Виды и роль симметрии в возникновении орнаментального образа. Правила построения орнаментальной композиции. Орнамент и законы симметрии Сообщение на тему симметрия в орнаментах

Александров Артём, Макаров Александр

Данная работа содержит теоретический материал и презентацию о видах симметрии в древнерусском орнаменте.

Скачать:

Предварительный просмотр:

СИММЕТРИЯ ДРЕВНЕРУССКОГО ОРНАМЕНТА

Явление симметрии находит многоплановое и многоуровневое выражение в разных науках и видах искусств. Традиционно философское осмысление понятия симметрии происходит на материале естественных наук и математики. Помимо конкретно-научного содержания (математического, физического и т. д.) оно имеет всеобщее онтологическое значение, а также статус категориального определения и используется при описании математических понятий, физических явлений и процессов, различных объектов живой и неживой природы, предметов искусства.

В процессе исторического развития и осмысления понятия симметрии особый этап философско-эстетического анализа симметрии как меры красоты и гармонии мироздания связан с работой выдающегося математика XX века Германа Вейля «Симметрия» (1952) . Вейль под симметрией понимал неизменность (инвариантность) какого-либо объекта при определённого рода преобразованиях: предмет является симметричным в том случае, когда его можно подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования. Автор сделал важное заключение об орнаментальной симметрии: “ Таким образом, имеется 17 существенно различных видов симметрии, которыми может обладать двумерный орнамент с двойным бесконечным отношением…Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики ”…

Говоря о симметрии, характерной для орнамента, в качестве примера обычно приводят египетский, греческий, арабский орнаменты. А между тем и русский орнамент (наряду с историческим и культурным значением) имеет интересные математические особенности.

Рассмотрим кратко состояние математического значения на Руси в период IX – X вв. Практическая деятельность людей на Руси, как и в других странах Европы и Азии, делала необходимым развитие арифметических знаний и представлений о свойствах геометрических фигур. Раскопки древних городищ свидетельствуют, что математические познания утилитарного характера были широко распространены на Руси. Это были скорее навыки, чем знания, которые передавались устным путём и включали представления о натуральных числах и действиях с ними (сложении, вычитании, умножении и делении), а также о простейших дробях. Кроме того был хорошо известен такой геометрический инструмент, как циркуль. В пользу этого утверждения говорит широкое распространение орнамента из окружностей на украшениях и предметах обихода.

По мнению академика Б. А. Рыбакова , известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнеславянского орнамента легли универсальные представления о мире. Миф и обряд сочетали в себе элементы магии и тотемизма, зачатки художественного творчества, социальные нормы, регулирующие поведение людей. Всё это нашло отражение в мотивах, характерных для русского орнамента.

Среди них можно выделить следующие.

• Мотив “ обереговых” знаков , которые наносились на одежду, предметы быта и различные детали жилища.

Свои обереговые символы славяне размещают на «уязвимых» участках жилища и двора. Заклинательным орнаментом они закрывают все проёмы, через которые нечистая сила может проникнуть к человеку: ворота, двери, окна, застрехи. Символ солнца, размещаемый в проемах, должен охранять жилище от ночной нечисти. Солярные знаки находим также на крыше дома – в виде конька (причем конь, как уже говорилось выше, сам по себе символизировал солнце), под крышей – в виде реального изображения солнца или его символа, на фасаде, на наличниках окон. На фасаде дома славяне изображают небо и ход солнца – утром, в полдень и вечером. При этом на центральном полотенце обычно размещают громовой знак (круг, разделенный на шесть секторов) – символ Рода или Перуна, оберегавшим дом от попадания в него молнии. Рядом с символом солнца почти всегда славяне изображают знак земли или засеянного поля, обозначающий единство небесного и земного, явного. Мир яви символизируют и изображения птиц, растений, богинь, переплетающиеся с фантастическими существами.

Особую магию и особый смысл у славян имеют обрядовые полотенца. Узоры на них представляют не что иное, как славянский календарь, который образно отражал семейно-родовые события или аграрно-ритуальные торжества, свойственные земледельческой культуре. На всех праздниках первым на полотенце выносили хлеб да соль. Соль - символ солнца, любви; хлеб - земля, милость; полотенце - символ жизни человеческой, полоса судьбы, часть чистого космического пространства. Во время обручения руки жениха и невесты соединяли, обернув полотенцем, чтобы молодые жили в достатке; с тем же смыслом во время родов бабка принимала младенца на новое полотенце. Полотенца-обыденники ткали и расшивали несложным обережным о рнаментом против мора, для испрашивания дождя и т.п., причем, чтобы полотенце имело чудодейственную силу, с работой ткачиха должна была справиться за один световой день.

• Мотив древней богини Мокоши (единственный женский образ в древнерусской мифологии) как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Обычно её изображение помещали в центре трёхчастной композиции.

Изображения оберегающих мир в доме Лады (богиня веселья, благополучия и согласия в семье; богиня невест) или Мокоши располагаются также на резных наличниках (они изображаются с поднятыми вверх руками, словно просящими защиты у верховных богов, дающих небесную влагу и свет), а также на хозяйственных постройках (они изображаются с опущенными руками, словно обращаются к матери-сырой земле, дающей урожай).

• Мотив древа жизни .

Даже самый абстрактный орнамент у русских мастеров сохраняет свою рукотворность. В традиционных национальных украшениях и предметах быта можно встретить все виды симметрии на плоскости: центральную, осевую, поворотную, переносную.

• Земля представлена идеограммой: прямоугольником, разделённым диагоналями на четыре части с повторяющимся в них рисунком. Для такой конфигурации характерна осевая симметрия в сочетании с центральной.

Эти виды симметрии преобладают в изображениях растительного мира.

Например, заклинательные знаки отражают динамику развития ростка (каждый фрагмент рисунка символизирует один из этапов этого процесса).

• Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия разного порядка. Наиболее распространён круг, разделённый радиусами на равные секторы («Колесо Юпитера»), а также круг с крестом внутри. Особый интерес представляют знаки, изображающие «бегущее» солнце.

• Для древнерусского искусства характерен вид симметрии, выражающийся в удвоении (парности) того или иного изображения.

Парность отвечала двум видам пожеланий: «во все стороны», « повсюду на земле», «со всех сторон», «отовсюду».

Таким образом, описание отдельных древнерусских орнаментальных мотивов и схемы их расположения на деталях жилища, предметах украшения и быта являются причиной эстетической привлекательности орнамента.

