām personām. Uz to varam atbildēt, ka bez šīs vienošanās, lai cik nenozīmīga tā šķistu, nebūtu ne tiesas, ne tās lēmuma. Galu galā tiesai ir jāpieņem savs lēmums tieši par to un uz tā pamata.

Dažreiz viņi strīdas šādi. Gan Protagoram, gan Eiatlam ir daļēji taisnība, un kopumā nevienam no viņiem nav taisnība. Katrs no viņiem ņem vērā tikai pusi no sev izdevīgām iespējām. Pilnīga vai visaptveroša apsvēršana paver četras iespējas, no kurām tikai puse ir izdevīga kādam no strīdniekiem. Kura no šīm iespējām tiks realizēta, to izšķirs nevis loģika, bet dzīve. Ja tiesnešu spriedumam būs lielāks spēks nekā līgumam, Euathlus būs jāmaksā tikai tad, ja viņš zaudēs lietu, t.i. pamatojoties uz tiesas lēmumu. Ja privātā vienošanās tiks novietota augstāk par tiesnešu lēmumu, tad Protagoras samaksu saņems tikai tad, ja Euathlus zaudēs procesu, t.i. saskaņā ar vienošanos ar Protagoru.Šī pievilcība dzīvībai visu pilnībā sajauc. No kā tad, ja ne pēc loģikas, tiesneši var vadīties apstākļos, kad visi būtiskie apstākļi ir pilnīgi skaidri? Un kāda tā būs vadība, ja Protagors, kurš prasa samaksu caur tiesu, to panāks tikai zaudējot procesu?

Tomēr Leibnica risinājums, kas sākotnēji šķiet pārliecinošs, ir nedaudz labāks par neskaidro loģikas un dzīves pretnostatījumu. Būtībā Leibnics ierosina ar atpakaļejošu datumu aizstāt līguma formulējumu un noteikt, ka pirmajam tiesas procesam, kurā iesaistīts Euathlus un kura iznākumā tiks izlemts jautājums par samaksu, nevajadzētu būt Protagoras tiesai. Šī doma ir dziļa, bet nav saistīta ar konkrētu tiesu. Ja sākotnējā līgumā būtu bijis šāds punkts, tad tiesāšanās nemaz nebūtu bijusi vajadzīga.

Ja ar šīs grūtības risinājumu mēs domājam atbildi uz jautājumu, vai Eiatlam ir jāmaksā Protagoram vai nē, tad visi šie, tāpat kā visi citi iespējamie risinājumi, protams, ir neizturami. Tie ir nekas vairāk kā atkāpšanās no strīda būtības, tie ir, tā sakot, izsmalcināti triki un triki bezcerīgā un neatrisināmā situācijā. Jo ne veselais saprāts, ne kādi vispārīgi principi attiecībā uz sociālajām attiecībām nespēj atrisināt strīdu.
Līgumu tā sākotnējā formā un tiesas lēmumu, lai arī kāds tas būtu, nav iespējams izpildīt kopā. Lai to pierādītu, pietiek ar vienkāršiem loģikas līdzekļiem. Izmantojot šos pašus līdzekļus, var arī pierādīt, ka līgums, neskatoties uz tā pilnīgi nevainīgo izskatu, ir iekšēji pretrunīgs. Tas prasa īstenot loģiski neiespējamu priekšlikumu: Evatl vienlaicīgi ir jāmaksā par apmācību un tajā pašā laikā nemaksā.

Noteikumi, kas noved strupceļā

Cilvēka prātam, kas pieradis ne tikai pie sava spēka, bet arī pie lokanības un pat attapības, ar šo absolūto bezcerību, protams, ir grūti samierināties un atzīt, ka tas ir iedzīts strupceļā. Īpaši grūti tas ir tad, kad strupceļa situāciju rada pats prāts: tas, tā teikt, paklupa no zila gaisa un nonāk savos tīklos. Un tomēr jāatzīst, ka dažkārt un tomēr ne tik reti spontāni veidotas vai apzināti ieviestas vienošanās un noteikumu sistēmas noved pie neatrisināmām, bezcerīgām situācijām.

Piemērs no nesenās šaha dzīves vēlreiz apstiprinās šo domu.

Starptautiskie šaha sacensību noteikumi uzliek šahistiem pienākumu skaidri un salasāmi ierakstīt spēles gājienu pa gājienu. Vēl nesen noteikumos bija arī teikts, ka šahistam, kurš laika trūkuma dēļ nokavējis vairāku gājienu ierakstīšanu, “tiklīdz beidzas laika nepatikšanas, nekavējoties jāaizpilda anketa, ierakstot nokavētos gājienus”. Pamatojoties uz šo instrukciju, viens tiesnesis 1980. gada šaha olimpiādē (Malta) pārtrauca spēli ar lielu laika spiedienu un apturēja pulksteni, paziņojot, ka kontrolgājieni ir izdarīti, un tāpēc ir pienācis laiks ievietot spēļu ierakstus. pasūtījums.

"Bet atvainojiet," iesaucās dalībnieks, kurš spēles beigās bija uz zaudējuma robežas un rēķinājās tikai ar kaislību intensitāti, "galu galā neviens karogs vēl nav nokritis un neviens to nevarēs (šī). ir rakstīts arī noteikumos) pastāstiet, cik gājienu ir izdarīts."
Tiesnesi gan atbalstīja galvenais šķīrējtiesnesis, kurš norādīja, ka tik tiešām, tā kā laika nepatikšanas bija beigušās, bija nepieciešams, ievērojot noteikumu burtu, jāsāk neveikto gājienu fiksēšana.
Šajā situācijā nebija jēgas strīdēties: paši noteikumi noveda strupceļā. Atlika tikai mainīt to formulējumu, lai līdzīgi gadījumi turpmāk nevarētu rasties.
Tas tika darīts tajā pašā laikā notikušajā Starptautiskās šaha federācijas kongresā: vārdu "kolīdz beigsies laika spiediens" vietā tagad noteikumos teikts: "tiklīdz karogs norāda uz šaha beigām. laiks."
Šis piemērs skaidri parāda, kā rīkoties strupceļa situācijās. Ir bezjēdzīgi strīdēties par to, kurai pusei ir taisnība: strīds ir neatrisināms, un uzvarētāja nebūs. Atliek vien samierināties ar tagadni un parūpēties par nākotni. Lai to izdarītu, jums ir jāpārformulē sākotnējie līgumi vai noteikumi, lai tie nenovestu nevienu citu tādā pašā bezcerīgā situācijā.
Protams, šāda rīcība nav risinājums neatrisināmam strīdam vai izeja no bezcerīgas situācijas. Tā drīzāk ir pietura priekšā nepārvaramam šķērslim un ceļš tam apkārt.

