اصول تئوری کشش. مبانی تئوری کشش. مسئله تئوری الاستیسیته

ایجاد نظریه ارتجاعی و پلاستیسیته به عنوان یک شاخه مستقل از مکانیک با کار دانشمندان قرن 17 و 18 حتی در آغاز قرن هفدهم پیشی گرفت. G. Galileo (1564-1642) تلاش کرد تا مشکلات کشش و خمش تیر را حل کند. او یکی از اولین کسانی بود که سعی کرد محاسبات را در مسائل مهندسی عمران اعمال کند.

تئوری خمش میله های الاستیک نازک توسط دانشمندان برجسته ای مانند E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. Coulomb، L. Euler، و شکل گیری نظریه کشش به عنوان یک علم را می توان با آثار R. Gun، T. Jung، J.L. لاگرانژ، اس. ژرمن.

رابرت هوک (1635-1703) با انتشار در سال 1678 اساس مکانیک اجسام الاستیک را بنا نهاد. r. کاری که در آن او قانون تناسب بین بار و تغییر شکل کششی را که ایجاد کرد، تشریح کرد. توماس یانگ (1773-1829) در همان آغاز قرن نوزدهم. مفهوم مدول الاستیسیته در کشش و فشار را معرفی کرد. او همچنین تمایزی بین تغییر شکل کششی یا فشاری و تغییر شکل برشی ایجاد کرد. آثار جوزف لویی لاگرانژ (1736-1813) و سوفی ژرمن (1776-1831) به همان زمان باز می گردد. آنها راه حلی برای مشکل خم شدن و ارتعاش صفحات الاستیک پیدا کردند. متعاقباً، تئوری صفحات توسط S. Poisson و 781-1840) و L. Navier (1785-1836) بهبود یافت.

بنابراین، در پایان قرن 18 و آغاز قرن 19. پایه های استحکام مواد گذاشته شد و زمینه برای ظهور نظریه کشش ایجاد شد. توسعه سریع فناوری تعداد زیادی از مشکلات عملی را برای ریاضیات ایجاد کرد که منجر به توسعه سریع نظریه شد. یکی از مشکلات مهم، مسئله بررسی خواص مواد الاستیک بود. راه حل این مشکل امکان مطالعه عمیق تر و کامل تر نیروهای داخلی و تغییر شکل هایی را که در یک جسم الاستیک تحت تأثیر نیروهای خارجی ایجاد می شود، فراهم کرد.

تاریخ پیدایش نظریه ریاضی کشش را باید 1821 در نظر گرفت، زمانی که کار L. Navier منتشر شد، که در آن معادلات اساسی فرموله شد.

مشکلات بزرگ ریاضی حل مسائل در نظریه کشش توجه بسیاری از ریاضیدانان برجسته قرن نوزدهم را به خود جلب کرد: لم، کلاپیرون، پواسون و غیره. 1789-1857)، که مفهوم تغییر شکل و ولتاژ را معرفی کرد، در نتیجه استخراج معادلات کلی را ساده کرد.

در سال 1828، دستگاه اصلی تئوری ریاضی الاستیسیته در آثار دانشمندان و مهندسان فرانسوی G. Lame (1795-1870) و B. Clapeyron (1799-1864) که در آن زمان در مؤسسه تدریس می کردند، تکمیل شد. مهندسان راه آهن در سن پترزبورگ. کار مشترک آنها کاربرد معادلات کلی را برای حل مسائل عملی ارائه کرد.

حل بسیاری از مسائل در نظریه الاستیسیته پس از آن امکان پذیر شد که مکانیک فرانسوی B.Saint-Venant (1797-1886) اصل را مطرح کرد و روشی مؤثر برای حل مسائل در نظریه کشش پیشنهاد کرد. شایستگی او، به گفته دانشمند مشهور انگلیسی A. Love (1863-1940) نیز در این واقعیت نهفته است که او مشکلات پیچش و خمش تیرها را با نظریه عمومی مرتبط می کند.

اگر ریاضیدانان فرانسوی عمدتاً با مسائل عمومی تئوری سر و کار داشتند، دانشمندان روسی با حل بسیاری از مسائل عملی مبرم سهم بزرگی در توسعه علم قدرت داشتند. از سال 1828 تا 1860، دانشمند برجسته M. V. Ostrogradsky (1801-1861) ریاضیات و مکانیک را در دانشگاه های فنی سن پترزبورگ تدریس کرد. تحقیقات او در مورد ارتعاشات ناشی از یک محیط الاستیک برای توسعه تئوری کشسانی مهم بود. اوستروگرادسکی کهکشانی از دانشمندان و مهندسان را تربیت کرد. از جمله آنها باید D.I. Zhuravsky (1821-1891) نام برد که در حین کار بر روی ساخت راه آهن سن پترزبورگ-مسکو نه تنها طرح های جدید پل، بلکه نظریه ای برای محاسبه خرپاهای پل ایجاد کرد و همچنین فرمولی را استخراج کرد. برای تنش های مماسی در یک تیر خمشی.

A. V. Gadolin (1828-1892) مسئله تغییر شکل متقارن محوری یک لوله با دیواره ضخیم را برای مطالعه تنش های ایجاد شده در لوله های توپخانه به کار برد و یکی از اولین کسانی بود که نظریه ارتجاعی را برای یک مسئله مهندسی خاص به کار برد.

از دیگر مشکلات حل شده در پایان قرن نوزدهم، شایان ذکر است کار Kh. S. Golovin (1844-1904) که محاسبه دقیق یک تیر منحنی را با استفاده از روش های تئوری الاستیسیته انجام داد، که این امکان را به وجود آورد. درجه دقت راه حل های تقریبی را تعیین کنید.

اعتبار زیادی برای توسعه علم قدرت متعلق به V. L. Kirpichev (1845-1913) است. او توانست به طور قابل توجهی روش های مختلف را برای محاسبه سازه های استاتیکی نامعین ساده کند. او اولین کسی بود که روش نوری را برای تعیین تجربی ولتاژها اعمال کرد و روش تشابه را ایجاد کرد.

ارتباط نزدیک با عملکرد ساخت و ساز، یکپارچگی و عمق تجزیه و تحلیل مشخصه علم شوروی است. I. G. Bubnov (1872-1919) روش تقریبی جدیدی را برای ادغام معادلات دیفرانسیل ایجاد کرد که به طرز درخشانی توسط B. G. Galerkin (1871-1945) توسعه یافت. روش تغییرات Bubnov-Galerkin در حال حاضر به طور گسترده استفاده می شود. کارهای این دانشمندان در تئوری خمش صفحه از اهمیت بالایی برخوردار است. در ادامه تحقیقات گالرکین، P.F نتایج مهم جدیدی به دست آورد. پاپکوویچ (1887-1946).

روشی برای حل یک مسئله صفحه در تئوری کشش، بر اساس کاربرد نظریه توابع یک متغیر مختلط، توسط G.V ارائه شد. کولوسف (1867-1936). متعاقباً این روش توسط N.I توسعه و تعمیم یافت. موسخلیشویلی (1891-1976). تعدادی از مسائل مربوط به پایداری میله ها و صفحات، ارتعاشات میله ها و دیسک ها و تئوری ضربه و فشردگی بدنه های الاستیک توسط A.N. دینیک (1876-1950). آثار L.S از اهمیت عملی بالایی برخوردار هستند. لایبنزون ​​(1879-1951) در مورد پایداری تعادل الاستیک میله‌های پیچ خورده بلند، در مورد پایداری پوسته‌های کروی و استوانه‌ای. کارهای عمده وی.