Руководитель: О. В. Афанасьева

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

« СИММЕТРИЯ В ДРЕВНЕРУССКОМ ОРНАМЕНТЕ» Выполнили: учащиеся группы №7 А. Александров, А. Макаров Руководитель: О. В. Афанасьева

Цель: Продемонстрировать возможности законов геометрии при создании различных орнаментов, украшающих многие предметы декоративно-прикладного искусства. Задачи: Повторить и расширить знания об известных видах симметрии. Научиться выделять и описывать симметрию в рисунке орнамента. Обобщить и систематизировать сведения, использующиеся при создании орнамента.

ВИДЫ ОРНАМЕНТА ПЛОСКОСТНОЙ Плоскостной орнамент представляет украшение, выполненное на плоскости с помощью линий. Плоскостные орнаменты применяются при украшении одежды, росписи стен зданий в виде бордюров.

a) Внутри полосы б) На полосе в) С двух сторон полосы ЛИНЕЙНЫЙ (варианты расположения):

СЕТЧАТЫЙ Сетчатым его называют потому, что его композиция строится при помощи сетки. Сетчатый орнамент применяется для оформления пола, потолка, стен помещения.

ЦЕНТРИЧЕСКИЙ Центрический орнаментом называют узор, декоративные элементы которого сгруппированы так, что создают центрическое движение. Замкнутый орнамент чаще всего используется для украшения салфеток, скатертей, тарелок и т.д.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ В геометрическом орнаменте в качестве мотива выступают геометрические фигуры: круг, квадрат, треугольник и т.д.

РАСТИТЕЛЬНЫЙ В растительном – формы заимствованы из мира природы, например: листья растений, плоды, цветы, веточки и т.д.

ДРЕВНЕРУССКИЙ ОРНАМЕНТ Орнаментальные композиции, как украшения предметов быта, на Руси существовали очень давно. Крестьянские избы украшались резным узором. На окнах висели занавески, вышитые причудливым орнаментом и весь дом был наполнен расписной посудой, вышивкой и кружевами. Русский орнамент очень разнообразен. Декоративные элементы составлялись из символов и отражали чувства и интересы крестьянина. Цвет в узоре имел особое значение. Красный цвет выражал восторг, радость.

ПРИМЕРЫ РУССКОГО ОРНАМЕНТА

МОТИВ “ ОБЕРЕГОВЫХ” ЗНАКОВ Свои «обереговые» символы славяне размещали на «уязвимых» участках жилища и двора. Заклинательным орнаментом они закрывали все проёмы, через которые нечистая сила могла проникнуть к человеку: ворота, двери, окна, застрехи. Символ солнца, размещаемый в проемах, должен охранять жилище от ночной нечисти. На крыше дома - конёк (символизировал солнце). На фасаде дома славяне изображали небо и ход солнца – утром, в полдень и вечером.

Особую магию и особый смысл у славян имели обрядовые полотенца. Узоры на них представляли не что иное, как славянский календарь, который образно отражал семейно-родовые события или аграрно-ритуальные торжества, свойственные земледельческой культуре. На всех праздниках первым на полотенце выносили хлеб да соль. Соль - символ солнца, любви; хлеб - земля, милость; полотенце - символ жизни человеческой, полоса судьбы, часть чистого космического пространства.

МОТИВ ПЛЕТЁНКИ Характерен для так называемых русальских браслетов, как знак воды и царства подземного владыки Переплута. МОТИВ ДРЕВА ЖИЗНИ

МОТИВ ДРЕВНЕЙ БОГИНИ МОКОШИ Единственный женский образ в древнерусской мифологии, как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Обычно её изображение помещали в центре трёхчастной композиции.

ВИДЫ СИММЕТРИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ СОЗДАНИЯ ОРНАМЕНТА: Параллельный перенос Центральная симметрия Осевая симметрия Поворот

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС При параллельном переносе все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ При центральной симметрии каждая точка переходит в точку симметричную ей относительно фиксированной точки.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ При осевой симметрии каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную ей относительно фиксированной прямой.

ПОВОРОТ При повороте все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол вокруг одной и той же точки – центра поворота.

Создание орнамента с помощью осевой симметрии и параллельного переноса ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

Создание орнамента с помощью центральной симметрии и параллельного переноса ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

КАК ПОЛУЧЕН ОРНАМЕНТ? 1 2 3

ОРНАМЕНТ ПОЛУЧЕН: 1 2 3 С помощью параллельного переноса. С помощью осевой симметрии и параллельного переноса. С помощью осевой симметрии и параллельного переноса.

Таким образом, описание отдельных древнерусских орнаментальных мотивов и схемы их расположения на деталях жилища, предметах украшения и быта являются причиной эстетической прив-лекательности орнамента.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ О.В. Слесарева «Чудесная тайна геометрии». Математика в школе, О.Э. Анацко, Е.М. Ханукович, Бинарный урок. http://ru.wikipedia.org Перельман Я.И. «Занимательная геометрия». http://festival.1september.ru/articles/560632/ Г. Вейль «Симметрия». Б. А. Рыбаков «Язычество Древней Руси».

Районная научно-исследовательская конференция «Юниор»

Исследовательская работа

Симметрия в окружающем мире

(секция точных наук)

Выполнила: Меризанова Анна,

Елисеенко Вера,

ученица 8 класса

Руководитель: Колесникова

Людмила Александровна,

учитель математики

Введение. . 2

1.1. ..................................................... . 3

1.2. ................................................................... . 4

1.3. Симметрия сквозь века . 7

Глава 2. Симметрия вокруг нас. 8

.. 8

2.2. .......................................................... . 9

Заключение . 11

Библиографический список . 12

Введение

В этом учебном году рассматривали данную тему на уроках математики. Нас заинтересовала тема «Симметрия». И мы решили создать проект по этой теме, т. к. в учебнике по геометрии мало уделено внимания на изучение темы «Симметрия», при этом ученики часто задают вопрос: зачем она нужна, где она встречается, зачем её вообще изучают.

А ведь симметрия встречается в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии.

Симметрия, свойственна разным явлениям, лежащим в основе всех вещей, она описывает многие явления жизни и многих наук

В результате работы перед собой мы поставили вопросы:

Для чего надо знать симметрию, где в окружающем мире она встречается?

Мы поставили перед собой цель:

сформировать представлений о симметрии, через систематизацию знаний о симметрии, а также через анализ явлений природы, человеческой деятельности.