Paradokss "Krokodils un māte"

Senajā Grieķijā ļoti populārs bija stāsts par krokodilu un māti, kas pēc loģiskā satura sakrīt ar paradoksu “Protagors un Euatlus”.
Krokodils izrāvis viņas bērnu no ēģiptietes, kas stāvēja upes krastā. Uz viņas lūgumu atgriezt bērnu, krokodils, kā vienmēr lējis krokodila asaru, atbildēja:

"Jūsu nelaime mani ir skārusi, un es došu jums iespēju atgūt savu bērnu." Uzminiet, vai es jums to atdošu vai ne. Ja atbildēsiet pareizi, atdošu bērnu. Ja neuzminēsi, es to neatdošu.

Padomājusi, māte atbildēja:

- Tu man bērnu nedosi.

"Jūs to nesaņemsit," secināja krokodils. "Jūs vai nu teicāt patiesību, vai arī neteicāt patiesību." Ja tā ir taisnība, ka es bērnu neatdošu, es viņu neatdošu, jo pretējā gadījumā teiktais nebūs patiesība. Ja teiktais neatbilst patiesībai, tad tu neuzminēji pareizi, un pēc vienošanās es no bērna neatteikšos.

Taču mātei šis arguments nešķita pārliecinošs.

"Bet, ja es teicu patiesību, tad jūs man iedosiet bērnu, kā mēs vienojāmies." Ja es neuzminēju, ka jūs neatteiksities no bērna, tad jums tas ir jāatdod man, pretējā gadījumā manis teiktais nebūs nepatiess.

Kuram taisnība: mātei vai krokodilam? Ko viņa dotais solījums uzliek krokodila pienākumu? Atdot bērnu vai, gluži otrādi, neatdot? Un abiem vienlaicīgi. Šis solījums ir iekšēji pretrunīgs, un līdz ar to to nepilda loģikas likumi.
Misionārs nonāca pie kanibāliem un ieradās tieši pusdienu laikā. Tie ļauj viņam izvēlēties, kādā formā viņš tiks ēst. Lai to izdarītu, viņam ir jāizrunā kāds apgalvojums ar nosacījumu, ka, ja šis apgalvojums izrādīsies patiess, viņi viņu vārīs, un, ja tas izrādīsies nepatiess, viņi viņu apceps.

Kas jums jāsaka misionāram?

Protams, viņam jāsaka: "Tu mani apcepsi."

Ja viņš patiešām ir cepts, izrādīsies, ka viņš runāja patiesību, un tas nozīmē, ka viņš ir jāvāra. Ja viņš ir vārīts, viņa apgalvojums būs nepatiess, un viņš vienkārši ir jācep. Kanibāliem nebūs izvēles: no “cepšanas” nāk “gatavot” un otrādi.

Šī epizode ar viltīgo misionāru, protams, ir vēl viena Protagora un Eiatla strīda pārfrāze.

Sančo Panzas paradokss

Viens sens paradokss, kas pazīstams jau Senajā Grieķijā, tiek izspēlēts M. Servantesa “Donā Kihotā”. Sančo Panza kļuva par Barataria salas gubernatoru un pārvalda tiesu.
Pirmais, kas pie viņa nāk ciemiņš un saka: “Kungs, noteiktu īpašumu divās daļās sadala augsta ūdens upe... Tātad pār šo upi ir tilts, un turpat malā ir karātavas un ir kaut kas līdzīgs tiesai, kurā parasti sēž Četri tiesneši, un viņi spriež, pamatojoties uz upes, tilta un visa īpašuma īpašnieka izdoto likumu, kurš ir sastādīts šajā likumā. veids: “Ikvienam, kas iet pāri tiltam pār šo upi, ar zvērestu jāpaziņo: kur un kāpēc viņš iet, un, kas runā patiesību, lai tie cauri, un tie, kas melo, bez jebkādas iecietības sūta tos uz karātavām, kas atrodas turpat. un izpildiet tos." Kopš šī likuma visā bardzībā izsludināšanas daudziem izdevās tikt pāri tiltam, un, tiklīdz tiesneši pārliecinājās, ka garāmgājēji runā taisnību, palaida cauri. Bet tad kādu dienu kāds vīrs, zvērināts, zvērēja un teica: viņš zvēr, ka viņu nācis pakārt tieši šajā karātavā, un ne par ko citu. Šis zvērests samulsināja tiesnešus, un viņi teica: “Ja mēs ļausim šim cilvēkam netraucēti turpināt, tas nozīmēs, ka viņš ir pārkāpis zvērestu un saskaņā ar likumu ir vainīgs nāvē; ja mēs viņu pakārsim, tad viņš zvērēja, ka nācis tikai, lai pakārtu uz šīs karātavas, tāpēc viņa zvērests, izrādās, nav nepatiess, un uz tā paša likuma pamata viņš ir jālaiž cauri. Un tāpēc es jautāju jums, senjoru gubernator, ko tiesnešiem darīt ar šo cilvēku, jo viņi joprojām ir apmulsuši un vilcinās...
Sančo ieteica, iespējams, ne bez viltības: lai tā puse, kas teica patiesību, tiek izlaista cauri, bet puse, kas meloja, jāpakar, un tādējādi tiks pilnībā ievēroti tilta šķērsošanas noteikumi. Šis fragments ir interesants vairākos veidos.
Pirmkārt, tas skaidri ilustrē to, ka ar paradoksā aprakstīto bezcerīgo situāciju var sastapties — un ne tīrā teorijā, bet praksē — ja ne reāls cilvēks, tad vismaz literārs varonis.

Sančo Panzas piedāvātais risinājums, protams, nebija paradoksa risinājums. Bet tieši tas bija risinājums, pie kura viņa situācijā atlika tikai ķerties.
Savulaik Aleksandrs Lielais tā vietā, lai atraisītu viltīgo Gordija mezglu, kas nevienam nekad nebija izdevies, vienkārši to pārgrieza. Sančo darīja to pašu. Nebija jēgas mēģināt atrisināt mīklu pēc saviem noteikumiem; tā vienkārši bija neatrisināma. Atlika tikai atmest šos nosacījumus un ieviest savējos.
Un vienu brīdi. Ar šo epizodi Servantess skaidri nosoda viduslaiku taisnīguma pārmērīgi formālo mērogu, ko caurstrāvo sholastiskās loģikas gars. Bet cik plaši viņa laikā — un tas bija apmēram pirms četrsimt gadiem — bija informācija no loģikas jomas! Šo paradoksu apzinās ne tikai pats Servantess. Rakstnieks uzskata, ka savam varonim, analfabētam zemniekam, ir iespējams piedēvēt spēju saprast, ka viņam priekšā ir neatrisināms uzdevums!

