4 مربع به چه معناست. مربع سریع اعداد بدون ماشین حساب. فرمول ضرب مختصر

مربع یک عدد حاصل یک عمل ریاضی است که آن عدد را به توان دوم می رساند یعنی آن عدد را یک بار در خودش ضرب می کند. مرسوم است که چنین عملیاتی را به شرح زیر تعیین کنید: Z2، جایی که Z عدد ما است، 2 درجه "مربع" است. مقاله ما به شما می گوید که چگونه مربع یک عدد را محاسبه کنید.

مربع را محاسبه کنید

اگر عدد ساده و کوچک باشد، انجام آن یا در ذهن یا با استفاده از جدول ضرب، که برای همه ما کاملاً شناخته شده است، آسان است. مثلا:

42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.

اگر عدد بزرگ یا "بزرگ" است، می توانید از جدول مربع هایی که همه در مدرسه یاد گرفته اند یا از ماشین حساب استفاده کنید. مثلا:

122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.

همچنین برای به دست آوردن نتیجه دلخواه برای دو مثال بالا می توانید این اعداد را در یک ستون ضرب کنید.

برای بدست آوردن مربع هر کسر باید:

1. کسری را (اگر کسری دارای جزء صحیح یا اعشاری باشد) به کسری نامناسب تبدیل کنید. اگر کسری درست باشد، پس نیازی به ترجمه نیست.
2. مخرج را در مخرج و صورت را در صورت کسری ضرب کنید.

مثلا:

(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.

در هر یک از این گزینه ها، ساده ترین راه استفاده از ماشین حساب است. برای این شما نیاز دارید:

1. یک عدد روی صفحه کلید تایپ کنید
2. روی دکمه با علامت ضرب کلیک کنید
3. دکمه ای را با علامت "برابر" فشار دهید

شما همچنین می توانید همیشه از موتورهای جستجو در اینترنت مانند، به عنوان مثال، گوگل استفاده کنید. برای این کار کافیست کوئری مناسب را در قسمت موتور جستجو وارد کرده و نتیجه آماده دریافت کنید.

به عنوان مثال: برای محاسبه مربع عدد 9.17، باید در موتور جستجو 9.17 * 9.17 یا 9.17 ^ 2 یا "9.17 مربع" تایپ کنید. در هر یک از این گزینه ها، موتور جستجو نتیجه صحیح را به شما می دهد - 84.0889.

اکنون می دانید که چگونه مربع هر عددی را که به آن علاقه دارید محاسبه کنید، اعم از عدد صحیح یا کسری، بزرگ یا کوچک!

فرمول ضرب مختصر

مطالعه فرمول های ضرب اختصاری: مربع مجموع و مربع تفاضل دو عبارت. تفاوت مربع های دو عبارت؛ مکعب مجموع و مکعب اختلاف دو عبارت; مجموع و تفاوت مکعب های دو عبارت.

استفاده از فرمول ضرب اختصاری هنگام حل مثال.

برای ساده سازی عبارات، فاکتورسازی چند جمله ای ها و کاهش چند جمله ای ها به یک فرم استاندارد، از فرمول های ضرب اختصاری استفاده می شود. فرمول های ضرب اختصاری که باید از روی قلب بدانید.

بگذارید a، b R. سپس:

1. مجذور مجموع دو عبارت استمربع عبارت اول به اضافه دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به علاوه مربع عبارت دوم.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. مربع اختلاف دو عبارت استمربع عبارت اول منهای دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به اضافه مربع عبارت دوم.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. تفاوت مربع هادو عبارت برابر است با حاصلضرب تفاضل این عبارات و مجموع آنها.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. مکعب جمعاز دو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول به اضافه سه برابر مربع عبارت اول ضربدر دوم به علاوه سه برابر حاصلضرب عبارت اول ضربدر دومی به علاوه مکعب عبارت دوم.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. مکعب تفاوتاز دو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول منهای سه برابر حاصل ضرب مجذور عبارت اول و دومی به علاوه سه برابر حاصلضرب عبارت اول و مربع دوم منهای مکعب عبارت دوم.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. مجموع مکعب هادو عبارت برابر است با حاصل ضرب مجموع عبارت اول و دوم در مجذور ناقص اختلاف این عبارات.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. تفاوت مکعب هااز دو عبارت برابر است با حاصل ضرب اختلاف عبارت اول و دوم در مجذور ناقص مجموع این عبارات.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

استفاده از فرمول ضرب اختصاری هنگام حل مثال.