Для раскрытия темы нашей исследовательской работы были поставлены следующие задачи:

Научиться распознавать симметричные фигуры среди других.

Познакомиться с использованием симметрии в природе, быту, искусстве, технике.

Продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни.

Осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии художника, архитектора, биолога, инженера-строителя).

Для написание работы мной были использованы различные методы:

2) метод индуктивного обобщения, конкретизации;

3) использование компьютерного инвентаря.

Глава 1. Первые представления о симметрии

В данной главе нами описаны первые представления о симметрии, исторические сведения по данной теме; приведены некоторые примеры симметричных фигур; рассмотрены примеры исследовательского характера по теме:: «Симметрия».

1.1. Историческое развитие и осмысление понятия симметрии

В процессе исторического развития и осмысления симметрии особый этап симметрии как меры красоты и гармонии связани с работой выдающегося математика Германа Вейля «Симметрия» (1952). Г. Вейль под симметрией понимал неизмеримость (инвариантность) какого-либо объекта при преобразованиях: предмет является симметричным в том случае, когда его подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования.

Греческое слово «симметрия» означает «соразмерность», «пропорциональность», «одинаковость в расположении частей». Однако часто под словом «симметрия» понимают более широкое понятие: регулярность смены каких-либо явлений (времен года, дня и ночи и т. д.), уравновешенность левого и правого, равноправие природных явлений. Фактически мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. В психологии и морали широко использовалось понятие симметрии. Так, великий Аристотель считал, что симметрия имеет смысл некой средней меры, к которой должен стремиться в своих действиях добродетельной человек. Римский врач Гален (2в. н. э.) под симметрией понимал состояние духа, одинаково удаленное от обеих крайностей, например от горя и радости, апатии и возбуждения. Симметрия, понимаемая как покой, уравновешенность, противостоит хаосу и беспорядку. Об этом говорит гравюра Мариуса Эшера «Порядок и Хаос» (рис. 196), где, как писал сам художник, «звездчатый додекаэдр, символ красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».

1.2. Математическое представление о симметрии

Представления о симметрии, изложенные выше, носят общий характер и для математики не являются точными и строгими.

Определение 1. Симметрия – это соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

Математическое строгое определение симметрии сформировалось сравнительно недавно – в 19 в., когда были введены понятия зеркальной и поворотной симметрии.

Розетки, снежинки – это симметричные и очень красивые фигуры.

В планиметрии существует осевая (симметрия относительно прямой), центральная симметрии (симметрия относительна точки), а также поворотная, зеркальная, переносная.

Определение 2. Две точки A и A1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Каждая точка прямой а

Определение 2 . Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, фигура обладает осевой симметрией . Фигуры, которые имеют ось симметрии: прямоугольник, ромб, квадрат, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, круг и т. д.

Определение 3. Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АА1 . Точка О считается симметричной самой себе.

Определение 4. Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О , называется центром симметрии фигуры . Говорят, фигура обладает центральной симметрией . Примеры фигур, которые обладают центральной симметрией: круг, параллелограмм, треугольник и т. д.

Математика изучает немало фигур, которые обладают и осевой, и центральной симметрией (круг, квадрат и др.), только осевой симметрией (например, равнобедренный треугольник), только центральной симметрией (например, параллелограмм общего вида).

Чтобы разобраться в данной теме мы произвели ряд исследовательских заданий.

Исследовательские задания.

Задание 1. На прямой АВ найдите точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек М и N была бы наименьшей.

Обсуждение. 1 случай. Пусть М и N лежат по разные стороны от , кратчайшее расстояние между ними есть , следовательно, искомая точка Х лежит на пересечении и https://pandia.ru/text/79/046/images/image024_13.jpg" align="left hspace=12" width="187" height="132">Всякая другая точка прямой АВ не обладает этим свойством, так как .gif" width="36" height="23"> Строим М1 , симметричную М относительно https://pandia.ru/text/79/046/images/image023_17.gif" width="36 height=27" height="27">.gif" width="36" height="23 src=">, то искомая точка Х есть точка пересечения прямых М N и AB .

Задание 2. Даны прямые АВ и точки М и N . Найдите на https://pandia.ru/text/79/046/images/image028_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="140">Обсуждение. 1 случай. Точки М и N лежат по одну сторону от прямой АВ (и притом на разных расстояниях от неё. Тогда точка Х прямой АВ, для которой разность расстояний от точек М и N наибольшая, есть точка пересечения прямой АВ с продолжением отрезка MN. Тогда всякая другая точка Х1 прямой АВ не обладает этим свойством, так как (следствие аксиомы треугольника). Если М и N находится на одинаковом расстоянии от https://pandia.ru/text/79/046/images/image031_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="148">2 случай. Точки М и N лежат по разные стороны от . Тогда искомая точка , где .

Если точки М и N находятся по разные стороны от и на одинаковом от неё расстоянии, то задача не имеет решений.

Задание 3 . Исследовать имеют ли центр симметрии: 1) отрезок; 2) луч; 3) квадрат.

Обсуждение. 1) да; 2)нет; 3 да

Задание 4. Исследовать какие из следующих точек латинского алфавита имеют центр симметрии: А, О, M, Х.

Обсуждение. О и Х

Обсуждение. 1) две; 2) «бесконечное множество»: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; 3) одну.

Задание 6. Исследовать какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, г, Е, О в алфавите.

Обсуждение. А, Е, О

Вывод: Данные примеры нам показывают, что даже точки стоящие в алфавите имеют симметричное положение. Ось симметрии имеют различные геометрические фигуры.

1.3. Симметрия древнерусского орнамента

Для русского орнамента характерны как растительные и геометрические формы, так и изображения птиц, зверей и фантастических животных. Особенно ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и вышивке. Наиболее часто использовались так называемые плетенки – переплетения лент, ремней, стеблей цветов. В 17 в. зодчий Степан Иванов создал свой знаменитый орнамент «Павлинье око».

По мнению академика, известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнерусского орнамента вошли универсальные различные представления о мире. Сознание древнего славянина было обусловлено мифологическими восприятиями действительности. Всё это отражалось в мотивах, характерных для русского орнамента.

· Мотив «обереговых» знаков , которые наносились на одежду, предметы быта и различные детали жилища..jpg" width="300" height="239 src=">

· Мотив плетёнки , характерный для русальских браслетов, который трактовали как знак воды и царства подземного владыки Переплута.