§ 5. Citi paradoksi

Iepriekš minētie paradoksi ir argumenti, kuru rezultātā rodas pretruna. Taču loģikā ir arī cita veida paradoksi. Viņi arī norāda uz dažām grūtībām un problēmām, taču viņi to dara mazāk skarbā un bezkompromisa formā. Jo īpaši tie ir paradoksi, kas aplūkoti turpmāk.

Neprecīzu jēdzienu paradoksi

Lielākā daļa jēdzienu ne tikai dabiskajā valodā, bet arī zinātnes valodā ir neprecīzi vai, kā tos sauc arī, neskaidri. Tas bieži vien izrādās cēlonis pārpratumiem, strīdiem un pat vienkārši noved pie strupceļa situācijām.
Ja jēdziens ir neprecīzs, objektu apgabala robežai, kurai tā tiek piemērota, trūkst asuma un tā ir izplūdusi. Ņemiet, piemēram, jēdzienu “kaudze”. Viens grauds (smilšu grauds, akmens utt.) nav kaudze. Tūkstoš graudu acīmredzot ir kaudze. Kā ar trim graudiem? Kā ar desmit? Cik graudu pievienojot veidojas kaudze? Nav ļoti skaidrs. Tāpat kā nav skaidrs, ar kuru graudu izņemšanu kaudze pazūd.
Empīriskie raksturlielumi “liels”, “smags”, “šaurs” utt. ir neprecīzi. Izplatīti jēdzieni, piemēram, “gudrais”, “zirgs”, “māja” utt., ir neprecīzi.
Nav ne smilšu graudiņa, kuru noņemot, mēs varam teikt, ka pēc tam, kad tas ir izņemts, to, kas paliek, vairs nevar saukt par mājām. Bet šķiet, ka tas nozīmē, ka mājas pakāpeniskas demontāžas laikā – līdz pat tās pilnīgai izzušanai – nav nekāda pamata paziņot, ka māja neeksistē! Secinājums ir nepārprotami paradoksāls un atbaidošs.
Ir viegli redzēt, ka argumentācija par kaudzes veidošanas neiespējamību tiek veikta, izmantojot labi zināmo matemātiskās indukcijas metodi. Viens grauds neveido kaudzi. Ja n graudi neveido kaudzes, tad n+1 graudi neveido kaudzes. Tāpēc neviens graudu skaits nevar izveidot kaudzi.
Šī un līdzīgu pierādījumu iespējamība, kas noved pie absurdiem secinājumiem, nozīmē, ka matemātiskās indukcijas principam ir ierobežota darbības joma. To nevajadzētu izmantot argumentācijā ar neprecīziem, neskaidriem jēdzieniem.

Labs piemērs tam, kā šie jēdzieni var izraisīt neatrisināmus strīdus, ir ziņkārīgs tiesas process, kas notika 1927. gadā Amerikas Savienotajās Valstīs. Tēlnieks C. Brancusi vērsās tiesā, pieprasot viņa darbus atzīt par mākslas darbiem. Starp darbiem, kas tika nosūtīti uz Ņujorku izstādei, bija skulptūra “Putns”, kas šobrīd tiek uzskatīta par abstraktā stila klasiku. Tā ir aptuveni pusotru metru augsta modulēta pulētas bronzas kolonna, kurai nav ārējas līdzības ar putnu. Muitas amatpersonas kategoriski atteicās atzīt Brancusi abstraktos darbus par mākslas darbiem. Viņi tos ievietoja sadaļā “Slimnīcas metāla piederumi un sadzīves priekšmeti” un uzlika tiem lielu muitas nodokli. Sašutis Brancusi iesniedza prasību tiesā.

Paražas atbalstīja mākslinieki – Nacionālās akadēmijas biedri, kas aizstāvēja tradicionālās tehnikas mākslā. Tiesā viņi darbojās kā aizstāvības liecinieki un kategoriski uzstāja, ka mēģinājums nosaukt “Putnu” kā mākslas darbu bija vienkārši krāpniecība.
Šis konflikts skaidri parāda, cik grūti ir izmantot jēdzienu “mākslas darbs”. Tēlniecība tradicionāli tiek uzskatīta par tēlotājmākslas veidu. Bet skulpturāla attēla līdzības pakāpe ar oriģinālu var atšķirties ļoti plašās robežās. Un kurā brīdī skulpturāls tēls, arvien vairāk attālinoties no oriģināla, pārstāj būt mākslas darbs un kļūst par “metāla trauku”? Uz šo jautājumu ir tikpat grūti atbildēt kā uz jautājumu, kur ir robeža starp māju un tās drupām, starp zirgu ar asti un zirgu bez astes utt. Starp citu, modernisti pārsvarā ir pārliecināti, ka tēlniecība ir izteiksmīgas formas objekts un tai nav jābūt tēlam.

Tādējādi neprecīzu jēdzienu apstrāde prasa zināmu piesardzību. Vai nav labāk no tiem atteikties pavisam?