مثال 1

محاسبه

الف) با استفاده از فرمول مجذور مجموع دو عبارت، داریم

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ب) با استفاده از فرمول مجذور اختلاف دو عبارت بدست می آوریم

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

مثال 2

محاسبه

با استفاده از فرمول اختلاف مربعات دو عبارت به دست می آوریم

مثال 3

ساده سازی بیان

(x - y) 2 + (x + y) 2

از فرمول های مجذور مجموع و مجذور تفاضل دو عبارت استفاده می کنیم

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

فرمول ضرب اختصاری در یک جدول:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

امروز یاد خواهیم گرفت که چگونه عبارات بزرگ را بدون ماشین حساب به سرعت مربع کنیم. منظورم از بزرگ اعداد بین ده تا صد است. عبارات بزرگ در مسائل واقعی بسیار نادر هستند، و شما قبلاً می دانید که چگونه مقادیر کمتر از ده را بشمارید، زیرا این یک جدول ضرب منظم است. مطالب درس امروز برای دانش آموزان نسبتاً با تجربه مفید خواهد بود ، زیرا دانش آموزان تازه کار به سادگی از سرعت و اثربخشی این تکنیک قدردانی نمی کنند.

برای شروع، بیایید به طور کلی بفهمیم که در مورد چه چیزی صحبت می کنیم. به عنوان مثال، من پیشنهاد می کنم که ساخت یک عبارت عددی دلخواه را همانطور که معمولا انجام می دهیم انجام دهیم. فرض کنید 34. ما آن را با ضرب در خودش با یک ستون بالا می بریم:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156)))\]

1156 مربع 34 است.

مشکل این روش را می توان در دو نکته بیان کرد:

1) نیاز به ثبت کتبی دارد.

2) اشتباه کردن در فرآیند محاسبه بسیار آسان است.

امروز یاد خواهیم گرفت که چگونه به سرعت بدون ماشین حساب، شفاهی و عملی بدون خطا ضرب کنیم.

پس بیایید شروع کنیم. برای کار به فرمول مجذور مجموع و تفاضل نیاز داریم. بیایید آنها را بنویسیم:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

این چه چیزی به ما می دهد؟ واقعیت این است که هر مقدار بین 10 و 100 را می توان به عنوان یک عدد $a$ که بر 10 بخش پذیر است و یک عدد $b$ که باقیمانده تقسیم بر 10 است نشان داد.

به عنوان مثال، 28 را می توان به صورت زیر نشان داد:

\[\شروع(تراز)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\پایان (تراز)\]

به همین ترتیب، نمونه های باقی مانده را ارائه می دهیم:

\[\شروع(تراز)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\پایان (تراز)\]

\[\شروع(تراز)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\پایان (تراز)\]

\[\شروع(تراز)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\پایان (تراز)\]

\[\شروع(تراز)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\پایان(تراز)\]

\[\شروع(تراز)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\پایان(تراز)\]

\[\شروع(تراز)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\پایان (تراز)\]

\[\شروع(تراز)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\پایان (تراز)\]

چه چیزی به ما چنین ایده ای می دهد؟ واقعیت این است که با مجموع یا تفاوت می توانیم محاسبات فوق را اعمال کنیم. البته، برای کوتاه کردن محاسبات، برای هر یک از عناصر باید یک عبارت با کوچکترین جمله دوم انتخاب شود. به عنوان مثال، از بین گزینه های $20+8$ و $30-2$، باید گزینه $30-2$ را انتخاب کنید.

به طور مشابه، گزینه هایی را برای نمونه های دیگر انتخاب می کنیم:

\[\شروع(تراز)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\پایان(تراز)\]

\[\شروع(تراز)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\پایان (تراز کردن)\]

\[\شروع(تراز)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\پایان (تراز کردن)\]

\[\شروع(تراز)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\پایان (تراز کردن)\]

\[\شروع(تراز)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\پایان (تراز)\]

\[\شروع(تراز)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\پایان (تراز کردن)\]

\[\شروع(تراز)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\پایان (تراز کردن)\]

\[\شروع(تراز)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\پایان (تراز)\]

چرا باید تلاش کرد تا جمله دوم را در ضرب سریع کاهش داد؟ همه چیز در مورد محاسبات اولیه مجذور مجموع و تفاوت است. واقعیت این است که هنگام حل مسائل واقعی محاسبه عبارت مثبت یا منفی $2ab$ سخت ترین است. و اگر ضریب $a$، مضرب 10، همیشه به راحتی ضرب می شود، آنگاه با ضریب $b$، که عددی از یک تا ده است، بسیاری از دانش آموزان به طور منظم با مشکل مواجه می شوند.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

بنابراین در سه دقیقه ضرب هشت مثال را انجام دادیم. این کمتر از 25 ثانیه در هر عبارت است. در واقع، پس از کمی تمرین، حتی سریعتر حساب خواهید کرد. برای محاسبه هر عبارت دو رقمی بیش از پنج یا شش ثانیه طول نخواهد کشید.