· Мотив древней богини Мокоши как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Мокоша (Макошь) – единственный женский образ в древнерусской мифологии. Её имя наводит на мысль о мокроте, влаге, воде. Мокошь покровительствовала всем женским занятиям, особенно прядению, и почитали её преимущественно женщины.

https://pandia.ru/text/79/046/images/image041_6.jpg" width="324" height="211">

В русском орнаменте с древних времён сложилась особая система расположения символов, представляемых движение Солнца вокруг Земли. Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия. Наиболее распространён круг, разделённый радиусами на разные секторы («Колесо Юпитера»), а также круг с крестом внутри.

Вывод: проанализировав литературу по данному вопросу мы пришли к выводу, что в древнерусском орнаменте часто встречаются симметричные символы. В традиционных национальных украшениях и предметах быта можно встретить все виды симметрии на плоскости: центральную, осевую, поворотную, переносную.

1.4. Симметрия сквозь века

В своих размышлениях над картиной мира человек с давних пор активно использовал идею симметрии. По преданию, термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в г. Регул. Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия». Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали вывод о сферичности Земли и ее движения по сфере вокруг некоего «центрального огня», где двигались также 6 известных тогда планет вместе с луной, Солнцем, звездами.

Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самооского, пытались связать симметрию с числом.

Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам, для построения которых они использовали «золотое отношение». У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили поразительный факт: существует всего пять правильных выпуклых многогранников, названия которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.

Глава 2. Симметрия вокруг нас

В данной главе описана теория в которой указывается различные представления симметрии в природе, в этой главе мы доказываем, что строения, созданные человеком также имеют симметричные фигуры.

2.1. Роль симметрии в познании природы

Симметрия кристаллов является следствием их внутреннего строения: их атомы и молекулы имеют упорядоченное взаимное расположение, образуя симметричную решетку из атомов – так называемую кристаллическую решетку.

Недостающие элементы симметрии определил академик Аксель Вильгельмович Гадолин (). Известный профессор минералогии из немецкого города Марбурга Иоганн Гессель в 1830г. Опубликовал свой труд о симметрии кристаллов. Его труд по некоторым причинам остался незамеченным. Но в 1897г. Работу Гесселя переиздали, и с тех пор его имя вошло в историю науки.

Итак, симметрию кристаллов научились изучать и сравнивать. Существуют 9 элементов симметрии и только 32 различных набора элементов симметрии – групп симметрии, которые и определяют внешнюю форму кристаллов. Но коль скоро число элементов симметрии кристаллов, конечно, то конечно число их наборов – комбинации, описывающих симметрию внешней формы. Отсюда следует, что симметрия – строгий и всеобъемлющий закон, управляющий царством кристаллов. Она задаёт форму кристалла, число его граней и ребер, она же диктует и его внутреннее строение.

Симметрию можно обнаружить у обитателей моря, например у морской звезды, морского ежа и некоторых медуз.

Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы и плоды растений. Для некоторых из них характерна только зеркальная симметрия, или только поворотная симметрия, скользящая.

Интересно, что среди растений одного вида существуют такие, у которых встречается как левая структура листьев, так и правая.

Живая природа характеризуется не только известными видами симметрии. Так, изогнутый стебель растения, закрученная форма моллюска не менее симметричны, чем кристалл. Но это другая симметрия – криволинейная, которая была обнаружена в 1926г.

А в 1960г. Академик ввел в рассмотрение симметрию подобия. Подобными фигурами считаются одной и той же формы. Симметрия подобия состоит из переноса (поворота) фигуры с одновременным уменьшением или увеличением ее размеров.

2.2. Симметрия в архитектурных сооружениях

Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека. Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Интересны древнерусские постройки, в частности деревянные церкви. Стройные и выразительные, рубленные восьмериком, т. е. с симметричными восьмигранными шатрами, они как нельзя лучше соответствовали понятию красоты в средневековой Руси.

Примером может служить храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Храм состоит из десяти различных храмов, каждый из которых строго симметричен, но в целом он не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией.

Можно привести много примеров использования симметрии и асимметрии в скульптуре. Например, скульптура пелопонесского мастера из школы Пифагора «Дельфийский возничий», которая изображает победителя на состязаниях конных колесниц. Фигура юноши в длинном хитоне в целом симметрична, но легкий поворот торса и головы нарушает зеркальную симметрию, что порождает иллюзию движения, и статуя кажется живой.

Луи Пастер считал, что именно асимметрия отличает живое от неживого, полагая, что симметрия – страж покоя, а асимметрия – двигатель жизни. Пример того, что парадокс симметрии служит не только для передачи движения, но и для усиления впечатления, - это изображение греческой вазы из пещеры Камарес на острове Крит.

Заключение

Симметрия – это нечто общее, свойственное разным явлениям, лежащее в основе всех вещей, а асимметрия выражает некие индивидуальные особенности вещей и явлений. И в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии и асимметрии. Мир существует благодаря единству этих двух противоположностей.

Проанализировав работу, мы пришли к выводу, что симметрия часто встречается в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса.

В результате реализации проекта:

u расширили знания о симметрии;

u узнали, какие явления из жизни и

некоторых наук описывает симметрия;

u новые практические приемы : работа с учебной, научно-познавательной литературой;

u обобщили понятия, представления, знания, на получение которых нацелен результат проекта : рассмотрели, где в жизни встречается симметрия.

Библиографический список

1. Афанасьев А. Н, Мифология Древней Руси. – М.: Эксмо, 2006.

2. Вейль Г. Симметрия. – Изд. 2-е, стер. – М.: Единториал УРСС, 2003.

3. Гнеденго по истории математики в России. – 2-е изд., испр. и дополн. – М.: КомКнига, 2005.

4. Изобразительные мотивы в русской народной вышивке. Музей народного искусства. – М.: Советская Россия,1990.

5. Климова орнамент в композиции художественных изделий. – м.: Изобразительное искусство,1993.

“ Искусство орнамента содержит в неявном виде

наиболее древнюю часть известной нам

высшей математике”.

Герман Вейль.

Презентацию подготовила ученица 8 «А» класса МОУ МСОШ №1 Кондратьева Мария.

Преподаватель: Дяденистова Ирина Николаевна.

Секции: Физико-математический, художественно-эстетический.

Показать важную роль симметрии при создании различных орнаментов, украшающих многие предметы декоративно – прикладного искусства народов Севера.

Задачи:

• обобщить и расширить представление о симметрии в математике;
• расширить представления о сферах применения математики (на примерах проникновения симметрии в искусство);
• расширить общекультурный кругозор посредством знакомства с образцами искусства, в частности, с орнаментами народов Севера.