نظریه پلاستیسیته تاریخچه کوتاه تری دارد. اولین نظریه ریاضی پلاستیسیته توسط سنت ونانت در دهه 70 قرن نوزدهم ایجاد شد. بر اساس آزمایشات مهندس فرانسوی G. Tresca. در آغاز قرن بیستم. آر. میزس روی مسائل پلاستیسیته کار کرد. G. Genki، L. Prandtl، T. Karman. از دهه 30 قرن بیستم، نظریه پلاستیسیته توجه حلقه بزرگی از دانشمندان برجسته خارجی (A. Nadai، R. Hill، V. Prager، F. Hodge، D. Drucker و غیره) را به خود جلب کرده است. آثار بر روی نظریه پلاستیسیته توسط دانشمندان شوروی V.V. به طور گسترده ای شناخته شده است. سوکولوفسکی، آ.یو. ایشلینسکی، G.A. اسمیرنوا-آلیوا، L.M. Kachanova. سهم اساسی در ایجاد نظریه تغییر شکل پلاستیسیته توسط A.A. ایلیوشین. A.A. Gvozdev نظریه ای برای محاسبه صفحات و پوسته ها بر اساس بارهای مخرب ایجاد کرد.این نظریه با موفقیت توسط A.R. رژانیتسین.

نظریه خزش به عنوان شاخه ای از مکانیک یک جسم تغییر شکل پذیر نسبتاً اخیراً شکل گرفته است. اولین مطالعات در این زمینه به دهه 20 قرن بیستم باز می گردد. ماهیت کلی آنها با این واقعیت مشخص می شود که مسئله خزش برای مهندسی قدرت اهمیت زیادی داشت و مهندسان مجبور شدند به دنبال روش های ساده و سریع منجر به هدف برای حل مسائل عملی باشند. در ایجاد نظریه خزش، نقش بزرگی متعلق به نویسندگانی است که سهم قابل توجهی در ایجاد نظریه مدرن پلاستیسیته داشته اند. از این رو اشتراک بسیاری از ایده ها و رویکردها است. در کشور ما اولین آثار مربوط به نظریه مکانیکی خزش متعلق به ن.م. بلیایف (1943)، K.D. Mirtov (1946)، اولین مطالعات N.N. Malinin، Yu.N. به اواخر دهه 40 برمی گردد. رابوتنووا

تحقیقات در زمینه بدنه های الاستیک- ویسکوز در آثار A.Yu انجام شد. ایشلینسکی، A.N. گراسیموا، A.R. رژانیتسینا، یو.ن. رابوتنووا کاربرد این نظریه برای مواد پیر، در درجه اول بتن، در آثار N.X آورده شده است. هاروتونیان، ع.الف. گووزدوا، G.N. ماسلوا. تحقیقات زیادی در مورد خزش مواد پلیمری توسط تیم های تحقیقاتی به رهبری A.A. ایلیوشینا، A.K. مالمیستر، ام.آی. روزوفسکی، G.N. ساوینا.

دولت شوروی توجه زیادی به علم دارد. سازماندهی موسسات تحقیقاتی و مشارکت تیم های بزرگ دانشمندان در توسعه مشکلات موضوعی امکان ارتقای علم شوروی را به سطح بالاتری فراهم کرد.

در یک بررسی کوتاه، نمی توان با جزئیات بیشتر در مورد کار همه دانشمندانی که در توسعه نظریه کشش و انعطاف پذیری مشارکت داشتند صحبت کرد. کسانی که مایلند با تاریخچه توسعه این علم به تفصیل آشنا شوند می توانند به کتاب درسی N.I. بزوخوف، که در آن تجزیه و تحلیل دقیقی از مراحل اصلی در توسعه نظریه کشش و انعطاف پذیری، و همچنین کتابشناسی گسترده ارائه شده است.

1.1.فرضیه ها، اصول و تعاریف اساسی

نظریه تنش به عنوان شاخه‌ای از مکانیک پیوسته بر چند فرضیه استوار است که اصلی‌ترین آنها را باید فرضیه‌های حالت تنش پیوستگی و طبیعی (پس‌زمینه) نامید.

طبق فرضیه تداوم، همه اجسام هم قبل از اعمال بار (قبل از تغییر شکل) و هم بعد از اعمال بار کاملاً پیوسته در نظر گرفته می شوند. در این صورت، هر حجمی از بدن جامد (مستمر) می ماند، از جمله حجم ابتدایی، یعنی بی نهایت کوچک. در این راستا، تغییر شکل‌های یک جسم به‌عنوان توابع پیوسته مختصات در نظر گرفته می‌شود که ماده جسم بدون ایجاد ترک یا چین‌های ناپیوسته در آن تغییر شکل داده شود.

فرضیه حالت تنش طبیعی وجود یک سطح تنش اولیه (پس زمینه) در بدن را فرض می کند که معمولاً صفر در نظر گرفته می شود و تنش های واقعی ناشی از یک بار خارجی به عنوان افزایش تنش بالاتر از سطح طبیعی در نظر گرفته می شود.

در کنار فرضیه های اصلی فوق، تعدادی اصول بنیادی نیز در نظریه تنش پذیرفته شده است که در این میان ابتدا باید به داشتن اجسام دارای کشش ایده آل، همسانگردی کروی، همگنی کامل و ... اشاره کرد. رابطه خطی بین تنش ها و تغییر شکل ها.

الاستیسیته ایده آل توانایی موادی است که در معرض تغییر شکل قرار می گیرند برای بازیابی شکل اولیه (اندازه و حجم) پس از حذف بار خارجی (تأثیر خارجی). تقریباً تمام سنگ‌ها و بیشتر مصالح ساختمانی درجاتی از خاصیت ارتجاعی دارند؛ این مواد هم شامل مایعات و هم گازها می‌شوند.

همسانگردی کروی خواص یکسانی از مواد را در تمام جهات اثر بار پیش‌فرض می‌گیرد؛ پاد پاد آن ناهمسانگردی است، یعنی عدم تشابه خواص در جهات مختلف (برخی کریستال‌ها، چوب و غیره). در عین حال، مفاهیم همسانگردی کروی و همگن نباید اشتباه گرفته شوند: به عنوان مثال، ساختار همگن چوب با ناهمسانگردی مشخص می شود - تفاوت در استحکام درخت در امتداد و در سراسر الیاف. مواد الاستیک، همسانگرد و همگن با یک رابطه خطی بین تنش ها و کرنش ها مشخص می شوند که توسط قانون هوک توضیح داده شده است، که در بخش مربوطه کتاب درسی مورد بحث قرار گرفته است.

اصل اساسی در تئوری تنش (و تغییر شکل، در میان چیزهای دیگر) اصل عمل موضعی بارهای خارجی خود متعادل است - اصل Saint-Venant. بر اساس این اصل، یک سیستم متعادل از نیروهای وارد شده به جسم در هر نقطه (خط) باعث ایجاد تنش در ماده می شود که با فاصله از محل اعمال بار به سرعت کاهش می یابد، مثلاً طبق یک قانون نمایی. نمونه ای از چنین عملی برش کاغذ با قیچی است که قسمتی از ورق (خط) را تغییر شکل می دهد (برش می دهد)، در حالی که بقیه ورق کاغذ مختل نمی شود، یعنی تغییر شکل موضعی رخ می دهد. استفاده از اصل Saint-Venant به ساده کردن محاسبات ریاضی هنگام حل مشکلات تخمین مالیات بر ارزش افزوده با جایگزینی یک بار معین که توصیف ریاضی آن دشوار است با یک بار ساده تر، اما معادل، کمک می کند.

در مورد موضوع مورد مطالعه در تئوری تنش، لازم است تعریفی از خود تنش ارائه شود که به عنوان معیاری از نیروهای درونی یک جسم، در یک بخش معین از آن، توزیع شده در بخش مورد نظر و در نظر گرفته می شود. مقابله با بار خارجی در این حالت تنش های وارد بر سطح عرضی و عمود بر آن نرمال نامیده می شود. بر این اساس تنش های موازی با این ناحیه یا لمس آن مماس خواهد بود.