Vācu filozofs E. Huserls sliecās no zināšanām pieprasīt tādu ārkārtēju stingrību un precizitāti, kāda nav sastopama pat matemātikā. Šajā sakarā Huserla biogrāfi ironiski atceras atgadījumu, kas ar viņu notika bērnībā. Viņam iedeva pildspalvu nazi, un, nolēmis padarīt asmeni ārkārtīgi asu, viņš to uzasināja, līdz no asmens vairs nekas nebija palicis pāri.
Daudzās situācijās priekšroka dodama precīzākiem jēdzieniem, nevis neprecīziem. Parastā vēlme precizēt lietotos jēdzienus ir diezgan pamatota. Bet tam, protams, ir jābūt savām robežām. Pat zinātnes valodā ievērojama daļa jēdzienu ir neprecīzi. Un tas nav saistīts ar atsevišķu zinātnieku subjektīvām un nejaušām kļūdām, bet gan ar zinātnisko zināšanu būtību. Dabiskajā valodā lielākā daļa neprecīzu jēdzienu; tas cita starpā liecina par viņa elastību un slēpto spēku. Ikviens, kurš no visiem jēdzieniem pieprasa ārkārtīgu precizitāti, riskē palikt bez valodas. “Atņem vārdiem jebkādu neskaidrību, visu nenoteiktību,” rakstīja franču estētiķis Ž. Žubērs, “pārvērtiet tos... par viencipara skaitļiem - spēle atstās runu, un līdz ar to daiļrunība un dzeja: viss kustīgais un mainīgais dvēselē. , nevarēs atrast savu izteiksmi. Bet ko es saku: atņemt... Teikšu vēl. Atņem vārdam jebkādu neprecizitāti, un tev pat atņems aksiomas.
Gan loģiķi, gan matemātiķi ilgu laiku nepievērsa uzmanību grūtībām, kas saistītas ar neskaidriem jēdzieniem un tiem atbilstošajām kopām. Jautājums tika uzdots šādi: jēdzieniem jābūt precīziem, un viss neskaidrais nav nopietnas intereses vērts. Tomēr pēdējās desmitgadēs šī pārāk stingrā attieksme ir zaudējusi savu pievilcību. Ir izveidotas loģiskās teorijas, kas īpaši ņem vērā argumentācijas unikalitāti ar neprecīziem jēdzieniem.
Aktīvi attīstās matemātiskā teorija par tā sauktajām izplūdušajām kopām, slikti definētām objektu kolekcijām.
Neprecizitātes problēmu analīze ir solis ceļā uz loģikas tuvināšanu parastās domāšanas praksei. Un mēs varam pieņemt, ka tas dos daudz vairāk interesantu rezultātu.

Induktīvās loģikas paradoksi

Iespējams, nav nevienas loģikas nozares, kurai nebūtu savu paradoksu.
Induktīvajai loģikai ir savi paradoksi, pret kuriem aktīvi, bet līdz šim bez īpašiem panākumiem, ir cīnīties gandrīz pusgadsimtu. Īpaši interesants ir amerikāņu filozofa K. Hempela atklātais apstiprinājuma paradokss. Ir dabiski pieņemt, ka vispārīgos noteikumus, jo īpaši zinātniskos likumus, apstiprina to pozitīvie piemēri. Ja ņemam vērā, teiksim, apgalvojumu “Visi A ir B”, tad tā pozitīvie piemēri būs objekti, kuriem ir īpašības A un B. Jo īpaši apgalvojuma “Visas vārnas ir melnas” atbalsta piemēri ir objekti, kas abi ir kraukļi. un melns. Tomēr šis apgalvojums ir līdzvērtīgs apgalvojumam “Visas lietas, kas nav melnas, nav vārnas”, un pēdējā apstiprinājumam ir jābūt arī pirmā apstiprinājumam. Bet “Viss, kas nav melns, nav vārna” apstiprina katrs gadījums, kad ne-melns objekts nav vārna. Tāpēc izrādās, ka novērojumi “Govs ir balta”, “Kurpes ir brūnas” utt. apstipriniet apgalvojumu "Visas vārnas ir melnas."

No šķietami nevainīgām telpām izriet negaidīts paradoksāls rezultāts.

Normu loģikā bažas rada virkne tās likumu. Kad tie ir formulēti jēgpilnos terminos, kļūst acīmredzama to neatbilstība parastajiem priekšstatiem par to, kas ir pareizi un kas ir aizliegts. Piemēram, viens no likumiem saka, ka no rīkojuma "Nosūtiet vēstuli!" seko rīkojums “Nosūti vēstuli vai sadedzini!”.
Cits likums nosaka, ka, ja cilvēks ir pārkāpis kādu no saviem pienākumiem, viņš iegūst tiesības darīt visu, ko vēlas. Mūsu loģiskā intuīcija nevēlas samierināties ar šāda veida “nepieciešamības likumiem”.
Zināšanu loģikā intensīvi tiek apspriests loģiskās visuzināšanas paradokss. Viņš apgalvo, ka cilvēks zina visas loģiskās sekas, kas izriet no ieņemamajām pozīcijām. Piemēram, ja cilvēks zina piecus Eiklida ģeometrijas postulātus, tad viņš zina visu šo ģeometriju, jo tas izriet no tiem. Bet tā nav taisnība. Cilvēks var piekrist postulātiem un tajā pašā laikā nespēt pierādīt Pitagora teorēmu un tāpēc šaubīties, vai tā vispār ir patiesa.

§ 6. Kas ir loģiskais paradokss

Nav izsmeļoša loģisko paradoksu saraksta, un tas arī nav iespējams.
Pārrunātie paradoksi ir tikai daļa no visiem līdz šim atklātajiem. Iespējams, ka nākotnē tiks atklāti daudzi citi paradoksi un pat pilnīgi jauni to veidi. Pats paradoksa jēdziens nav tik definēts, lai būtu iespējams sastādīt vismaz jau zināmo paradoksu sarakstu.
“Kopu teorētiskie paradoksi ir ļoti nopietna problēma, tomēr ne matemātikai, bet gan loģikai un zināšanu teorijai,” raksta austriešu matemātiķis un loģiķis K. Gēdels. "Loģika ir konsekventa. Nav loģisku paradoksu,” saka matemātiķis D. Bočvars. Šāda veida neatbilstības dažreiz ir nozīmīgas, dažreiz verbālas. Lieta lielā mērā ir atkarīga no tā, kas tieši ir domāts ar loģisku paradoksu.