1. познакомиться с основными видами симметрии;

2. познакомиться с основными видами орнаментов;

3. исследовать, какие виды симметрии использовались в орнаментах севера;

• Симметрия в целом;
• Красота симметрии используется издревле в прикладном искусстве;
• Виды орнаментов;
• Симметрия на примерах орнаментов народов Севера;

1. Зеркальная симметрия:

Наиболее распространенный вид симметрии в орнаментах. Предмет или фигура делятся на две половины плоскостью так, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости как в зеркале, совпала с другой. Можно встретить зеркальную симметрию и в изобразительных композициях вовсе не орнаментального характера. Зеркальная симметрия способствует впечатлению уравновешенности и покоя, так как она делает полярные направления – в обе стороны от плоскости симметрии – равноценными для нашего взгляда. И в орнаменте применение зеркальной симметрии связано с тем же ощущением равновесия и покоя.

2. Осевая симметрия:

Может иметь любой выражаемый целым числом порядок – от второго до бесконечности (первый порядок означает совмещение фигуры с самой собой лишь в одном, первоначальном её положении, такая фигура ассиметрична). Осевая симметрия нередко встречается в природе и широко используется в орнаментах. Если фигура имеет только осевую симметрию и никакой другой, то она производит впечатление беспокойной подвижности, выражает интенсивное вращательное движение.

• Орнаментом называется узор, построенный чередованием в определенном порядке или, как говорят, ритме каких-нибудь рисунков или линий.
• Орнамент (от лат. Оrnаmеntum – украшение) – это узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений.

В построении орнамента используют главным образом принцип симметрии. Рассматривая разные композиции, легко увидеть, что орнамент можно продолжать в разные стороны, даже если его первоначальная композиция ограничена и замкнута.

В каждом из нас существует память рода или генетическая память, которая хранит всё, что окружало наших предков. Пробудить эту дремлющую в нас память нам помогло многоцветье орнаментов. Каждая эпоха, каждая культура вырабатывали свою систему орнаментов. И у народов Севера с развитием культуры появлялись и укоренялись различные орнаменты.

Предмет ввоза народов Севера.

Шкатулка.

Я считаю, что достигла цели моего проекта. Данная работа поможет расширить знания по теме «Симметрия» и сформировать умения выявлять виды симметрии в пространстве.

Так же я узнала много нового из истории орнамента: какое значение придавалось орнаменту в древности. Я научилась верно различать виды симметрии в окружающем мире, непосредственно в орнаментах. Мне было интересно выполнять эту работу, несмотря на трудности, изучать историю орнамента.

В ходе моего исследования я выявила, что в орнаментах саамов (т. е. коренных жителей Севера) нет какого-то определенного преобладающего вида симметрии. В большинстве орнаментов соединены зеркальная и осевая симметрии. Многие орнаменты состоят из кругов, ромбов, что в древности символизировало солнце, солнечный свет. По моему предположению у саамов, на одежде, предметах быта, украшениях и аксессуарах орнаменты использовались в качестве оберегов. Они как бы охраняют себя и свои владения.

Макарова Т.И. Симметрия в растительном орнаменте Древней Руси / в книге «Древняя Русь и славяне». - М., 1978. - С. 370.

Орнамент в произведениях древнерусского искусства редко являлся предметом специального исследования. Между тем наблюдение за его развитием позволяет установить определенные закономерности, облегчающие его осмысление. Цель настоящей статьи - проследить формальные закономерности построения орнамента в памятниках искусства XI-XIII вв. и определить причины их стилистической общности. Больше всего этот вопрос был разработан па памятниках письменности.

Палеографом В. Щепкиным были выработаны методологические основы изучения древнерусского орнамента. В. Щепкин заложил основы генетического анализа орнамента, выявляя его исходный элемент (мотив) и характер его изменений (удвоением, делением и т.д.). Далее, он сформулировал механизм создания композиций из отдельных элементов: «комбинация мотивов в орнаменте происходит... на основании инстинктов симметрии и ритма». Наконец, он дал характеристику орнамента в целом, определив, что орнаменты различаются между собой
«1) по содержанию своих мотивов,
2) по способу их сочетания,
3) по характеру своей рамы».
Однако в литературе чаще вспоминают другой аспект работы В. Щепкина - ту классификацию русского книжного орнамента с XI в. до нового времени, которая в основных чертах остается в силе и поныне. Нам представляется, что предложенная В. Щепкиным методика изучении книжного орнамента заслуживает внимания для исследования орнамента в разных областях древнерусского искусства. Попытаемся показать это на примере анализа растительного орнамента Древней Руси.

Н. Щепкин, исходя из перечисленных выше принципов, пришел к выводу, что орнаментация древнейших русских рукописных книг представляет собой известное стилистическое единство. Мысль эта была и в его время уже не новой, но именно В. Щепкину принадлежит попытка вскрыть суть этого единства. Оно, по его мнению, обусловлено тем, что в основе растительного орнамента лежит один и тот же мотив ветка. В тексте В. Щепкин ничего не говорит о происхождении этого мотива, однако на таблице графически показывает, что он образован делением трехлепесткового ростка, который правильнее всего назвать крином 4 (рис. 1, 1, 2), Именно этот элемент лежит в основе растительной орнаментации старейших русских книг: Остромирова Евангелия (1056 г.), Изборника Святослава (1073 г.), Мстислава Евангелия (до 1117 г.), Служебника Вярлмама Хутынсного (XII в.), Юрьевского Евангелия (1119-1123 гг.).

Еще в начале нашего века Н.П. Кондаков отмечал сходство орнаментации древнейших русских миниатюр с перегородчатой эмалью. Это же обстоятельство побудило Б.А. Рыбакова назвать рукописи с орнаментом, близким перегородчатым эмалям, финифтяными. Исследование орнаментации изделий с перегородчатыми эмалями показало, что эта близость заключает в себе нечто большее, чем простое подражание. В основе растительного орнамента и в данном случае оказался тот же элемент крин 8 (рис. 1, 15, 6). Иногда он идентичен крину рукописен, иногда не вполне, по общая схема их рисунка одна: в простейшем варианте это трехлепестковый цветок.