در نظر گرفتن تئوری استرس با ارائه مفروضات زیر ساده می شود که عملاً دقت راه حل های به دست آمده را کاهش نمی دهد:

ازدیاد طول نسبی (کوتاه شدن) و همچنین جابجایی های نسبی (زوایای برشی) بسیار کمتر از وحدت است.

جابجایی نقاط بدن در طول تغییر شکل آن در مقایسه با ابعاد خطی بدن کوچک است.

زوایای چرخش مقاطع در هنگام تغییر شکل خمشی بدنه نیز در مقایسه با وحدت بسیار کوچک است و مربع آنها در مقایسه با مقادیر تغییر شکل های نسبی خطی و زاویه ای ناچیز است.

مبانی تئوری الاستیسیته

مسائل متقارن محوری نظریه الاستیسیته

مبانی تئوری الاستیسیته

مقررات اساسی، مفروضات و نمادها معادلات تعادلی برای یک متوازی الاضلاع ابتدایی و یک چهار وجهی ابتدایی. تنش های معمولی و برشی در امتداد یک سکوی شیبدار

تعیین تنش های اصلی و بزرگترین تنش های مماسی در یک نقطه. تنش در امتداد مناطق هشت وجهی مفهوم جابجایی. وابستگی بین تغییر شکل ها و جابجایی ها. نسبت فامیلی

تغییر شکل خطی در جهت دلخواه معادلات سازگاری تغییر شکل. قانون هوک برای جسم همسانگرد مسئله صفحه در مختصات مستطیلی مسئله صفحه در مختصات قطبی

راه حل های ممکن برای مسائل در تئوری کشش. راه حل مشکلات در جابجایی ها و تنش ها وجود میدان دما. نتیجه گیری مختصر در بخش مسائل متقارن محوری معادلات در مختصات استوانه ای معادلات در مختصات استوانه ای (ادامه)

تغییر شکل یک ظرف کروی با دیواره ضخیم نیروی متمرکزی که بر روی صفحه وارد می شود

موارد خاص بارگذاری یک نیمه فضای الاستیک: بارگذاری یکنواخت روی سطح یک دایره، بارگذاری روی سطح یک دایره روی یک "نیمکره"، مشکل معکوس فشار دادن یک توپ کاملاً سفت و سخت به یک نیمه الاستیک فضا. مشکل ریزش الاستیک توپ لوله های دیواره ضخیم

اطلاعات کلی. معادله تعادل عنصر لوله بررسی تنش های تحت فشار در یکی از مدارها. شرایط استحکام در هنگام تغییر شکل کشسانی تنش ها در لوله های کامپوزیت. مفهوم محاسبه لوله های چند لایه نمونه هایی از محاسبات

صفحات، غشاها تعاریف و فرضیه های اساسی

معادله دیفرانسیل سطح وسط منحنی صفحه در مختصات مستطیلی خمش استوانه ای و کروی صفحه

گشتاورهای خمشی در طول خمش متقارن محوری یک صفحه گرد. معادله دیفرانسیل سطح وسط منحنی یک صفحه مدور شرایط مرزی در صفحات دایره ای. بیشترین تنش ها و انحرافات. شرایط قدرت. تنش های دمایی در صفحات

تعیین نیروها در غشاها نیروهای زنجیره ای و تنش ها تعیین تقریبی انحرافات و تنش ها در غشاهای گرد نمونه هایی از محاسبات نمونه هایی از محاسبات (ادامه)

1.1 مبانی، مفروضات و نمادها

تئوری الاستیسیته با هدف مطالعه تحلیلی وضعیت تنش-کرنش یک جسم الاستیک است. راه حل های به دست آمده با استفاده از مفروضات مقاومت را می توان با استفاده از نظریه کشش تایید کرد

مواد، و محدودیت های کاربرد این راه حل ها تعیین شده است. گاهی اوقات بخش‌هایی از نظریه کشسانی که در آن‌ها مانند استحکام مواد، مسئله مناسب بودن یک قطعه در نظر گرفته می‌شود، اما با استفاده از یک دستگاه ریاضی نسبتاً پیچیده (محاسبه صفحات، پوسته‌ها، آرایه‌ها)، به عنوان نظریه کاربردی الاستیسیته

این فصل به تشریح مفاهیم اساسی نظریه خطی ریاضی الاستیسیته می پردازد. کاربرد ریاضیات در توصیف پدیده های فیزیکی مستلزم طرحواره سازی آنهاست. در نظریه ریاضی الاستیسیته، مسائل با کمترین فرضیات ممکن حل می شوند، که تکنیک های ریاضی مورد استفاده برای حل را پیچیده می کند. تئوری خطی الاستیسیته وجود یک رابطه خطی بین اجزای تنش و کرنش را فرض می کند. برای تعدادی از مواد (لاستیک، برخی از انواع چدن)، چنین وابستگی را نمی توان حتی در تغییر شکل های کوچک پذیرفت: نمودار σ - ε در محدوده کشسانی، هم در زمان بارگذاری و هم در حین تخلیه، طرح کلی یکسانی دارد، اما در هر دو مورد. منحنی است. هنگام مطالعه چنین موادی، لازم است از وابستگی های تئوری غیرخطی کشش استفاده شود.

که در تئوری خطی ریاضی الاستیسیته بر اساس مفروضات زیر است:

1. بر تداوم (تداوم) محیط. در این مورد، ساختار اتمی ماده یا وجودهر گونه فضای خالی در نظر گرفته نمی شود.

2. در مورد حالت طبیعی که بر اساس آن حالت تنش (تغییر شکل) اولیه بدن که قبل از اعمال تأثیر نیرو بوجود آمده است در نظر گرفته نمی شود، یعنی فرض بر این است که در لحظه بارگذاری بدن، تغییر شکل ها و تنش در هر نقطه برابر با صفر است. در صورت وجود تنش‌های اولیه، این فرض تنها در صورتی معتبر خواهد بود که وابستگی‌های نظریه خطی کشش را بتوان به تنش‌های حاصل (مجموع تنش‌های اولیه و تنش‌های ناشی از تأثیرات) اعمال کرد.

3. در مورد همگنی که بر اساس آن فرض می شود که ترکیب بدن در همه نقاط یکسان است. اگر در رابطه با فلزات این فرض خطاهای زیادی ایجاد نکند، در رابطه با بتن هنگام در نظر گرفتن حجم های کوچک می تواند منجر به خطاهای قابل توجهی شود.

4. در مورد ایزوتروپی کروی، که بر اساس آن اعتقاد بر این است کهخواص مکانیکی مواد در همه جهات یکسان است. بلورهای فلزی این خاصیت را ندارند، اما برای کل فلز که از تعداد زیادی کریستال کوچک تشکیل شده است، می‌توان فرض کرد که این فرضیه معتبر است. برای موادی که خواص مکانیکی متفاوتی در جهت‌های مختلف دارند، مانند پلاستیک‌های چند لایه، تئوری خاصیت ارتجاعی مواد اورتوتروپ و ناهمسانگرد ایجاد شده است.

5. بر اساس کشش ایده آل، که بر اساس آن ناپدید شدن کامل تغییر شکل پس از برداشتن بار فرض می شود. همانطور که مشخص است، تغییر شکل باقیمانده در اجسام واقعی تحت هر بارگذاری رخ می دهد. بنابراین فرض

6. در رابطه خطی بین اجزای تغییر شکل وولتاژها

7. در مورد کوچکی تغییر شکل ها، که بر اساس آن فرض می شود که تغییر شکل های خطی و زاویه ای نسبی در مقایسه با واحد کوچک هستند. برای موادی مانند لاستیک، یا عناصری مانند فنرهای مارپیچ، تئوری تغییر شکل های الاستیک بزرگ ایجاد شده است.