اما این همه ماجرا نیست. برای کسانی که تکنیک نشان داده شده به نظر می رسد به اندازه کافی سریع نیست و به اندازه کافی جالب نیست، من یک روش حتی سریعتر از ضرب را ارائه می کنم، که، با این حال، برای همه کارها کار نمی کند، بلکه فقط برای آنهایی که با یک با مضرب 10 تفاوت دارند. چهار مقدار از این قبیل در درس ما وجود دارد: 51، 21، 81 و 39.

خیلی سریعتر به نظر می رسد، ما قبلاً آنها را به معنای واقعی کلمه در چند خط می شماریم. اما در واقع می توان شتاب گرفت و این کار به صورت زیر انجام می شود. مقدار را یادداشت می کنیم، مضربی از ده، که نزدیکترین مقدار به مقدار مورد نظر است. به عنوان مثال، بیایید 51 را در نظر بگیریم. بنابراین، برای شروع، پنجاه را مطرح می کنیم:

\[{{50}^{2}}=2500\]

مربع کردن مقادیری که مضرب ده هستند بسیار ساده تر است. و اکنون به سادگی پنجاه و 51 را به عبارت اصلی اضافه می کنیم، پاسخ یکسان خواهد بود:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

و به همین ترتیب با تمام اعدادی که با یک تفاوت دارند.

اگر مقدار مورد نظر ما بیشتر از مقداری باشد که فکر می کنیم، اعداد را به مربع حاصل اضافه می کنیم. اگر عدد مورد نظر کمتر باشد، مانند مورد 39، پس هنگام انجام عمل، مقدار باید از مربع کم شود. بیایید بدون استفاده از ماشین حساب تمرین کنیم:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

همانطور که می بینید، در همه موارد پاسخ ها یکسان است. علاوه بر این، این تکنیک برای هر مقدار مجاور قابل استفاده است. مثلا:

\[\شروع(تراز)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\پایان (تراز)\]

در ضمن اصلا لازم نیست محاسبات مجذورات حاصل جمع و تفاوت را به خاطر بسپاریم و از ماشین حساب استفاده کنیم. سرعت کار فراتر از ستایش است. بنابراین، به یاد داشته باشید، تمرین کنید و در عمل استفاده کنید.

امتیاز کلیدی

با استفاده از این تکنیک، می توانید به راحتی هر اعداد طبیعی از 10 تا 100 را ضرب کنید. علاوه بر این، تمام محاسبات به صورت شفاهی، بدون ماشین حساب و حتی بدون کاغذ انجام می شود!

ابتدا مربع های مقادیر مضرب 10 را به خاطر بسپارید:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400،((90)^(2))=8100. \\\پایان (تراز کردن)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\پایان (تراز کردن)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\پایان (تراز کردن)\]

چگونه حتی سریعتر بشماریم

اما این همه ماجرا نیست! با استفاده از این عبارات، می توانید فوراً اعدادی را که "همجوار" با اعداد مرجع هستند، انجام دهید. به عنوان مثال، ما 152 (مقدار مرجع) را می دانیم، اما باید 142 (عددی مجاور که یک عدد کمتر از مقدار مرجع است) را پیدا کنیم. بیا بنویسیم:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\پایان (تراز کردن)\]

لطفا توجه داشته باشید: بدون عرفان! مجذور اعدادی که با 1 تفاوت دارند در واقع با ضرب اعداد مرجع در خودشان با تفریق یا جمع دو مقدار به دست می آیند:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\پایان (تراز کردن)\]

چرا این اتفاق می افتد؟ بیایید فرمول مجذور مجموع (و تفاوت) را بنویسیم. اجازه دهید $n$ مقدار مرجع ما باشد. سپس اینگونه حساب می کنند:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\پایان (تراز کردن)\]

- این فرمول است.

\[\شروع(تراز)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\پایان (تراز کردن)\]

- یک فرمول مشابه برای اعداد بزرگتر از 1.

امیدوارم این تکنیک باعث صرفه جویی در وقت شما در تمام تست ها و امتحانات مهم ریاضی شود. و این همه برای من است. به امید دیدار!