Loģisko paradoksu unikalitāte

Loģiskā vārdnīca tiek uzskatīta par nepieciešamo loģisko paradoksu iezīmi.
Paradoksus, kas klasificēti kā loģiski, ir jāformulē loģiski. Tomēr loģikā nav skaidru kritēriju terminu sadalīšanai loģiskajos un neloģiskajos. Loģika, kas nodarbojas ar argumentācijas pareizību, cenšas līdz minimumam reducēt jēdzienus, no kuriem ir atkarīgs praktiski pielietoto secinājumu pareizība. Bet šis minimums nav viennozīmīgi iepriekš noteikts. Turklāt neloģiskus apgalvojumus var formulēt loģiski. To, vai konkrētais paradokss izmanto tikai tīri loģiskas premisas, ne vienmēr ir iespējams viennozīmīgi noteikt.
Loģiskie paradoksi nav strikti nodalīti no visiem pārējiem paradoksiem, tāpat kā pēdējie nav skaidri nošķirti no visa, kas nav paradoksāls un atbilst valdošajiem priekšstatiem. Loģisko paradoksu izpētes sākumā šķita, ka tos var identificēt, pārkāpjot kādu, vēl neizpētītu loģikas noteikumu vai noteikumu. Īpaši aktīvi uz šāda noteikuma lomu pretendēja B. Rasela ieviestais apburtā loka princips. Šis princips nosaka, ka objektu kolekcija nevar saturēt elementus, kurus var definēt tikai šī pati kolekcija.
Visiem paradoksiem ir viena kopīga īpašība – pašpiemērojamība jeb cirkularitāte. Katrā no tiem attiecīgo objektu raksturo noteikta objektu kopa, pie kuras tas pats pieder. Ja mēs izceļam, piemēram, visviltīgāko cilvēku, mēs to darām ar cilvēku kopuma palīdzību, kuriem šī persona pieder. Un, ja mēs sakām: “Šis apgalvojums ir nepatiess”, mēs raksturojam attiecīgo apgalvojumu, atsaucoties uz visu nepatieso apgalvojumu kopumu, kurā tas ir ietverts.

Visos paradoksos notiek jēdzienu pašpielietojamība, kas nozīmē, ka notiek it kā kustība pa apli, kas galu galā noved pie sākuma punkta. Cenšoties raksturot mūs interesējošo objektu, mēs pievēršamies objektu kopumam, kas to ietver. Taču izrādās, ka tam pašam konkrētajam objektam ir vajadzīgs attiecīgais objekts un bez tā nav skaidri saprotams. Šajā lokā, iespējams, slēpjas paradoksu avots.
Situāciju gan sarežģī fakts, ka šāds loks ir sastopams daudzos pilnīgi neparadoksālos argumentos. Circular ir milzīgs klāsts no visizplatītākajiem, nekaitīgākajiem un tajā pašā laikā ērtākajiem izteiksmes veidiem. Piemēri, piemēram, "lielākā no visām pilsētām", "mazākais no visiem naturālajiem skaitļiem", "viens no dzelzs atoma elektroniem" utt., parāda, ka ne katrs pašpiemērojamības gadījums izraisa pretrunas un ka tā ir svarīga ne tikai parastajā valodā, bet arī zinātnes valodā.
Tāpēc nepietiek tikai ar atsauci uz pašpiemērojamu jēdzienu izmantošanu, lai diskreditētu paradoksus. Ir vajadzīgi daži papildu kritēriji, lai nošķirtu pašpiemērojamību, radot paradoksu, no visiem citiem tās gadījumiem.
Šajā jautājumā bija daudz priekšlikumu, taču veiksmīgs cirkularitātes skaidrojums tā arī netika atrasts. Izrādījās, ka cirkularitāti nav iespējams raksturot tā, ka katrs cirkulārais spriešana noved pie paradoksa un katrs paradokss ir kāda cirkulāra spriešanas rezultāts.
Mēģinājums atrast kādu konkrētu loģikas principu, kura pārkāpšana būtu visu loģisko paradoksu atšķirīga iezīme, ne pie kā noteikta nenoveda.
Neapšaubāmi, noderētu kāda paradoksu klasifikācija, sadalot tos tipos un tipos, sagrupējot dažus paradoksus un pretstatējot citiem. Tomēr arī šajā jautājumā nekas paliekošs netika panākts.

Angļu loģiķis F. Remzijs, kurš nomira 1930. gadā, kad viņam vēl nebija divdesmit septiņi gadi, ierosināja visus paradoksus sadalīt sintaktiskajos un semantiskajos. Pirmajā ietilpst, piemēram, Rasela paradokss, otrajā – “Melis”, Grelinga u.c. paradoksi.
Pēc Remzija domām, pirmās grupas paradoksi satur tikai loģikai vai matemātikai piederīgus jēdzienus. Pie pēdējiem pieder tādi jēdzieni kā “patiesība”, “definējamība”, “nosaukšana”, “valoda”, kas nav strikti matemātiski, bet drīzāk saistīti ar valodniecību vai pat zināšanu teoriju. Šķiet, ka semantiskie paradoksi ir radušies nevis kādas loģikas kļūdas dēļ, bet gan dažu neloģisku jēdzienu neskaidrības vai neskaidrības dēļ, tāpēc to radītās problēmas attiecas uz valodu un tās jārisina valodniecībai.

Remzijam šķita, ka matemātiķiem un loģiķiem nav jāinteresējas par semantiskiem paradoksiem. Tomēr vēlāk izrādījās, ka daži no nozīmīgākajiem mūsdienu loģikas rezultātiem tika iegūti tieši saistībā ar šo neloģisko paradoksu padziļinātu izpēti.
Remzija piedāvātais paradoksu dalījums sākumā tika plaši izmantots un saglabā savu nozīmi arī mūsdienās. Tajā pašā laikā kļūst arvien skaidrāks, ka šis dalījums ir diezgan neskaidrs un galvenokārt balstās uz piemēriem, nevis uz abu paradoksu grupu padziļinātu salīdzinošu analīzi. Semantiskie jēdzieni tagad ir saņēmuši precīzas definīcijas, un ir grūti neatzīt, ka šie jēdzieni patiešām ir saistīti ar loģiku. Attīstoties semantikai, kas definē savus pamatjēdzienus kopu teorijas izteiksmē, Remzija izteiktā atšķirība kļūst arvien neskaidrāka.

Paradoksi un mūsdienu loģika

Kādi secinājumi loģikai izriet no paradoksu esamības?
Pirmkārt, liela skaita paradoksu klātbūtne runā par loģikas kā zinātnes spēku, nevis par tās vājumu, kā varētu šķist.