هنگام حل مسائل در نظریه کشش، از قضیه منحصر به فرد بودن راه حل استفاده می کنیم: اگر سطح خارجی داده شده و نیروهای حجمی در تعادل باشند، با یک سیستم واحد تنش و جابجایی مطابقت دارند.گزاره در مورد یکتایی راه حل تنها در صورتی معتبر است که فرض حالت طبیعی جسم معتبر باشد (در غیر این صورت تعداد بی نهایت راه حل ممکن است) و فرض رابطه خطی بین تغییر شکل ها و نیروهای خارجی.

هنگام حل مسائل در تئوری کشش، اغلب از اصل سنت ونانت استفاده می شود: اگر نیروهای خارجی اعمال شده بر روی ناحیه کوچکی از یک جسم الاستیک با یک سیستم معادل استاتیکی از نیروهای وارد بر همان ناحیه (دارای همان بردار اصلی و همان گشتاور اصلی) جایگزین شوند، این جایگزینی تنها باعث تغییر در تغییر شکل های محلی

در نقاطی که به اندازه کافی از مکان هایی که بارهای خارجی اعمال می شود فاصله دارند، تنش ها بستگی کمی به روش اعمال آنها دارد. باری که در جریان مقاومت مواد به صورت شماتیک بر اساس اصل سنت ونانت به صورت نیرو یا ممان متمرکز بیان می‌شود، در واقع نشان‌دهنده تنش‌های نرمال و مماسی است که به هر طریقی بر روی یک ناحیه معین توزیع می‌شوند. از سطح بدن در این حالت، یک نیرو یا یک جفت نیرو ممکن است با توزیع تنش های مختلف مطابقت داشته باشد. بر اساس اصل سنت ونانت، می‌توان فرض کرد که تغییر نیروها بر بخشی از سطح جسم تقریباً هیچ تأثیری بر تنش‌ها در نقاطی که در فاصله کافی از محل اعمال این نیروها قرار دارند (در مقایسه با ابعاد خطی بخش بارگذاری شده).

موقعیت ناحیه مورد مطالعه، انتخاب شده در بدنه (شکل 1)، توسط کسینوس های جهت N نرمال به ناحیه در سیستم انتخاب شده از محورهای مختصات مستطیلی x، y و z تعیین می شود.

اگر P حاصل نیروهای داخلی است که در امتداد یک ناحیه ابتدایی جدا شده در نقطه A عمل می کنند، آنگاه تنش کل p N در این نقطه در امتداد ناحیه ای با N نرمال به عنوان حد نسبت در تعریف می شود.

فرم زیر:

.

بردار p N را می توان در فضا به سه جزء عمود بر هم تجزیه کرد.

2. روی مولفه‌های σN، τNs و τNt در جهت‌های عادی به محل (تنش نرمال) و دو محور متقابل عمود بر s و t (شکل 1، b) که در صفحه مکان قرار دارند (مماسی). استرس ها). مطابق شکل 1، ب

اگر بخش یا ناحیه بدنه موازی با یکی از صفحات مختصات باشد، برای مثال y0z (شکل 2)، آنگاه نرمال این ناحیه، محور مختصات سوم x خواهد بود و مولفه های تنش σx، τ xy و تعیین می شوند. τ xz.

تنش معمولی اگر کششی باشد مثبت و اگر فشاری باشد منفی است. علامت تنش برشی با استفاده از قانون زیر تعیین می شود: اگر یک تنش نرمال مثبت (کششی) در امتداد محل یک برجستگی مثبت ایجاد کند، پس مماس

تنش در امتداد همان منطقه مثبت در نظر گرفته می شود، مشروط بر اینکه روی محور مربوطه نیز یک طرح مثبت ایجاد کند. اگر تنش نرمال کششی یک برآمدگی منفی ایجاد کند، تنش برشی مثبت نیز باید بر روی محور مربوطه یک برآمدگی منفی ایجاد کند.

در شکل برای مثال، تمام اجزای تنش که در امتداد وجه‌های یک متوازی الاضلاع ابتدایی منطبق با صفحات مختصات عمل می‌کنند مثبت هستند.

برای تعیین وضعیت تنش در یک نقطه از یک جسم الاستیک، لازم است که تنش کل p N را در سه ناحیه عمود بر یکدیگر که از این نقطه عبور می کنند، بدانیم. از آنجایی که هر تنش کل را می توان به سه جزء تجزیه کرد، در صورت شناخته شدن 9 جزء تنش، وضعیت تنش تعیین می شود. این اجزا را می توان به صورت ماتریس نوشت

,

ماتریس اجزای تانسور تنش در یک نقطه نامیده می شود.

هر خط افقی ماتریس شامل سه مولفه استرس است که بر روی یک ناحیه عمل می کنند، زیرا اولین نمادها (نام نرمال) یکسان هستند. هر ستون عمودی تانسور شامل سه تنش موازی با همان محور است، زیرا نمادهای دوم آنها (نام محور موازی که تنش روی آن اعمال می شود) یکسان است.

1.2 معادلات تعادل برای یک متوازی الاضلاع ابتدایی

و چهار وجهی ابتدایی

اجازه دهید یک متوازی الاضلاع ابتدایی با ابعاد لبه dx، dy و dz در نقطه مورد مطالعه A (با مختصات x، y و z) یک جسم الاستیک تحت تنش توسط سه جفت صفحه عمود بر هم انتخاب کنیم (شکل 2). در امتداد هر یک از سه وجه عمود بر هم مجاور نقطه A (نزدیکترین به صفحات مختصات)، سه جزء تنش – نرمال و دو مماس – عمل خواهند کرد. فرض می کنیم که در امتداد وجوه مجاور نقطه A مثبت باشند.

هنگام حرکت از وجهی که از نقطه A می گذرد به سمت وجه موازی، تنش ها تغییر می کنند و افزایش می یابند. به عنوان مثال، اگر در امتداد وجه CAD که از نقطه A عبور می کند، مولفه های تنش σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x ، y، z،)، سپس در امتداد وجه موازی، به دلیل افزایش تنها یک مختصات x هنگام حرکت از یک وجه به صورت دیگر، عمل خواهد کرد.

مولفه های تنش می توان تنش ها را در تمام وجوه یک موازی پایه ابتدایی تعیین کرد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 3.

علاوه بر تنش های اعمال شده به وجوه یک متوازی الاضلاع ابتدایی، نیروهای حجمی نیز روی آن اعمال می شود: نیروهای وزنی، نیروهای اینرسی. اجازه دهید پیش بینی این نیروها در واحد حجم روی محورهای مختصات را با X، Y و Z نشان دهیم.

بر روی یک متوازی الاضلاع ابتدایی عمل می کنیم، سپس پس از کاهش با حاصلضرب dxdydz معادله را به دست می آوریم.

.

پس از گردآوری معادلات مشابه برای پیش بینی نیروها بر روی محورهای y و z، سه معادله دیفرانسیل برای تعادل یک متوازی الاضلاع ابتدایی که توسط کوشی به دست آمده است، خواهیم نوشت.

وقتی ابعاد متوازی الاضلاع به صفر کاهش می یابد، به یک نقطه تبدیل می شود و σ و τ نشان دهنده مؤلفه های تنش در امتداد سه ناحیه عمود بر یکدیگر هستند که از نقطه A عبور می کنند.