В настоящее время ближневосточное происхождение ростка-криля признается всеми исследователями. Возникновение этого символа в искусство древнейшего очага земледелия вполне логично, как логично его возрождение в земледельческих культурах Европы и Византии. Символика самого образа не исключала попыток (может быть, интуитивных) запечатлеть в нем черты окружающей природы. Но содержание его образа, как символа вечно возрождающихся сил природы, оставалось неизменным. Не будем останавливаться на вопросе, когда этот символ и выражаемая им идея впервые проникли в Восточную Европу. Вероятно, исследование этой проблемы увело бы нас во времена индоевропейской общности. Важнее другое - как эта идея в том конкретном воплощении, которое нам дают древнейшие рукописи, участвовала в построения орнаментальных композиций растительного характера. Этим аспектом проблемы мы и займемся, оставив в стороне вопросы семантики орнамента. В орнаменте крин в простейшем варианте встречается не так уж часто. Как правило, мы имеем дело с его многочисленными модификациями. Здесь мы сталкиваемся со вторым, не менее важным фактором сходства растительного орнамента рукописей и эмалей: в изменениях крина при построении из него композиций наблюдается определенное сходство, какая-то единая программа. Попытаемся проанализировать характер изменений крина сначала на примере рукописного орнамента. Для этого, исходя из сформулированных В. Щепкиным принципов, наметим самую общую его типологию.

Все композиция мы разделяем на два больших отдела: розетку и бордюр. В каждом из них разные группы композиций зависят от тех изменений, которые претерпевает основной элемент растительного орнамента рукописей крин или его производное ветка. Законы симметрии покаpывают, что бесконечное разнообразие орнамента явление кажущееся. Оно сводится к трем основным категориям: розетке, бордюру и сетке, а каждая из них может быть сведена к нескольким видам симметрии.

Рассмотрим основные композиции, образованные крином в растительном орнаменте рукописей, и с точки зрения видов симметрии.

В рукописном растительном орнаменте использованы две категории симметрии: розетка и бордюр. Они дадут два самых крупных деления в нашей типологии. Большинство композиций, составляющих основу богатого ковра растительных узоров рукописных заставок, относятся к розеткам с так называемой зеркальной симметрией. Их характеризует строгое равенство правой и левой половин.

Простейший ее пример демонстрирует крин, заключенный в круг или сердцевидную фигуру (рис. 1, 3, 4). Вторым типом композиции оказывается розетка, в которой подобный крин повторяется четырехкратно (рис. 1,5).

Третий тип композиции обусловлен дальнейшим изменением крина за счет бесконечного усложнения самой схемы его рисунка (рис. 1, 6, 7). При этом зеркальная симметрия постоянно сохраняется. Она присутствует и тогда, когда увеличивается количество лепестков, одни отгибаются вниз, другие отрываются от общего стебля и первоначальный крин с трудом угадывается в пышном цветке (рис. 1, 6); она строго соблюдается и тогда, когда крин сохраняет более строгие очертания, превращаясь в древовидную фигуру с выраженным стволом (рис. 1, 7).

Четвертый тип композиции строится из ветви, образованной делением крина пополам (рис. 1, 7, 2; 8, Л). Из ветвей-полукринов возникают пышные древа, в рисунке которых часто присутствует и крин (рис. 1, 11).

Зеркальная симметрия, одинаково характерная для всех описанных нами четырех групп композиций, придает им уравновешенный, статичный характер.

Рассмотрим теперь вторую категорию орнаментальных композиций рукописей- бордюр, т. е. ленту, состоящую из фигур, вытянутых вдоль одной прямой. Вдоль этой прямой основная фигура как бы переносится бесконечно. В бордюрах рукописного орнамента такой основной фигурой оказывается крин в простейшем (рис. 1, 13) или усложненном виде (рис. 1, 14) или ветвь-полукрин (рис 1, 12). В зависимости от этих основных фигур можно разделить бордюры на два тина. Один из них образует бордюры из повторяющихся или чередующихся кринов разных очертаний (рис. 1, 13, 14)

В другой тип бордюров мы выделяем бесконечный побег, образованный ветвями-полукринами (рис. 1, 12). Ветвь по движению бордюра как бы переносится то вниз, то вверх и создает впечатление беспрерывного движения. Для этого излюбленного в средневековом искусстве мотива, часто называемого бегунком или византийской лозой, характерен строго определенный вид симметрии. Теперь сравним композиции растительного орнамента.

Несмотря на то что на изделиях с перегородчатой эмалью крин получает иногда очертания, для кринов рукописей не свойственные (рис. 1, 18, 20), характер его изменений при построении композиций оказывается тем же, что и в растительном орнаменте рукописей. Здесь мы находим розетки с четырехкратными повторениями крина (рис. 1, 19, 20), усложненные крины древа разных очертаний (рис. 1, 23, 27).

Исключением оказывается розетка с «ветвями-полукринами», не встречающаяся в рукописном орнаменте (рис. 1, 28, 29). С точки зрения теории симметрии они представляют новый ее вид - центральную симметрию, существенно отличную от зеркальной симметрии рассмотренных выше розеток. Для нас интересно отметить, что основным элементом, многократно повторенным в этой розетке, оказывается не симметричный крин, а его половина ветвь, сама по себе асимметричная. Полученная фигура создает влечатление вращения, чем отличается от статичных розеток с кринами (рис. 1, 5; 19, 20).

Бордюры в эмалях дают нам сходные по смыслу и механизму построения композиции. На миниатюрных золотых изделиях нет места бордюру, поэтому с вариантом ленты из розеток с кринами мы встречаемся только дважды (рис. 1). Как мы видим, в растительном орнаменте рукописей и эмалей, помимо сходства основного мотива крина, одинаково сходным оказался и механизм построения композиций. Его обусловливают общие виды симметрии. Исследователь орнамента Узбекистана Л.И. Ремпель пришел к выводу, что наиболее стабильными в орнаменте оказываются не излюбленные мотивы, а «система простейших типических ритмов», образующих как бы его «каркас» 16.

Именно характерные виды симметрии и составили тот «каркас», который оказался одинаковым и в рукописях, и в эмальерном деле. Поэтому можно говорить в данном случае о единой системе орнаментации, поскольку порядок, обусловленный правильным расположением элементов в определенной связи, и означает систему.