Nav nejaušība, ka paradoksu atklāšana sakrita ar mūsdienu loģikas intensīvākās attīstības un tās lielākajiem panākumiem periodu.
Pirmie paradoksi tika atklāti vēl pirms loģikas kā īpašas zinātnes rašanās. Viduslaikos tika atklāti daudzi paradoksi. Taču vēlāk tie izrādījās aizmirsti un mūsu gadsimtā tika atklāti no jauna.
Viduslaiku loģiķi nebija informēti par jēdzieniem “kopa” un “kopas elements”, kas zinātnē tika ieviesti tikai 19. gadsimta otrajā pusē. Bet paradoksu izjūta viduslaikos bija tik ļoti noslīpēta, ka jau tolaik tika paustas zināmas bažas par pašpiemērojamiem jēdzieniem. Vienkāršākais piemērs ir jēdziens “būt pašam sev”, kas parādās daudzos pašreizējos paradoksis.
Tomēr šādas bažas, tāpat kā visi brīdinājumi par paradoksiem kopumā, līdz mūsu gadsimtam nebija pietiekami sistemātiskas un noteiktas. Tie neradīja skaidrus priekšlikumus ierasto domāšanas un izteiksmes veidu pārskatīšanai.
Tikai mūsdienu loģika ir izvedusi no aizmirstības pašu paradoksu problēmu un atklājusi vai no jauna atklājusi lielāko daļu specifisko loģisko paradoksu. Viņa arī parādīja, ka tradicionāli loģikas pētītās domāšanas metodes ir pilnīgi nepietiekamas, lai novērstu paradoksus, un norādīja uz principiāli jaunām metodēm to risināšanai.
Paradoksi uzdod svarīgu jautājumu: kur patiesībā mūs pieviļ dažas konvencionālās koncepcijas veidošanas metodes un spriešanas metodes? Galu galā tie šķita pilnīgi dabiski un pārliecinoši, līdz izrādījās, ka tie ir paradoksāli.

Paradoksi grauj pārliecību, ka parastās teorētiskās domāšanas metodes pašas par sevi un bez īpašas kontroles pār tām nodrošina drošu virzību uz patiesību.
Pieprasot radikālas izmaiņas pārāk lētticīgā pieejā teoretizēšanai, paradoksi atspoguļo asu loģikas kritiku tās naivajā, intuitīvajā formā. Viņiem ir faktora loma, kas kontrolē un nosaka ierobežojumus deduktīvo loģikas sistēmu veidošanai. Un šo lomu var salīdzināt ar eksperimenta lomu, kas pārbauda hipotēžu pareizību tādās zinātnēs kā fizika un ķīmija un liek veikt izmaiņas šajās hipotēzēs.
Paradokss teorijā runā par tās pamatā esošo pieņēmumu nesaderību. Tas darbojas kā savlaicīgi atklāts slimības simptoms, bez kura to varēja neievērot.
Protams, slimība izpaužas visdažādākajos veidos, un galu galā tā var atklāties bez tādiem akūtiem simptomiem kā paradoksi. Teiksim, kopu teorijas pamati būtu analizēti un noskaidroti, pat ja šajā jomā nebūtu atklāti paradoksi. Taču nebūtu bijis tik asuma un steidzamības, ar kādu tajā atklātie paradoksi radīja kopu teorijas pārskatīšanas problēmu.

Paradoksiem ir veltīta plaša literatūra, un ir ierosināts liels skaits skaidrojumu. Bet neviens no šiem skaidrojumiem nav vispārpieņemts, un nav pilnīgas vienošanās par paradoksu izcelsmi un veidiem, kā no tiem atbrīvoties.
"Pēdējo sešdesmit gadu laikā simtiem grāmatu un rakstu ir veltīti paradoksu atrisināšanas mērķim, taču rezultāti ir pārsteidzoši vāji, salīdzinot ar ieguldītajām pūlēm," raksta A. Frenkels. "Šķiet," H. Karijs noslēdz savu paradoksu analīzi, "ka ir nepieciešama pilnīga loģikas reforma, un matemātiskā loģika var kļūt par galveno instrumentu šīs reformas veikšanai."

Ja pēc šī krājuma izlasīšanas neesat galīgi apmulsis, tad domājat nepietiekami skaidri.
Kopš seniem laikiem zinātnieki un domātāji ir mīlējuši izklaidēt sevi un savus kolēģus, izvirzot neatrisināmas problēmas un formulējot dažādus paradoksus. Daži no šiem domu eksperimentiem joprojām ir aktuāli tūkstošiem gadu, kas norāda uz daudzu populārzinātnisku modeļu nepilnībām un "caurumiem" vispārpieņemtajās teorijās, kuras jau sen tiek uzskatītas par fundamentālām. Aicinām pārdomāt interesantākos un pārsteidzošākos paradoksus, kas, kā tagad mēdz teikt, “izsvilināja prātus” vairāk nekā vienai loģiķu, filozofu un matemātiķu paaudzei.
Aporija "Ahillejs un bruņurupucis"
Ahileja un bruņurupuča paradokss ir viena no aporijām (loģiski pareizi, bet pretrunīgi apgalvojumi), ko 5. gadsimtā pirms mūsu ēras formulējis sengrieķu filozofs Zenons no Elejas. Tās būtība ir šāda: leģendārais varonis Ahillejs nolēma sacensties sacīkstēs ar bruņurupuci. Kā zināms, bruņurupuči nav pazīstami ar savu veiklību, tāpēc Ahillejs pretiniekam deva 500 m priekšu. Kad bruņurupucis pārvar šo attālumu, varonis dodas vajāšanā ar ātrumu, kas ir 10 reizes lielāks, tas ir, kamēr bruņurupucis rāpo 50 m, Ahillejs paspēj noskriet viņam doto 500 m handikapu . Tad skrējējs pārvar nākamos 50 m, bet šajā laikā bruņurupucis rāpo vēl 5 m, šķiet, ka Ahillejs grasās viņu panākt, bet sāncense joprojām ir priekšā un, kamēr viņš skrien 5 m, viņai izdodas tikt uz priekšu. vēl pusmetrs un tā tālāk. Attālums starp viņiem bezgalīgi samazinās, taču teorētiski varonim nekad neizdodas panākt lēno bruņurupuci, tas nav daudz, bet vienmēr ir viņam priekšā.