اگر مجموع گشتاورهای تمام نیروهای وارد بر یک متوازی الاضلاع ابتدایی را نسبت به محور x موازی با محور x و عبور از مرکز ثقل آن، برابر کنیم، معادله را به دست می آوریم.

یا با در نظر گرفتن این واقعیت که عبارت دوم و چهارم معادله مرتبه بالاتر نسبت به بقیه کوچک هستند، پس از کاهش dxdydz

τ yz - τ zy = 0 یا τ yz = τ zy.

با گردآوری معادلات مشابه گشتاورها نسبت به محورهای مرکزی yc و zc، سه معادله برای قانون جفت شدن تنش های مماسی به دست می آوریم.

τ xy = τ yx، τ yx = τ xy، τ zx = τ xz. (1.3)

این قانون به شرح زیر تدوین شده است:تنش‌های مماسی که در امتداد مناطق عمود بر یکدیگر اعمال می‌شوند و عمود بر خط تقاطع نواحی هدایت می‌شوند، از نظر بزرگی برابر و از نظر علامت یکسان هستند.

بنابراین، از 9 مولفه تنش ماتریس تانسور T σ، شش مولفه به صورت جفتی با یکدیگر برابر هستند و برای تعیین وضعیت تنش در یک نقطه کافی است تنها شش مؤلفه تنش زیر را بیابید:

.

اما شرایط تعادل کامپایل شده تنها سه معادله (1.2) به ما داد که شش مجهول را نمی توان یافت. بنابراین، مشکل مستقیم تعیین حالت تنش در یک نقطه، در حالت کلی، از نظر استاتیکی غیرقابل تعیین است. برای آشکار کردن این عدم تعیین ایستا، وابستگی های هندسی و فیزیکی اضافی مورد نیاز است.

اجازه دهید یک متوازی الاضلاع ابتدایی را در نقطه A با صفحه ای متمایل به وجه های آن تشریح کنیم. اجازه دهید N نرمال به این صفحه دارای جهت کسینوس l، m و n باشد. فرض می کنیم که نقطه A با مبدأ مختصات منطبق است و سه وجه عمود بر هم متقابل چهار وجهی با صفحات مختصات منطبق هستند.

مولفه های تنش که در امتداد این وجوه چهار وجهی عمل می کنند در نظر گرفته می شوند

مثبت آنها در شکل نشان داده شده اند. 4. اجازه دهید پیش بینی تنش کل p N را که در امتداد وجه شیبدار چهار وجهی BCD روی محورهای x، y و z عمل می کند، نشان دهیم. بیایید ناحیه BCD صورت مایل را به صورت dF نشان دهیم. سپس ناحیه صورت АВС dFп، ناحیه صورت ACD - dFl و صورت АДВ - dFт خواهد بود.

بیایید یک معادله تعادلی برای یک چهار وجهی ایجاد کنیم که تمام نیروهایی که در امتداد وجه‌های آن بر محور x اعمال می‌شوند، بسازیم. فرافکنی نیروی بدن در معادله برون ریزی گنجانده نشده است، بنابراین

زیرا مقداری از درجه کوچکی بالاتر را در مقایسه با پیش بینی نیروهای سطحی نشان می دهد:

با جمع آوری معادلات برای طرح نیروهای وارد بر چهار وجهی در محورهای y و z، دو معادله مشابه دیگر به دست می آوریم. در نتیجه سه معادله تعادل برای یک چهار وجهی ابتدایی خواهیم داشت

اجازه دهید یک جسم فضایی با شکل دلخواه را با سیستمی از صفحات عمود بر یکدیگر xOy، yOz و xOz (شکل 5) به تعدادی متوازی الاضلاع ابتدایی تقسیم کنیم. در همان زمان، عناصر اولیه در سطح بدن تشکیل می شود.

چهار وجهی (قطعات منحنی سطح، به دلیل کوچکی، می توانند با صفحات جایگزین شوند). در این حالت، p N بار روی سطح را نشان می‌دهد و معادلات (1.4) این بار را با تنش‌های σ و τ در بدنه متصل می‌کنند، یعنی شرایط مرزی مسئله تئوری الاستیسیته را نشان می‌دهند. شرایط تعیین شده توسط این معادلات نامیده می شود شرایط روی سطح

لازم به ذکر است که در تئوری الاستیسیته، بارهای خارجی با تنش های معمولی و مماسی که بر اساس برخی قوانین بر روی مناطق منطبق با سطح بدن اعمال می شود، نشان داده می شود.

1.3 تنش های معمولی و برشی در امتداد شیب مایل

سایت

اجازه دهید یک چهار ضلعی ابتدایی ABCD را در نظر بگیریم که سه وجه از آن با صفحات مختصات موازی هستند و N معمولی با وجه چهارم با محورهای مختصات زاویه می‌سازد که کسینوس‌های آن برابر با l، m و n است (شکل 6). ). فرض می‌کنیم که مولفه‌های تنش معمولی و مماسی که در امتداد نواحی واقع در صفحات مختصات عمل می‌کنند، داده شده‌اند، و تنش‌های ناحیه BCD را تعیین می‌کنیم. بیایید یک سیستم جدید از محورهای مختصات مستطیلی x 1، y 1 و z 1 انتخاب کنیم، به طوری که محور x 1 با N معمولی منطبق شود،

در فصل 4-6، معادلات اساسی تئوری الاستیسیته استخراج شد، قوانین تغییرات تنش ها و تغییر شکل ها در مجاورت یک نقطه دلخواه از بدن، و همچنین روابط پیوند تنش ها با تغییر شکل ها و تغییر شکل ها با جابجایی ها را ایجاد کرد. اجازه دهید سیستم کامل معادلات نظریه کشش را در مختصات دکارتی ارائه کنیم.

معادلات تعادل ناویر:

روابط کوشی:

قانون هوک (به صورت مستقیم و معکوس):

در اینجا به شما یادآوری کنیم e = e x + e y + e z -تغییر شکل حجمی نسبی و با توجه به قانون جفت شدن تنش های مماسی Xj. = Tj;و بر این اساس y~ = ^ 7. ثابت های Lame موجود در (16.3a) با فرمول (6.13) تعیین می شوند.

از سیستم فوق مشخص است که شامل 15 معادله دیفرانسیل و جبری شامل 15 تابع مجهول (6 جزء تانسور تنش، 6 جزء تانسور کرنش و 3 جزء بردار جابجایی) است.

با توجه به پیچیدگی سیستم کامل معادلات، یافتن یک راه حل کلی که برای همه مسائل تئوری کشش در عمل معتبر باشد، غیرممکن است.

اگر مثلاً فقط تنش ها یا جابجایی ها به عنوان تابع مجهول در نظر گرفته شوند، راه های مختلفی برای کاهش تعداد معادلات وجود دارد.