Возникает вопрос, в каком отношении находилась рассмотренная система растительной орнаментации в рукописях и эмалях с другими видами искусства Древней Руси? Обратимся для ответа к растительному орнаменту в монументальном искусстве. Это будет логичным потому, что живопись и скульптура представляют вершину в развитии древнерусского орнамента в целом. Немалое значение имеет также и то, что она издана, изучена и поэтому обозрима. Кроме того, те памятники, которые мы возьмем для сравнения: мозаики и фрески Софии Киевской и настенную скульптуру трех соборов Владимиро-Суздальской Руси - Дмитриевского, Рождественского и Георгиевского дают нам возможность проследить эволюцию растительного орнамента на Руси от XI до XIII в. Выбор этот обусловлен и рамками статьи, так как орнамент в узловых памятниках монументального искусства неминуемо должен отразить общие закономерности развития орнамента на Руси.

Итак, обратимся к растительному орнаменту, который выполнен в технике мозаики и фрески в интерьере Софии Киевской, и разберем его структуру, следуя методу, каким пользовались выше.

Простейшим элементом и здесь оказывается крин, по несколько иных очертаний (рис. 1, 32, 33). Он образует розетку, подобную по композиции розеткам в рукописях и эмалях (рис. 1, 34, 35, 46). То же композиционное сходство мы наблюдаем и часто своеобразных по рисунку пышных кринах (рис. 1, 36, 37, 47, 48), всегда остающихся фигурами в зеркальной симметрии. По тому же принципу образованы древа из ветвей (рис. 1, 55, 59, 49, 50).

Наконец, на фресках встречается и центральная симметрия полукринов, создающая впечатление стремительного вращения (рис. 1, 51).
Знакомые композиционные решения дают и бордюры в мозаиках и фресках Софии. В усложненном рисунке лозы легко угадывается более ясный бегунок рукописей (рис. 1, 40, 52). Помимо уже знакомых композиций из чередующихся в горизонтальной ленте кринов (рис. 1, 41, 42), встречается здесь и вертикальная лента кринов (рис. 1, 55). Это единственно новая с точки зрения симметрии композиция, которая не встречалась ни в рукописях, ни в эмалях. Ее композиционная близость с горизонтальными лентами несомненна. Возникновение такого решения бордюра легко объяснимо: его вертикальная лента должна была украшать громадные плоскости интерьера храма, в мелких вещах и небольшом рисунке для нее нет места.

Итак, не во всех вариантах крин мозаик и фресок Софии совершенно идентичен кринам рукописей и эмалей. Иногда он напоминает листья аканта, иногда крылатые пальметты, но при этом остается неизменным характер их вариантов, тот каркас, который так четко наметился в финифтяном орнаменте. Это и позволяет утверждать, что система ранней орнаментации рукописей, эмалей и интерьера Софии Киевской едина.

Если сопоставить эту систему орнаментации с растительным орнаментом, покрывающим стены храмов Владимиро-Суздальской Руси, то простейшим его элементом и здесь оказывается крин. В отдельных случаях он повторяет знакомые трехлепестковые фигуры (рис. 1, 71), чаще же принимает очертания лиственного дерева лесной полосы (рис. 1, 54, 62, 70). Наличие своеобразных вариантов (рис. 1, 64, 73) все же не нарушает типологической близости его с кринами, украшавшими заставку рукописи, золотой колт с эмалью или роспись Софии. Однако розетка с четырехкратно повторенным крипом излюбленная в этих многоцветных узорах к белокаменной пластике не встречается. Очевидно, в трудоемкой резьбе по камню мастера просто избегали мелких форм. Может быть, поэтому эволюция крина здесь пошла как будто по другому пути. Росток превращается в пышный крин (рис. 1, 65, 67) или древо, в рисунке которого многократно повторяется крин (рис. 1, 56, 66). Но самой излюбленной композицией стало разросшееся многоярусное древо, симметрично раскинутые ветви которого заканчиваются то кринами, то полукринами (рис. 1, 78). Упрощенные его варианты (рис. 1, 57, 76, 77) часто повторяют уже встречавшиеся нам древа (рис. 1, 11,26, 39). Во всех этих случаях строго соблюдается принцип зеркальной симметрии, и именно этим многометровые древа владимиро-суздальских храмов родственны кринам рукописей и эмалей.

Больше сходства в бордюрах. Вьющийся побег здесь не частый сюжет, но все же встречается и в простом (рис. 1, 58), и в усложненном вариантах (рис. 1, 79). Зато бордюры другой группы, состоящие из чередующихся или буквально повторяющихся кринов, чрезвычайно разнообразны. Одни из них очень близки бордюрам рукописным (рис. 1, 81), другие представляют как бы их вертикальный вариант (рис. 1, 55, 68), а некоторые усложнены дополнительными фигурами и более вычурны по рисунку самого крина (рис. 1, 80). Композиционное их сходство с рассмотренными ранее бордюрами несомненно.

Итак, на протяжении трех столетий, с XI по XIII в., в растительном орнаменте, украшавшем рукописные книги, драгоценные изделия с перегородчатой эмалью, величественный интерьер главного храма Руси Софии Киевской и знаменитые белокаменные церкви Владимиро-Суздальской земли, устойчиво сохраняется тяга к излюбленным композициям. Ее не нарушают вариации в рисунке символа древа жизни крина, продиктованные и особенностями техники, и многочисленными импульсами, которые получало художественное творчество древнерусских мастеров из разных уголков цивилизованного мира. Каркас создаваемых их фантазией композиций оставался в сущности неизменным. Он был обусловлен определенным набором утвердившихся в разных областях искусства Руси видов симметрии.

Исследование орнаментов народов Сибири, проделанное С.В. Ивановым, показало, что такой набор излюбленных видов симметрии оказывается у каждого парода своим, стабильным на протяжении многих столетий.

В растительном орнаменте городского искусства Руси наиболее постоянным оказался тоже обусловленный законами симметрии композиционный каркас и простейший элемент крин, который у разных народов символизировал вечные силы природы.

Б.Л. Рыбаков в своих работах о декоративном искусстве Древней Руси убедительно показал, что оно было «удивительно единым по своему духу и образам». Орнамент, пронизавший все стороны быта и одинаково царивший во всех областях искусства, во многом способствовал этому единству, «определяя их общий стиль и эпоху».

Мы попытались вскрыть основы этого единства, которое стойко сохранялось в растительном орнаменте «женского узорочья, орнаментике книг и декора архитектуры» на протяжении трех ярчайших столетий русской истории.

Содержание публикуемого материала полностью основано на тщательном научном анализе множества примеров орнаментального искусства палеолита и неолита. Данные, полученные после изучения их симметричных и антисимметричных элементов, убедительно доказывают, что в орнаментах разных народов мира практически нет различий, а элементарные составляющие узоров сохраняются на протяжении всей истории декоративного искусства и представляют собой декоративные архетипы.