Protams, no fizikas viedokļa paradoksam nav jēgas - ja Ahillejs kustēsies daudz ātrāk, viņš jebkurā gadījumā tiks uz priekšu, taču Zenons, pirmkārt, ar savu argumentāciju vēlējās pierādīt, ka idealizētie matemātiskie jēdzieni “Punkts telpā” un “laika moments” nav pārāk piemēroti pareizai pielietošanai reālā kustībā. Aporia atklāj neatbilstību starp matemātiski pamatoto ideju, ka telpas un laika intervālus, kas nav nulles, var sadalīt bezgalīgi (tāpēc bruņurupucim vienmēr jāpaliek priekšā) un realitāti, kurā varonis, protams, uzvar sacīkstēs.
Laika cilpas paradokss
Paradoksi, kas saistīti ar ceļošanu laikā, jau sen ir bijuši iedvesmas avots zinātniskās fantastikas rakstniekiem un zinātniskās fantastikas filmu un seriālu veidotājiem. Laika cilpas paradoksiem ir vairākas iespējas; viens no vienkāršākajiem un grafiskākajiem šādas problēmas piemēriem ir sniegts Masačūsetsas universitātes profesora Deivida Tomija grāmatā “Jaunie ceļotāji”.
Iedomājieties, ka kāds ceļotājs laikā nopirka Šekspīra Hamleta eksemplāru grāmatnīcā. Pēc tam viņš devās uz Angliju Jaunavas karalienes Elizabetes I laikā un, atradis Viljamu Šekspīru, pasniedza viņam grāmatu. Viņš to pārrakstīja un publicēja kā savu darbu. Paiet simtiem gadu, Hamlets tiek tulkots desmitiem valodu, bezgalīgi pārpublicēts, un viens no eksemplāriem nonāk tajā pašā grāmatnīcā, kur laika ceļotājs to nopērk un atdod Šekspīram, kurš izgatavo kopiju utt. Kas šajā gadījumā ir jāuzskata par nemirstīgas traģēdijas autoru?
Meitenes un zēna paradokss
Varbūtību teorijā šo paradoksu sauc arī par "Smita kunga bērniem" vai "Smita kundzes problēmu". To pirmo reizi formulēja amerikāņu matemātiķis Martins Gārdners vienā no žurnāla Scientific American numuriem. Zinātnieki ir strīdējušies par paradoksu vairākus gadu desmitus, un ir vairāki veidi, kā to atrisināt. Apdomājot problēmu, varat nākt klajā ar savu risinājumu.
Ģimenē aug divi bērni un droši zināms, ka viens no viņiem ir zēns. Kāda ir varbūtība, ka arī otrs bērns ir vīrietis? No pirmā acu uzmetiena atbilde ir diezgan acīmredzama - 50/50, vai nu viņš tiešām ir puika vai meitene, izredzēm jābūt vienādām. Problēma ir tā, ka divu bērnu ģimenēs ir iespējamas četras bērnu dzimumu kombinācijas - divas meitenes, divi zēni, vecāks zēns un jaunāka meitene, un otrādi - vecāka meitene un jaunāks zēns. Pirmo var izslēgt, jo viens no bērniem noteikti ir zēns, taču šajā gadījumā ir palikuši trīs iespējamie varianti, nevis divi, un varbūtība, ka arī otrs bērns ir zēns, ir viena iespēja no trim.
Jourdain paradokss ar karti
Problēmu, ko 20. gadsimta sākumā ierosināja britu loģiķis un matemātiķis Filips Džordēns, var uzskatīt par vienu no slavenā melu paradoksa paveidiem.
Iedomājieties, ka turat rokās pastkarti, uz kuras rakstīts: "Pastkartes aizmugurē esošais apgalvojums ir patiess." Apgriežot kartīti, parādās frāze: “Paziņojums otrā pusē ir nepatiess”. Kā jūs saprotat, pastāv pretruna: ja pirmais apgalvojums ir patiess, tad arī otrais ir patiess, bet šajā gadījumā pirmajam ir jābūt nepatiesam. Ja pastkartes pirmā puse ir nepatiesa, tad arī frāze otrajā nevar tikt uzskatīta par patiesu, kas nozīmē, ka pirmais apgalvojums atkal kļūst patiess... Vēl interesantāka melu paradoksa versija ir nākamajā rindkopā.
Sofistika "Krokodils"
Upes krastā stāv māte un bērns, pēkšņi viņiem piepeld krokodils un ievelk bērnu ūdenī. Nemierināmā māte lūdz atdot savu bērnu, uz ko krokodils atbild, ka piekrīt atdot viņu neskartu, ja sieviete pareizi atbildēs uz viņa jautājumu: "Vai viņš atdos savu bērnu?" Skaidrs, ka sievietei ir divi atbilžu varianti – jā vai nē. Ja viņa apgalvos, ka krokodils viņai iedos bērnu, tad viss ir atkarīgs no dzīvnieka - uzskatot atbildi par patiesu, nolaupītājs atbrīvos bērnu, bet, ja saka, ka māte kļūdījās, tad viņa bērnu neredzēs. , saskaņā ar visiem līguma noteikumiem.
Sievietes noraidošā atbilde visu būtiski sarežģī - ja tā izrādīsies pareiza, nolaupītājam jāizpilda darījuma nosacījumi un bērns jāatbrīvo, taču līdz ar to mātes atbilde neatbildīs realitātei. Lai nodrošinātu šādas atbildes nepatiesību, krokodilam ir nepieciešams atdot bērnu mātei, taču tas ir pretrunā ar līgumu, jo viņas kļūdai vajadzētu atstāt bērnu pie krokodila.
Ir vērts atzīmēt, ka krokodila piedāvātais darījums satur loģisku pretrunu, tāpēc viņa solījumu nav iespējams izpildīt. Par šī klasiskā sofisma autoru tiek uzskatīts orators, domātājs un politiķis Sirakūzu Koraks, kurš dzīvoja 5. gadsimtā pirms mūsu ēras.
Aporija "Dichotomija"

Vēl viens paradokss no Zeno of Elea, kas parāda idealizētā matemātiskā kustības modeļa nepareizību. Problēmu var uzdot šādi: pieņemsim, ka esat nolēmis izstaigāt kādu ielu savā pilsētā no sākuma līdz beigām. Lai to izdarītu, jums jāpārvar tā pirmā puse, pēc tam puse no atlikušās puses, pēc tam puse no nākamā segmenta utt. Citiem vārdiem sakot, jūs ejat pusi no visa attāluma, tad ceturtdaļu, vienu astoto, vienu sešpadsmito daļu - ceļa posmu skaits samazinās līdz bezgalībai, jo jebkuru atlikušo daļu var sadalīt divās daļās, kas nozīmē, ka nav iespējams iet visu ceļu. Formulējot no pirmā acu uzmetiena nedaudz tālu paradoksu, Zenons vēlējās parādīt, ka matemātiskie likumi ir pretrunā ar realitāti, jo patiesībā jūs varat viegli pārvarēt visu attālumu, neatstājot pēdas.
Aporija "Lidojošā bulta"
Slavenais Zenona no Elejas paradokss skar dziļākās pretrunas zinātnieku priekšstatos par kustības un laika būtību. Aporija ir formulēta šādi: no loka izšauta bulta paliek nekustīga, jo jebkurā brīdī tā atrodas miera stāvoklī un nekustas. Ja katrā laika brīdī bulta atrodas miera stāvoklī, tad tā vienmēr atrodas miera stāvoklī un nekustas vispār, jo nav laika momenta, kurā bulta kustas telpā.