اگر هنگام حل مسئله تئوری الاستیسیته، جابجایی ها را از در نظر گرفتن حذف کنیم، به جای روابط کوشی (16.2)، می توانیم معادلاتی را به دست آوریم که اجزای تانسور کرنش را به هم متصل می کند. بیایید تغییر شکل را متمایز کنیم g xتعریف شده توسط برابری اول (16.2)، دو بار y،تغییر شکل g y -دو بار در x و عبارات حاصل را اضافه کنید. در نتیجه بدست می آوریم

عبارت داخل پرانتز، مطابق (16.2)، تغییر شکل زاویه ای y را تعیین می کند. بنابراین، آخرین برابری را می توان در فرم نوشت

به همین ترتیب، می‌توانیم دو برابری دیگر به دست آوریم که به همراه آخرین رابطه، گروه اول را تشکیل می‌دهند معادلات سازگاری تغییر شکل سنت ونانت:

هر یک از مساوات (16.4) بین تغییر شکل ها در یک صفحه ارتباط برقرار می کند. از روابط کوشی، شرایط سازگاری را نیز می توان به دست آورد که تغییر شکل ها را در سطوح مختلف مرتبط می کند. اجازه دهید عبارات (16.2) را برای تغییر شکل های زاویه ای به صورت زیر متمایز کنیم: y - با توجه به z y - توسط ایکس؛

توسط y; بیایید دو تساوی اول را جمع کرده و سومی را کم کنیم. در نتیجه بدست می آوریم

تمایز این برابری با توجه به y و در نظر گرفتن اینکه

به رابطه زیر می رسیم:

با استفاده از جایگزینی دایره ای، دو برابری دیگر به دست می آوریم که به همراه آخرین رابطه، گروه دوم معادلات را برای سازگاری تغییر شکل های Saint-Venant تشکیل می دهند:

معادلات سازگاری تغییر شکل را شرایط نیز می نامند تداومیا تداوماین اصطلاحات این واقعیت را مشخص می کند که وقتی بدن تغییر شکل می دهد جامد می ماند. اگر جسمی را متشکل از عناصر منفرد تصور کنیم و تغییر شکل‌های ex, y را به صورت توابع دلخواه در نظر بگیریم، در حالت تغییر شکل، امکان جمع آوری یک جسم جامد از این عناصر وجود نخواهد داشت. اگر شرایط (16.4)، (16.5) برآورده شود، جابجایی مرزهای تک تک عناصر به گونه ای خواهد بود که بدن حتی در حالت تغییر شکل جامد باقی می ماند.

بنابراین، یکی از راه‌های کاهش تعداد مجهولات هنگام حل مسائل در نظریه کشش، حذف جابجایی‌ها از بررسی است. سپس، به جای روابط کوشی، سیستم کامل معادلات شامل معادلات سازگاری برای تغییر شکل های سنت ونانت می شود.

با توجه به سیستم کامل معادلات نظریه کشش، باید به این نکته توجه داشت که عملاً دارای عوامل تعیین کننده وضعیت تنش-کرنش بدن نیست. این عوامل عبارتند از شکل و اندازه بدن، روش های محکم کردن آن، بارهای وارد بر بدن، به استثنای نیروهای حجمی. X، Y، Z.

بنابراین، سیستم کامل معادلات نظریه الاستیسیته تنها الگوهای کلی تغییرات تنش‌ها، تغییر شکل‌ها و جابجایی‌ها را در اجسام الاستیک ایجاد می‌کند. اگر شرایط بارگذاری بدنه مشخص شده باشد، می توان راه حل یک مشکل خاص را به دست آورد. این در شرایط مرزی داده شده است، که یک مسئله در نظریه کشش را از دیگری متمایز می کند.

از دیدگاه ریاضی نیز واضح است که حل کلی یک سیستم معادلات دیفرانسیل شامل توابع و ثابت های دلخواه است که باید از شرایط مرزی تعیین شوند.

در اجسامی که در حال سکون هستند یا تحت تأثیر بارها در حال حرکت هستند.

1. مسئله تئوری کشش

وظیفه این نظریه نوشتن معادلات ریاضی است که حل آنها به ما امکان می دهد به سؤالات زیر پاسخ دهیم:

• اگر یک جسم خاص در نقاط بارگذاری شناخته شده بارگذاری با قدر معین روی آن اعمال شود، تغییر شکل‌های آن چقدر خواهد بود؟
• تنش در بدن چگونه خواهد بود؟

این سؤال که آیا بدن در برابر این بارها فرو می ریزد یا مقاومت می کند، ارتباط نزدیکی با نظریه کشش دارد، اما، به طور دقیق، در صلاحیت آن نیست.

مثال های زیادی وجود دارد که می توان ارائه کرد - از تعیین تغییر شکل ها و تنش ها در یک تیر بارگذاری شده روی تکیه گاه ها گرفته تا محاسبه پارامترهای یکسان در بدنه هواپیما، موشک، زیردریایی، در چرخ کالسکه، در زره یک. تانک هنگام اصابت پرتابه، در رشته کوه هنگام گذاشتن یک ادیت، در چارچوب یک ساختمان بلند و غیره.

در مورد مسائل مهندسی، تنش و تغییر شکل در سازه ها با استفاده از تئوری های ساده شده، به طور منطقی بر اساس نظریه کشش محاسبه می شود. این گونه نظریه ها عبارتند از: مقاومت مصالح، که وظیفه آن محاسبه میله ها و تیرها و همچنین ارزیابی تنش های ناشی از نواحی برهمکنش تماس اجسام جامد است. مکانیک سازه- محاسبه سیستم های هسته ای (به عنوان مثال، پل ها)، و نظریه پوسته- شاخه ای مستقل و توسعه یافته از علم تغییر شکل و تنش که موضوع تحقیق آن پوسته های جدار نازک - شکل های استوانه ای، مخروطی، کروی و پیچیده است.

2. مفاهیم اساسی نظریه کشش

مفاهیم اساسی تئوری الاستیسیته عبارتند از تنش اعمال شده بر روی سطوح کوچک، که می توان به طور ذهنی از طریق یک نقطه P در بدن ترسیم کرد، تغییر شکل یک همسایگی کوچک از نقطه P و جابجایی خود نقطه P. به طور دقیق تر، تنش مکانیکی. تانسور، تانسور تغییر شکل کوچک و بردار جابجایی معرفی شده است تو مننماد کوتاه، شاخص ها کجا هستند من، جمقادیر 1، 2، 3 (یا x، y، z)باید به عنوان یک ماتریس به شکل زیر درک شود:

نماد کوتاه برای تانسور باید به طور مشابه درک شود.

اگر یک نقطه فیزیکی از جسم M به دلیل تغییر شکل، موقعیت جدیدی در فضای P گرفته باشد، بردار جابجایی یک بردار با اجزا است. (u x، u y، u z)،یا به طور خلاصه تو مندر تئوری تغییر شکل های کوچک اجزاء تو منو مقادیر کوچک در نظر گرفته می شوند (به بیان دقیق، بی نهایت کوچک). اجزای یک تانسور که به آن نیز می گویند تانسور کرنش کوشییا تانسور کرنش خطیو بردار تو منمرتبط با وابستگی ها:

از آخرین مدخل واضح است که، بنابراین، تانسور کرنش طبق تعریف متقارن است.

اگر جسم الاستیک تحت تأثیر نیروهای خارجی در حالت تعادل باشد (یعنی سرعت تمام نقاط آن برابر با صفر باشد)، هر قسمتی از بدن که بتوان از نظر ذهنی از آن جدا شود نیز در حالت تعادل است. یک متوازی الاضلاع مستطیلی بی نهایت کوچک از بدنه خودنمایی می کند که لبه های آن موازی با صفحات مختصات دستگاه دکارتی است. از وضعیت تعادل یک متوازی الاضلاع با ابعاد لبه ها dx، dy، dz،با در نظر گرفتن شرایط تعادل نیروها در پیش بینی ها، می توانیم به دست آوریم:

به طور مشابه، معادلات تعادل به دست می‌آیند که برابری صفر ممان اصلی تمام نیروهای وارد بر متوازی الاضلاع را بیان می‌کنند که به شکل کاهش می‌یابد:

این برابری به این معنی است که تانسور تنش یک تانسور متقارن است و تعداد مولفه‌های مجهول تانسور تنش به 6 کاهش می‌یابد. فقط سه معادله تعادل وجود دارد، یعنی. معادلات استاتیک برای حل مسئله کافی نیست. راه حل این است که تنش ها را بر حسب کرنش با استفاده از معادلات قانون هوک بیان کنیم و سپس کرنش ها را بر حسب جابجایی بیان کنیم. تو منبا استفاده از فرمول کوشی، و نتیجه را با معادله تعادل جایگزین کنید. این سه معادله تعادل دیفرانسیل برای سه تابع مجهول ایجاد می کند u x u y u z,آن ها تعداد مجهولات با تعداد معادلات مطابقت دارد. این معادلات را معادلات ناویر کوشی می نامند.