В связи с большим количеством информации материал разделен на взаимосвязанные главы. Первая глава - введение, которое вы сейчас читаете. Остальные три главы посвящены соответственно симметрии розеток, одномерным моделям бордюров и двумерным орнаментальным структурам. Данная статья и последующие главы рассказывают о некоторых результаты симметрийного анализа образцов декоративного искусства палеолита и неолита. Они посвящены поиску "декоративных архетипов" - универсального основания всего декоративного искусства. Ведь развитие орнамента всегда шло рядом с развитием человечества и отражает стремление человека к пониманию и выражению закономерностей - факторов, лежащих в основе любого научного знания.

Окончательный вывод, который удалось получить: большинство орнаментальных мотивов, исследованных с точки зрения теории симметрии, являются гораздо более древними, чем мы могли ожидать. Этот факт отодвигает дату появления декоративного искусства на несколько тысяч лет до возникновения самых древних цивилизаций.

Связь визуального искусства с геометрией существовала всегда. Эта связь становится особенно очевидной, когда к изучению декоративно-прикладного искусства мы применяем теорию симметрии. Поэтому, орнаментальное искусство называется у H. Вейля "старейшим аспектом высшей математики, заданной в неявном виде", и у А. Спейсера "предысторией теории групп".

Идея исследования орнаментов разных культур по аналогии с симметрией кристаллов на плоскости (теория Г. Поля ) и применяя теорию групп конечного порядка А. Спейсера , была поддержана интенсивным развитием теории симметрии в 20-м веке. Появился целый ряд работ, посвященных в основном декоративному искусству древних цивилизаций, внесших наибольший вклад в развитие декоративно-прикладного искусства (египетские, арабские, мавританские и др.) , и этническому орнаментальному искусству . Однако только в некоторых из последних работ, исследователи обращаются к самым корням, к истокам декоративно-прикладного искусства, к эпохе палеолита и неолита . Антисимметрия - расширение классической теории симметрии - и наука о цветовой симметрии, позволили провести более глубокий анализ монохроматических и полихроматических орнаментальных мотивов эпохи неолита и древних цивилизаций.

На чем основывался анализ? В первую очередь на том, что орнаментация обычно ограничивается двумерной плоскостью. В данном ключе рассматривались симметричные плоскостные группы: розетки, бордюры и т.д. Дискретная симметрия розеток составила две исследуемые группы: циклическую и диэдральную. Циклическая группа, выражаемая простейшей формулой Dn, создается двумя отражениями на линии пересечения инвариантной точки - центр смещения n-порядка. Узоры циклической группы составляются путем трансляции элементарных компонентов по кругу путем поворота вокруг неподвижной точки, кратной 360 градусам, поделенным на n-порядок. Диедральную группу орнаментов составляют узоры, вписанные в правильные многогранники и правильные многогранники образующие.

Обе группы симметрии - циклическую и диэдральную - легко обнаружить в природных формах.

Рис. 1. Циклическая симметрия в орнаменте и природе

Рис. 2. Диэдральная симметрия в орнаменте и природе

Всего выявлено семь дискретных групп, которые могут быть выражены такой последовательностью: 11, 1g, 12, m1, 1m, mg и mm, где g - обозначает скользящее отражение (от англ. glide), m - обычное отражение. Переменной n мы выражаем вращение n-порядка. Полученная последовательность интерпретируется относительно координатной плоскости, где учитываются элементы, располагающиеся перпендикулярно и параллельно оси смещения.

Рис. 3. Антисимметрия

Когда в последующих главах мы будем упоминать о непрерывных группах симметрии, наличие непрерывного смещения будем обозначать индексом 0, а в антисимметричных группах "антисмещение" будем обозначать символом одинарной кавычки -".

Под термином "преднаучный период" мы понимаем период с 25000-10000 до н.э.

В отсутствие письменных источников, изучение геометрии доисторического периода может вестись только на основе анализа артефактов, где геометрические знания преподносятся в явной форме. Старейшие из артефактов эпох палеолита и неолита - кости, рисунки на камне. Более поздние - роспись керамики, гравировка, прессование, а также архитектурные объекты и сооружения, так называемые мегалитические памятники.

Следующая глава полностью посвящена симметрии розеток .

Список всех четырех глав:

Источники

• 1. Weyl H., Symmetry, Princeton University Press, Princeton, 1952.
• 2. Polya G., Uber die Analogie der Kristall symmetrie in der Ebene, Z. Kristall. 60 (1924), 278-282.
• 3. Speiser A., Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 2nd ed., Berlin, 1927.
• 4. Белов Н.В., Средневековый мавританский орнамент и группы симметрии, Советские физики - Кристаллография 1 (1956), 482-483.
• 5. Garido J., Les groupes de symetrie des ornaments employes par les anciennes civilisations du Mexique, C.R. Acad. Sci. Paris 235 (1952),1184-1186.
• 6. Grunbaum B., The Emperor"s New Clothes: Full Regalia, G string, or Nothing, Math. Inteligencer 6, 4 (1984), 47-53.
• 7. Grunbaum B., Grunbaum Z., Shephard G.C., Symmetry in Moorish and Other Ornaments, Comput. Math. Appl. 12B, 3/4 (1986), 641-653.
• 8. Muller E., Gruppentheoretische und Strukturanalytische Untersuchungen der Maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada, Ph.D. Thesis, Univ. ZUrich, Ruschlikon, 1944.
• 9. Crowe D.W., The Geometry of African Art I. Bakuba Art, J. Geometry 1 (1971), 169-182.
• 10. Crowe D.W., The Geometry of African Art, II. A Catalog of Benin Patterns, Historia Math. 2 (1975), 57-71.
• 11. Crowe D.W., The Geometry of African Art m. The Smoking Pipes of Begho, In The Geometric Vein, ed. C.Davis, B. Grunbaum and F.A. Sherk, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1981.
• 12. Washburn D.K., Symmetry Analysis of Ceramic Design: Two Tests of the Method on Neolithic Material from Greece and the Aegean, In Structure and Cognition in Art, Cambridge University Press, London, 1983.
• 13. Jablan S.V., Theory of Symmetry and Ornament, Mathematical Institute, Beograd, 1995.
• 14. Jablan S.V., Antisimetrijska ornamentika I, Dijalektika 1-4 (1985), 107-148.
• 15. Jablan S.V., Antisimetrijska ornamentika II, Dijalektika 3-4 (1986), 13-56.