Izcili cilvēces prāti jau gadsimtiem ilgi ir mēģinājuši atrisināt lidojošās bultas paradoksu, taču no loģiskā viedokļa tas ir sastādīts pilnīgi pareizi. Lai to atspēkotu, jāpaskaidro, kā ierobežots laika periods var sastāvēt no bezgala daudzu laika momentu – to nespēja pierādīt pat Aristotelis, kurš pārliecinoši kritizēja Zenona aporiju. Aristotelis pareizi norādīja, ka laika periodu nevar uzskatīt par noteiktu nedalāmu izolētu momentu summu, taču daudzi zinātnieki uzskata, ka viņa pieeja nav dziļa un neatspēko paradoksa esamību. Ir vērts atzīmēt, ka, izvirzot lidojošas bultas problēmu, Zenons necentās atspēkot kustības iespējamību kā tādu, bet gan identificēt pretrunas ideālistiskajos matemātiskajos jēdzienos.
Galileja paradokss
Savos Diskursos un matemātiskajos pierādījumos par divām jaunām zinātnes nozarēm Galileo Galilejs ierosināja paradoksu, kas parāda bezgalīgo kopu dīvainās īpašības. Zinātnieks formulēja divus pretrunīgus spriedumus. Pirmkārt, ir skaitļi, kas ir citu veselu skaitļu kvadrāti, piemēram, 1, 9, 16, 25, 36 utt. Ir arī citi skaitļi, kuriem šī īpašība nav - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 un tamlīdzīgi. Tādējādi kopējam perfekto kvadrātu un parasto skaitļu skaitam jābūt lielākam par perfekto kvadrātu skaitu atsevišķi. Otrais priekšlikums: katram naturālajam skaitlim ir precīzs kvadrāts, un katram kvadrātam ir vesela kvadrātsakne, tas ir, kvadrātu skaits ir vienāds ar naturālo skaitļu skaitu.
Pamatojoties uz šo pretrunu, Galileo secināja, ka argumentācija par elementu skaitu tika piemērota tikai ierobežotām kopām, lai gan vēlāk matemātiķi ieviesa kopas jaudas jēdzienu - ar tās palīdzību tika pierādīts Galileja otrā sprieduma derīgums bezgalīgām kopām.
Kartupeļu maisa paradokss

Pieņemsim, ka kādam zemniekam ir kartupeļu maiss, kas sver tieši 100 kg. Izpētījis tā saturu, zemnieks atklāj, ka maiss glabāts mitros apstākļos - 99% no tā masas ir ūdens un 1% citas kartupeļos esošās vielas. Viņš nolemj kartupeļus nedaudz pažāvēt, lai ūdens saturs tajos nokristu līdz 98%, un pārvieto maisu uz sausu vietu. Nākamajā dienā izrādās, ka tiešām viens litrs (1 kg) ūdens ir iztvaikojis, bet somas svars samazinājies no 100 uz 50 kg, kā tas var būt? Aprēķināsim - 99% no 100 kg ir 99 kg, kas nozīmē, ka sausā atlikuma masas attiecība pret ūdens masu sākotnēji bija vienāda ar 1/99. Pēc žāvēšanas ūdens veido 98% no maisa kopējās masas, kas nozīmē, ka sausā atlikuma masas attiecība pret ūdens masu tagad ir 1/49. Tā kā atlikuma masa nav mainījusies, atlikušais ūdens sver 49 kg.
Protams, vērīgs lasītājs aprēķinos uzreiz atklās rupju matemātisku kļūdu - iedomāto komisko “kartupeļu maisu paradoksu” var uzskatīt par izcilu piemēru tam, kā ar šķietami “loģisku” un “zinātniski pamatotu” spriešanas palīdzību, izdomāts, ka izdomāts, ka ir sācies spārns. burtiski no nulles var izveidot teoriju, kas ir pretrunā veselajam saprātam.
Kraukļa paradokss
Problēma pazīstama arī kā Hempela paradokss – savu otro nosaukumu tā ieguvusi par godu vācu matemātiķim Karlam Gustavam Hempelam, tās klasiskās versijas autoram. Problēma ir formulēta pavisam vienkārši: katrs krauklis ir melns. No tā izriet, ka viss, kas nav melns, nevar būt krauklis. Šo likumu sauc par loģisko pretrunu, tas ir, ja noteiktam priekšnoteikumam “A” ir sekas “B”, tad “B” noliegums ir līdzvērtīgs “A” noliegumam. Ja cilvēks ierauga melno kraukli, tas pastiprina viņa pārliecību, ka visi kraukļi ir melni, kas ir diezgan loģiski, taču saskaņā ar pretrunu un indukcijas principu ir loģiski apgalvot, ka novērojot objektus, kas nav melni (teiksim, sarkani). āboli) arī pierāda, ka visas vārnas ir nokrāsotas melnā krāsā. Proti, tas, ka cilvēks dzīvo Sanktpēterburgā, pierāda, ka viņš nedzīvo Maskavā.
No loģiskā viedokļa paradokss izskatās nevainojams, taču tas ir pretrunā ar reālo dzīvi – sarkanie āboli nekādi nevar apstiprināt faktu, ka visas vārnas ir melnas.

Ronis

Interesanti arī:

Pārsteigums sievai 8. martā

Kā pārsteigt draugu: oriģinālākās dāvanu idejas Jaunajam gadam

Kāju kopšana vasarā: lai jūsu pēdas izskatās vislabākās Kā pārvarēt pēdu pietūkumu

Mēs iesakām izlasīt:

2023-11-02 00:25:59

Kā iemācīties dejot modernās dejas mājās?

2023-11-02 00:25:59

Foršas DIY Helovīna frizūras Kā krāsot matus Helovīnam

2023-11-01 00:20:22

Tiešo izglītojošo aktivitāšu kopsavilkums logopēdiskajā grupā sagatavošanās skolai “Mēs esam topošie skolēni!

Turpinot tēmu:

Matu griezumi un frizūras

Pirmsskolas vecuma bērnu vārdnīcas izstrādes metodes Vārdnīcas veidošanas metodes

Vārdnīcas darbs bērnudārzā ir sistemātiska bērnu aktīvā vārdu krājuma paplašināšana, izmantojot vārdus, kas viņiem ir nepazīstami vai grūti. Zināms, ka, paplašinot pirmsskolas vecuma bērnu vārdu krājumu...