.

3. شرایط مرزی

حل مسائل در تئوری کشسانی به ادغام یک سیستم معادلات دیفرانسیل جزئی کاهش می یابد که رفتار یک جسم الاستیک را در نقاط داخلی تعیین می کند. شرایط سطحی که بدن را محدود می کند به این معادلات اضافه می شود. این شرایط تعیین کننده تخصیص نیروهای سطح خارجی یا جابجایی نقاط روی سطح بدن است. بسته به این، یکی از سه نوع مسئله مقدار مرزی معمولاً فرموله می شود.

مسئله ارزش مرزی اول- حرکتی. اجزای جابجایی در حجم بدن یافت می شوند و مقادیر خاصی را در سطح به دست می آورند. در شرایط روی سطح بدنه، معادلات سطح و مقادیر اجزای جابجایی روی آن به این ترتیب مشخص می شود.

مشکل ارزش مرزی دوم- ایستا در این حالت هیچ محدودیتی در حرکت بر روی سطح بدنه اعمال نمی شود و معادلات سطح، کسینوس های جهت نرمال به سطح و مقادیر اجزای بارهای سطحی مشخص می شود.

در صورتی که سطح جسم با صفحات مختصات منطبق باشد، شرایط مرزی را می توان مستقیماً در تنش ها فرموله کرد. سپس کافی است معادله سطح را نشان داده و مقادیر مولفه های تنش را روی آن تنظیم کنید.

مشکل ارزش مرزی سوم- مخلوط در این حالت، شرایط سینماتیکی در یک قسمت از سطح بدن و شرایط ایستا در قسمت دیگر تنظیم می شود.

این سه وظیفه تنوع شرایط مرزی را از بین نمی برند. به عنوان مثال، در یک سطح خاص، هر سه جزء جابجایی یا اجزای بار سطحی ممکن است مشخص نشوند.

4. همچنین ببینید

منابع

• تیموشنکو اس پی، گودیر جی.نظریه کشش. م.: ناوکا، 1979. 560 ص.

مطالب 4
از ویرایشگر ترجمه 10
پیشگفتار چاپ سوم 13
پیشگفتار چاپ دوم 15
پیشگفتار چاپ اول 16
تعیین 20
فصل 1. مقدمه 22
§ 1. خاصیت ارتجاعی 22
§ 2. ولتاژ 23
§ 3. تعیین نیروها و تنش ها 24
§ 4. اجزای استرس 25
§ 5. اجزای تغییر شکل 26
§ 6. قانون هوک 28
§ 7. نماد نمایه 32
مسائل 34
فصل 2. حالت تنش صفحه و کرنش صفحه 35
§ 8. تنش صفحه شامل 35 بود
§ 9. تغییر شکل صفحه 35
§ 10. استرس در نقطه 37
§ 11. تغییر شکل ها در نقطه 42
§ 12. اندازه گیری تغییر شکل های سطح 44
§ 13. ساخت دایره تغییر شکل Mohr برای روزت 46
§ 14. معادلات تعادل دیفرانسیل 46
§ 15. شرایط مرزی 47
§ 16. معادلات سازگاری 48
§ 17. تابع استرس 50
مسائل 52
فصل 3. مسائل دو بعدی در مختصات مستطیلی 54
§ 18. حل در چند جمله ای 54
§ 19. جلوه های پایانی. اصل 58 سنت ونانت
§ 20. تعیین جابجایی ها 59
§ 21. خم شدن کنسول بارگذاری شده در انتهای 60
§ 22. خم کردن تیر با بار یکنواخت 64
§ 23. سایر موارد تیرهای با توزیع بار پیوسته 69
§ 24. حل یک مسئله دو بعدی با استفاده از سری فوریه 71
§ 25. سایر کاربردهای سری فوریه. بار خود وزن 77
§ 26. تأثیر کاندوم. توابع خود 78
مسائل 80
فصل 4. مسائل دو بعدی در مختصات قطبی 83
§ 27. معادلات کلی در مختصات قطبی 83
§ 28. توزیع تنش متقارن قطبی 86
§ 29. خمش خالص تیرهای منحنی 89
§ 30. اجزای تغییر شکل در مختصات قطبی 93
§ 31. جابجایی در ولتاژ متقارن صفر 94
§ 32. دیسک های چرخان 97
§ 33. خمش تیر منحنی با نیروی اعمال شده در انتهای 100
§ 34. دررفتگی لبه 105
§ 35. تأثیر یک سوراخ گرد در توزیع تنش در صفحه 106
§ 36. نیروی متمرکز اعمال شده در نقطه ای از یک مرز مستطیل 113
§ 37. بار عمودی دلخواه در یک مرز مستقیم 119
§ 38. نیروی وارد بر نوک گوه 125
§ 39. لنگر خمشی اثر بر نوک گوه 127
§ 40. عمل بر روی پرتو نیروی متمرکز 128
§ 41. استرس در دیسک گرد 137
§ 42. نیرویی که در نقطه ای روی صفحه بی نهایت عمل می کند 141
§ 43. حل تعمیم یافته یک مسئله دو بعدی در مختصات قطبی 146
§ 44. کاربردهای راه حل تعمیم یافته در مختصات قطبی 150
§ 45. گوه بارگذاری شده در امتداد لبه ها 153
§ 46. راه حل های خود برای گوه ها و برش ها 155
مسائل 158
فصل 5. روش های تجربی. روش فوتوالاستیسیته و روش موآر 163
§ 47. روش های آزمایشی و آزمون راه حل های نظری 163
§ 48. اندازه گیری تنش ها به روش فوتوالاستیک 163
§ 49. پلاریسکوپ دایره ای 169
§ 50. نمونه هایی از تعیین تنش ها با استفاده از روش فوتوالاستیک 171
§ 51. تعیین تنش های اصلی 174
§ 52. روش های فوتوالاستیسیته در مورد سه بعدی 175
§ 53. روش مور 177
فصل 6. مسائل دو بعدی در مختصات منحنی 180
§ 54. توابع یک متغیر مختلط 180
§ 55. توابع تحلیلی و معادله لاپلاس 182
§ 56. توابع تنش بیان شده از طریق توابع هارمونیک و پیچیده 184
§ 57. جابجایی های مربوط به تابع تنش معین 186
§ 58. بیان تنش ها و جابجایی ها از طریق پتانسیل های پیچیده 188
§ 59. حاصل تنش های اعمال شده در امتداد منحنی معین. شرایط مرزی 190
§ 60. مختصات منحنی 193
§ 61. اجزای تنش در مختصات منحنی 196
مسائل 198
§ 62. راه حل در مختصات بیضوی. سوراخ بیضوی در صفحه با حالت تنش یکنواخت 198
§ 63. سوراخ بیضوی در صفحه تحت کشش تک محوری 202
§ 64. مرزهای هذلولی. برش های 206
§ 65. مختصات دوقطبی 208
§ 66. راه حل در مختصات دوقطبی 209
§ 67. تعیین پتانسیل های پیچیده بر اساس شرایط مرزی داده شده. روش های N. I. Muskhelishvili 214
§ 68 فرمول های پتانسیل های پیچیده 217
§ 69. خواص تنش ها و کرنش های مربوط به پتانسیل های پیچیده تحلیلی در منطقه مواد واقع در اطراف سوراخ 219
§ 70. قضایای انتگرال های مرزی 221
§ 71. تابع نگاشت ω(ξ) برای یک سوراخ بیضوی. انتگرال مرزی دوم 224
§ 72. سوراخ بیضوی. فرمول ψ(ζ) 225
§ 73. سوراخ بیضوی. مشکلات خاص 226
مسائل 229
فصل 7. تحلیل تنش و کرنش در حالت فضایی 230
§ 74. مقدمه 230
§ 75. فشارهای اصلی 232
§ 76. بیضی تنش و سطح راهنمای تنش 233
§ 77. تعیین تنش های اصلی 234
§ 78. متغیرهای استرس 235
§ 79. تعیین حداکثر تنش برشی 236
§ 80. تغییر شکل همگن 238
§ 81. تغییر شکل در نقطه ای از بدن 239
§ 82. محورهای اصلی تغییر شکل ها 242
§ 83. چرخش 243
مسائل 245
فصل 8. قضایای عمومی 246
§ 84. معادلات تعادل دیفرانسیل 246
§ 85. شرایط سازگاری 247
§ 86. تعیین حرکات 250
§ 87. معادلات تعادل در جابجایی ها 251
§ 88. راه حل کلی برای حرکات 252
§ 89. اصل انطباق 253
§ 90. انرژی تغییر شکل 254
§ 91. انرژی کرنش برای دررفتگی لبه 259
§ 92. اصل کار مجازی 261
§ 93. قضیه کاستیلیانو 266
§ 94. کاربردهای اصل حداقل کار. صفحات مستطیلی 270
§ 95. عرض مؤثر فلنج های پهن تیرها 273
مسائل 279
§ 96. یگانگی حلول 280
§ 97. قضیه متقابل 282
§ 98. ماهیت تقریبی راه حل ها برای حالت تنش صفحه 285
مسائل 287
فصل 9. مسائل سه بعدی ابتدایی تئوری کشسانی 289
§ 99. حالت تنش همگن 289
§ 100. کشش میله منشوری تحت تأثیر وزن خود 290
§ 101. پیچ خوردگی محورهای گرد با مقطع ثابت 293
§ 102. خمش خالص میله های منشوری 294
§ 103. خمش خالص صفحات 298
فصل 10. پیچش 300
§ 104. پیچ خوردگی میله های مستقیم 300
§ 105. مقطع بیضوی 305
§ 106. راه حل های ابتدایی دیگر 307
§ 107. قیاس غشایی 310
§ 108. پیچ خوردگی میله ای با مقطع مستطیلی باریک 314
§ 109. پیچ خوردگی میله های مستطیل شکل 317
§ 110. نتایج اضافی 320
§ 111. حل مسائل پیچشی با استفاده از روش انرژی 323
§ 112. پیچ خوردگی میله های پروفیل های نورد شده 329
§ 113. تشبیهات تجربی 331
§ 114. قیاس های هیدرودینامیکی 332
§ 115. پیچ خوردگی میل های توخالی 335
§ 116. پیچ خوردگی لوله های جدار نازک 339
§ 117. دررفتگی های پیچ 343
§ 118. پیچ خوردگی میله ای که یکی از مقاطع آن صاف می ماند 345
§ 119. پیچ خوردگی میل های گرد با قطر متغیر 347
مسائل 355
فصل 11. خمش تیرها 359
§ 120. خم کردن کنسول 359
§ 121. تابع استرس 361
§ 122. مقطع دایره ای 363
§ 123. مقطع بیضوی 364
§ 124. مقطع مستطیل 365
§ 125. نتایج اضافی 371
§ 126. مقاطع نامتقارن 373
§ 127. مرکز خم 375
§ 128. حل مسائل خمشی با استفاده از روش فیلم صابونی 378
§ 129. حرکات 381
§ 130. مطالعات بیشتر در مورد خمش تیرها 382
فصل 12. تنش ها و تغییر شکل های متقارن محوری در بدنه های انقلاب 384
§ 131. معادلات عمومی 384
§ 132. حل در چند جمله ای 387
§ 133. خم شدن صفحه گرد 388
§ 134. مسئله سه بعدی یک دیسک چرخان 391
§ 135. نیروی اعمال شده در نقطه ای از جسم نامتناهی 393
§ 136. ظرف کروی تحت تأثیر فشار یکنواخت داخلی یا خارجی 396
§ 137. تنش های موضعی اطراف یک حفره کروی 399
§ 138. نیروی اعمال شده بر مرز جسم نیمه نامتناهی 401
§ 139. بار توزیع شده بر روی بخشی از مرز یک جسم نیمه نامتناهی 405
§ 140. فشار بین دو جسم کروی لمسی 412
§ 141. فشار بین دو جسم در تماس. مورد کلی تر 417
§ 142. برخورد توپ 422
§ 143. تغییر شکل متقارن استوانه گرد 424
§ 144. سیلندر گرد تحت عمل فشار اطراف 428
§ 145. حل بوسینسک به صورت دو تابع هارمونیک 430
§ 146. کشش فنر مارپیچ (دررفتگی پیچ در حلقه) 431
§ 147. خمش خالص قسمتی از حلقه مدور 434
فصل 13. تنش های دمایی 436
§ 148. ساده ترین موارد توزیع تنش دما. روش حذف تغییر شکل 436
مسائل 442
§ 149. تغییر طولی دما در نوار 442
§ 150. دیسک گرد نازک: توزیع دما به صورت متقارن حول مرکز 445
§ 151. استوانه گرد بلند 447
مسائل 455
§ 152. کره 455
§ 153. معادلات کلی 459
§ 154. قضیه متقابل در ترموالاستیسیته 463
§ 155. کل تغییر شکل های ترموالاستیک. توزیع خودسرانه دما 464
§ 156. جابجایی های ترموالاستیک. حل انتگرال V. M. Maizel 466
مسائل 469
§ 157. تنش های اولیه 469
§ 158. تغییر کلی در حجم مرتبط با تنش های اولیه 472
§ 159. کرنش صفحه و حالت تنش صفحه. روش حذف تغییر شکل ها 472
§ 160. مسائل دو بعدی با جریان گرمای ثابت 474
§ 161. حالت تحت فشار حرارتی سطحی ناشی از اختلال در جریان گرمای همگن توسط یک سوراخ عایق شده 480
§ 162. حل معادلات عمومی. پتانسیل جابجایی ترموالاستیک 481
§ 163. مسئله دو بعدی عمومی برای مناطق دایره ای 485
§ 164. مسئله کلی دو بعدی. حل در پتانسیل های مختلط 487
فصل 14. انتشار موج در محیط پیوسته الاستیک 490
§ 165. مقدمه 490
§ 166. امواج انبساط و امواج اعوجاج در یک محیط الاستیک همسانگرد 491
§ 167. امواج هواپیما 492
§ 168. امواج طولی در میله های مقطع ثابت. نظریه ابتدایی 497
§ 169. برخورد طولی میله ها 502
§ 170. امواج سطحی ریلی 510
§ 171. امواج با تقارن کروی در یک محیط بی نهایت 513
§ 172. فشار انفجاری در یک حفره کروی 514
کاربرد. کاربرد معادلات تفاضل محدود در نظریه کشش 518
§ 1. استخراج معادلات تفاضل محدود 518
§ 2. روشهای تقریب متوالی 522
§ 3. روش آرامش 525
§ 4. مش های مثلثی و شش ضلعی 530
§ 5. استراحت های گروهی و مسدود 535
§ 6. پیچ خوردگی میله ها با مقاطع متقاطع متصل 536
§ 7. نقاط واقع در نزدیکی مرز 538
§ 8. معادله بی هارمونیک 540
§ 9. پیچ خوردگی شفت های دایره ای با قطر متغیر 548
§ 10. حل مسائل با استفاده از کامپیوتر 551
نمایه نام 553
نمایه موضوعی 558